第十二章 狭义相对论

1 1 u2 c2
ct
D.
1
u2 ct c2
解 根据光速不变的原理可知，光相对于宇宙飞船的速度为 c，所以飞船的固有长度为，应 选择 A. 12-4 一张正方形宣传画，边长为 5m，在平行于铁路的墙上，一列高速火车以每小时 210 公里的速度接近此宣传画，在司机看来，此画形状是________,面积为_____________. 解 根据长度的收缩效应可知，当高速火车接近此宣传画时，此画形状应是长方形。
c


3 108 2.45 1012 (Hz ). 6 121.6 10
c

1.7 1012 (Hz )
cu v0 ，解得 u 0.35c 1.05 10 8 (m s 1) ，负号说明星 c u
体远离地球。 12-11 宇宙飞船以 0.8c 速度远离地球 （退行速度） ， 在此过程中飞船向地球发出两个光信号， 间隔为 te ，问地球上接收到它发出的两个光信号间隔 tr 为多少？ 解 以宇宙飞船为 k 系，地球为 k 系，在 k 系中观测时间间隔为 te ，在 k 系中观测到的
1 u2 1 2 c
15.82 ， 所 以 地 面 观 测 者 观 测 到 子 的 寿 命 为
0 3.2 10 5 ( s) ，飞行距离为 l 0.998c 9.6 10 3 9.6(km) ，因此 子可以
到达地面。 12-8 质 子 在 加 速 器 中 被 加 速 ， 当 动 能 为 静 止 能 量 为 4 倍 时 ， 其 质 量 为 静 止 质 量 的 ____________倍。 解 又 所以 因为 Ek 4m0c
习题精解
12-1 在狭义相对论的基本理论中，相对性原理说的是____________；光速不变原理说的是 _____________. 解 所有惯性系对一切物理定律都是等价的； 在所有惯性系中， 真空中的光速具有相同的量 值 c。 12-2 以速度 u 相对地球做匀速直线运动的恒心所发射的光子，其相对于地球的速度的大小 为________. 解 根据光速不变原理可知，光子相对于地球的速度的大小为 c. 12-3 宇宙飞船相对于地面以速度 u 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船 尾部发出一个光讯号，经 t 时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固定有长度 为 ( ). A. ct B. u t C.
观测者测得电子的速度为
v x
vx u 0.35c vx u 1 2 c m0c 2 v 1 x c
2
观测者测得电子的总能量为
E mc 2
8.75 10 14 (J )
观测者测得电子的动能为
Ek E m0c 2 5.5 10 15 (J )
2
时间间隔为
t t e
地球上接收到它发出的两个光信号间隔为
t r t
t u 1 u te 1 te 3te c 1 c
12-12 在实验室中测得电子的速度是 0.8c，假设一观察者相对于实验室以 0.6c 的速度运动， 其方向与电子的运动方向相同，试求观察者测得的电子的能量、动能和动量。 解 以实验室为 k 系，以观测者为 k 系，则 k 系相对于 k 系的速度为 u 0.6c, v x 0.8c ，
S u 0 0.9966c 2.2 10 6 657.756(m )
（2）按照相对论， 子从产生到湮没同伙的平均距离为
4
S
0
1 u c2
2
u 7983 8 10 3 (m )
（3） 前两问的计算结果与实验结果比较可以说明对高速运动的粒子，经典理论是不适应 的，而按照相对论计算的结果和实验符合得很好，对高速运动的粒子狭义相对论是适应的。 12-17 一根米尺静止在 K 系中，与轴成 30°角，如果在 K 系中测得该米尺与 x 轴的夹角 为 45°角，试求 K 系的速度为多少?在 K 系中测得米尺的长度是多少？ 解 如图 12.1 所示，由题意知：
观测者测得电子的动能为
p mv 1.02 10 22 kg m s 1
12-13 两个静质量为 m0 的粒子，其中一个静止，另一个以 u0 0.8c 运动，它们对心碰撞以 后粘在一起，求碰撞后合成粒子的静质量。 解 运动的粒子的动量为
P mu0
m0 1 u c
2 、 （2）式解得合成粒子的静止质量为 M 0 2.31m0 12-14 在地球—月球系中测得地球到月球的距离为 3.844 10 m ，一火箭以 0.8c 的速率沿
8
着从地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件 1） ，之后又经过月球（事件 2） 。问在地球 —月球系和火箭系中观测，火箭由地球飞向月球各需多少时间？ 解 在地球—月球系中观测，火箭由地球飞向月球需要的时间为
2 2 2
解 由题意知（ E mc m0c m0c 静止能量） 解得
m 2m0
根据相对论能量和动量的关系： E p c E 0 得
2 2 2 2
p
2 E 2 E0 c2
2m0
2
2 4 c 4 m0 c
c2

3m 0c
6
12-16 相对基本粒子 子为静止的惯性系中测得它的平均寿命为 0 2.2 10 s 。当 子 以速度 u 0.9966c 相对实验室运动时，在实验室测得它通过的平均距离为，问： （1）按照经典理论， 子从产生到湮没通过的平均距离为多少？ （2）按照相对论， 子从产生到湮没通过的平均距离又是多少？ （3）将（1） ， （2）的计算结果与试验结果比较可以说明什么？ 解 （1）按照经典理论， 子从产生的到湮没通过的平均距离为
3 (m ) 2 1 y L0 sin 30 (m ) 2 x L0 cos 30 x y cot 45 y y
根据长度收缩效应得
1 (m ) 2
x x 1
解得
u2 c2
u 0.816c
在 K 系中测得米尺的长度为：
L x 2 y 2
2
1 1 u c2
2

1 1.67 0.6
所以坐在光子火箭中的乘客看来，这场球赛进行的时间为
t t 1.67 90 150 min 2.5h
1
12-7 静止的子的平均寿命为 0 2 10 s ，今在 8km 的高空，由于 介质的衰变产生一个
6
速度为 0.998c 的 子，试论证此 子的有无可能到达地面。 解 因 为
u 210km h 1 58.3m s 1

1 u2 1 2 c
1
1
3 10
58.3
2
1
8 2
所以此画的面积大约为 25m . 12-5 S 系中的观察者有一根米尺固定在 x 轴上，其两端各装一手枪，在 S 系中的 x 轴上固 定有另一根长尺，当后者从前者旁边经过是，S 系中的观察者同时扳动两手枪，使子弹在 S 系中尺上打出两个记号。则在 S 系中两个记号之间的距离 x _______1m（大于、等于、小 于） 。 解 由题意可知，在 S 系中的观察者观测到 S 系中两个记号之间的就离为 1m，根据长度的 收缩效应，在 S 系中两个记号之间的距离 x 应大于 1m。 12-6 在地球上进行的一场足球赛保持了 90min， 在以 0.80c 的速度飞行的光子火箭中的乘客 看来，这场球赛进行了（ ） A. 1h 解 因为 B. 2h C. 2.5h D. 54h
2
Ek mc 2 m0c 2 m 5m0
12-9 某人测得一静止棒长为 L0 ，质量为 m，当此棒相对于人以速度 u 沿棒长方向运动时， 则此人再测棒的线密度为__________. 解 当 棒 对 于 人 以 速 度 u 沿 棒 长 方 向 运 动 时 ， 其 长 度 为 l L0 1
2 0 2
u0
m0 4m0c 0.8c 0.6 3
由动量守恒定律可知，碰撞后合成粒子的动量为
M0 1
合成粒子的总能量为
2 u0 c2

4m0c 3
E Mc 2 m0c
m0 1 u c
2 0 2
c 2 2.667m0c 2
于是对于合成粒子有
3
M
M0 v2 1 2 c
t1
由题意知
S 3.844 108 1.6(s ) v 0.8 3 10 8
1 0.8c 1 c
2
1.67 ，在火箭系中观测，火箭由地球飞向月球所需要的时间
为
t 2
12-15
t1

0.96(s )
粒子的静止质量为，当其动能等于其静能是，其质量和动量各等于多少？
u2 ，质量为 c2
m
m 1 u2 c2
，所以棒的线密度为
m l
m L0 1 u2 c2
12-10 在实验室测得氢发射的光谱中有一长条波长 121.6nm 的谱线，若测得一星体发 出的氢光谱中和此波长相对应的 430.4nm ，则发射此光的星体相对地球的速度为多 少？它是靠近还是远离地球？ 解 波长 121.6nm 的谱线所对应的频率为 v0 波长 430.4nm 的谱线所对应的频率为 v0 根据多普勒效应公式 v