第4章 飞行器运动方程组汇总
飞行动力学飞机方程
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
dH z dt
rI z pI xz
由于
i jk
H p q r i(qH z rH y ) j(rH x pH z ) k ( pH y qH x )
1.地轴系与机体轴系间的方向余弦表
o
xg
x
cos cos
y
cos sin sin- sincos
z
cos sin cos+sinsin-
yg sincos sin sin sin+cos cos sin sin cos-cos sin
zg -sin cos sin cos cos
表中，oxyz为机体轴系， oxgygzg为地轴系
—动坐标系对惯性系的总角速度向量
—表示叉积，向量积
1H —沿动量矩 H 的单位向量
dV , dH dt dt
—对动坐标系的相对导数
1.力方程
F
m
dV dt
dV dt
1V
dV dt
V
V 和 用机体坐标系上的分量（u,v,w；p,q,r）表示
V iu jv kw, ip jq kr
三个力方程 三个力矩方程 飞机六自由 度动力学
线性方程 增量方程
m
d u dt
( X u
)0 u
( X
)0
( X
)0
m
第二章 飞行器运动方程
2 2 绕x轴的转动惯量： ( y z ) m I x 2 2 绕y轴的转动惯量： (x z ) m I y
绕z轴的转动惯量： (x y ) m I z
2 2
惯性积：
xy m I yz m I xz m I
xy yz xz
I yx I zy I zx Nhomakorabea
直，向右为正。绕地轴系oyg轴。
：为沿 oz g轴的向量，向下为正。 ：在水平面内与 ox 轴在水平面上的投影相垂
：沿ox轴向量，向前为正。绕机体轴ox
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 0, 0时，没有一个角速度分量是水 平或垂直的。
, 向机体三轴投影的话，只有 , 把
由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间 的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成对称平面内和非对称 平面内的运动
（1）纵向运动（对称平面内运动）： 速度的增减 质心的升降 绕ｙ轴的俯仰角运动
（２）横侧向运动（非对称平面内运动）：
质心的侧向移动 绕ｚ轴的偏航角运动
绕ｘ轴的滚转角运动
由假设飞机质量不变的刚体，惯性矩和惯性积为常量
Lx x rI xz pI t Ly y qI t Lz z z pI xz rI t
dL L 动量矩公式 1L Ω L dt t 第二项： i j k
2 I x ( I x I y ) I xz I 1 2 c7 , c8 , c9 x , I x I z I xz . Iy
在操纵舵面锁定的条件下，建立了外合力及外合力矩作用下的飞 机动力学方程组。
飞行动力学公式总结
飞行动力学第二章公式总结空气动力：X=C x qS阻力公式Y=C y qS升力公式Z=C z qS侧向力公式动压公式q=ρV22升力：C y=f(Ma,α,δ)升力系数函数C y=C y0+C yαα+C yδzδz升力系数在攻角和舵偏角不大的情况下的表达式C y=C yαα+C yδzδz轴对称时Y=Y0+Yαα+Yδzδ升力在攻角和舵偏角不大的情况下的表达式α攻角不大情况下攻角变化引起的升力Yα=C yαρV22Yδ=C yδzρV2δz舵偏角不大的情况下舵偏角变化引起的升力2侧向力：C z=C zββ+C zδzδz侧向力因数在侧滑角和舵偏角不大的情况下的表达式-C zβ=C yα轴对称下成立（不大）-C yδz=C zδz轴对称下成立（不大）阻力：X= X0+X i阻力的组成由零升阻力和诱导阻力构成C x=C x0+C x i阻力因数由零升阻力因数和诱导阻力因数构成气动力矩：M x1=m x1qSL滚转力矩M y1=m y1qSL偏航力矩M z1=m z1qSL俯仰力矩M z =f(M a ,H,α,δz ,,ωz ,α̇, δz ) 俯仰力矩的函数M z = M z 0+M z αα+M z δz δz+ M z ωz ωz+ M z αα̇+M z δz δz参数不大的情况下升力表达式 m z = m z 0+m z αα+m z δz δz+ m z ωz ̅̅̅̅ωz ̅̅̅̅+ m z α̅α̇̅+m z δz ̅̅̅̅δz̅ 无量纲力矩因数表达式 δz ̅=δzL/V 舵偏角角速度对应的无量纲参数 α̇̅=α̇L/V 攻角角速度对应的无量纲参数 ωz ̅̅̅̅=ωzL/V 俯仰角角速度对应的无量纲参数M z α=C z αSqα(x g −x F )=m z αSqαL 升力力矩和里表达式之间的关系m z α=C z α(X g ̅̅̅−X F ̅̅̅̅) 攻角升力系数和攻角升力力矩系数之间的关系 m z δz =C z δz (X g ̅̅̅−X r ̅̅̅) 舵偏角升力系数和舵偏角升力力矩系数之间的关系 m z =m z αα+m z δz δz 轴对称定常直线飞行下的升力力矩系数表达式m z ααb +m z δz δz=0 "瞬时平衡假设"下的升力力矩平衡状态方程C b y =C b ααb +C b δz δzb =（C b α−C b δz m z αm z δz ）αb “瞬时平衡”状态下平衡升力的表达式m z α|α=αb <0 纵向静稳定条件m z C y =ðm zðC y =(X g ̅̅̅−X F ̅̅̅̅) 稳定性的定量表示——静稳定度 ∆α=arctanrωz V 俯仰角角速度引起的下洗角度 M z ωz =M z ω̅z ω̅z qSL 俯仰阻尼力矩表达式t t t αεεαα•∆（）=（（）-）实际下洗角 偏航力矩：m y =m y ββ+m y δy δy +m y ω̅y ω̅y +m y ω̅x ω̅x +m y δ̅y δy +m y β̅β 偏航力矩系数表达式 ω̅y =ωy L/V偏航角速度对应的无纲量因数 δy=δy L/V 航向舵偏角速度对应的无纲量因数 β=βL/V 偏航角角速度对应的无量纲因数m x =m x0+m x ββ+m x δy δy +m x δx δx +m x ω̅x ω̅x +m x ω̅y ω̅y 滚转力矩因数的表达式 m x ββ<0 横向静稳定性的条件M ℎ=m ℎq t S t b t 铰链力矩模式表达式M ℎ=−Y t ℎcos(α+δz ) 铰链力矩实际表达式M ℎ≈M ℎαα+M ℎδz δz 铰链力矩的近似表达式 推力：P =m s μe +S a (P a −P ℎ) 推力的表达式 M p =R p ×P 推力力矩表达式重力：G=G 1+F e 重力表达式F e =mR e Ωe 2cosψe 离心惯性力的表达式 g =g 0R e 2(R e +H e )2 重力加速度随高度变化的表达式导弹建模基础：m dV dt =F质心移动的动力学公式 dH dt =M 绕质心转动的动力学公式导弹质心移动的动力学方程：m dV dt =m (ðV ðt +Ω×V)=F 用相对坐标系表示以绝对坐标系为基准的矢量变化率表示-力 ρ=V θ 曲率半径的计算公式a y2=Vθ 弹道法线加速度 导弹绕质心转动的动力学方程：dH dt =ðH ðt +ω×H =M用相对坐标系表示以绝对坐标系为基准的矢量变化率表示-力矩 H =J ∙ω动量矩M =J ∙α力矩 J ={J x1−J x1y1−J z1x1−J x1y1J y1−J y1z1−J z1x1−J y1z1J z1} 三维空间下转动惯量矩阵 dm dt =−m s (t)导弹质量流率方程 m =m 0−∫m s (t)dt tf t0 导弹质量方程角度几何关系：cosφ=cosα1cosα2+cosβ1cosβ2+cosγ1cosγ2 余弦定理α=ϑ−θ 无滚转无侧滑角度关系时β=ψ−ψv 无攻角无滚转时角度关系操纵关系方程：N =P +R 控制力为空气动力与推力的合力N =N n +N τ 控制力的切向与法向的分解N τ=P τ−X 切向控制力分解 N n =P n +Y +Z 法向控制力分解导弹飞行的运动方程组（轴对称型导弹，以地面为绝对坐标系）： 质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：m dV dt =Pcosαcosβ−X −mgsinθ切向运动的动力学方程 mV dθdt =P (sinαcosγv +cosαsinβsinγv )+Ycosγv −Zsinγv −mgcosθ 竖直法向运动的动力学方程 −mVcosθdψv dt =P (sinαsinγv −cosαsinβcosγv )+Ysinγv +Zcosγv 水平法向运动的动力学方程 绕质心转动的动力学方程（弹体坐标系）：J xdωx dt +(J z −J y )ωy ωz =M x 弹体x 轴力矩表达式 J ydωy dt +(J x −J z )ωz ωx =M y 弹体y 轴力矩表达式 J z dωz dt +(J y −J x )ωx ωy =M z 弹体z 轴力矩表达式质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dxdt=Vcosθcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dydt=Vsinθ地面坐标系y轴方向运动学方程dxdt=−Vcosθsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程绕质心转动的运动学方程（弹体->地面坐标系）：dϑdt=ωy sinγ+ωz cosγ俯仰角角速度表达式dψdt =1cosϑ(ωy cosγ+ωz sinγ)偏航角角速度表达式dγdt=ωx−tanϑ(ωy cosγ+ωz sinγ)滚转角角速度表达式质量方程：dmdt=−m s角度转换：sinβ=cosθ[cosγsin(ψ−ψv)+sinϑsinγcos(ψ−ψv)]−sinθcosϑsinγ侧滑角用其他角的表达关系cosα=[cosϑcosθcos(ψ−ψv)+sinϑsinθ]/cosβ俯仰角用其他角进行表示cosγv=[cosγcos(ψ−ψv)−sinϑsinγsin(ψ−ψv)]/cosβ速度滚转角的表示控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε2=0 滚转方向的控制方程ε3=0 偏航方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程描述导弹纵向运动的方程组（忽略z、β、ψ、ψv、ωy、γ、γv、ωx）：质心移动的动力学方程：m dVdt=Pcosα−X−mgsinθ纵向平面内沿速度方向的动力学方程mV dθdt=Psinα+Y−mgcosθ纵向平面内速度纵法线方向的动力学方程绕质心转动的动力学方程：J z dωzdt=M z纵向平面内绕弹体z轴旋转的动力学方程质心移动的运动学方程：dxdt=Vcosθ纵向平面水平运动学方程dydt=Vsinθ纵向平面竖直运动学方程绕质心转动的运动学方程：dϑdt=ωz弹体绕z轴的转动质量方程：dmdt=−m s质量变化方程几何关系方程：α=ϑ−θ纵向平面俯仰角、弹道倾角、攻角之间的关系控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程侧向运动方程组（基于纵向运动方程组）：质心移动的动力学方程：−mVcosθdψvdt=P(sinα+Y)sinγv−(Pcosαsinβ−Z)cosγv速度侧法向方向动力学方程绕质心转动的动力学方程：J x dωxdt=M x−(J z−J y)ωzωy绕弹体x轴转动的力矩守恒J y dωydt=M y−(J x−J z)ωxωz绕弹体y轴转动的力矩守恒质心移动的运动学方程：dzdt=−Vcosθsinψv地面坐标系下z轴方向的运动绕质心转动的运动学方程：dψdt =1cosϑ(ωy cosγ−ωz sinγ)偏航方向转动方程dγ=ωx−tanϑ(ωy cosγ−ωz sinγ)滚转方向转动方程dt几何关系方程：sinβ=cosθ[cosγsin(ψ−ψv)+sinϑsinγcos(ψ−ψv)]−sinθcosϑsinγ侧滑角用其他角的表达关系cosγv=[cosγcos(ψ−ψv)−sinϑsinγsin(ψ−ψv)]/cosβ速度滚转角的表示控制方程：ε2=0 侧滑角的控制方程ε3=0 滚转角的控制方程有侧滑无倾斜的水平运动方程组：条件：θ=0弹道倾角为零γ=γv=0滚转角为零ωx=0滚转角速度为零质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：=Pcosαcosβ−X切向运动的动力学方程m dVdtPsinα+Y=mg竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψv=−Pcosαsinβ+Z水平法向运动的动力学方程dt绕质心转动的动力学方程（弹体坐标系）：=M y弹体y轴力矩表达式J y dωydt=M z弹体z轴力矩表达式J z dωzdt质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dx=Vcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dtdx=−Vsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程dt绕质心转动的运动学方程（弹体->地面坐标系）：dϑdt=ωz俯仰角角速度表达式dψdt =ωycosϑ偏航角角速度表达式质量方程：dmdt=−m s角度转换：α=ϑ俯仰方向角度关系β=ψ−ψv偏航方向角度关系控制方程：ε2=0 偏航方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程导弹的质心运动：条件：m zααb+m zδzδzb=0攻角方向的力矩守恒m yββb+m yδyδyb=0侧滑角方向的力矩守恒ε1=0 ε2=0 ε3=0 ε4=0 俯仰、侧滑、滚转、速度方向上实现理想控制质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：m dVdt=Pcosαb cosβb−X b−mgsinθ切向运动的动力学方程mV dθdt=P(sinαb cosγv+cosαb sinβb sinγv)+Y b cosγv−Z b sinγv−mgcosθ竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψvdt=P(sinαb sinγv−cosαb sinβb cosγv)+Y b sinγv+Z b cosγv水平法向运动的动力学方程质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dxdt=Vcosθcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dydt=Vsinθ地面坐标系y轴方向运动学方程dxdt=−Vcosθsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程质量方程：dmdt=−m s描述导弹质心铅锤平面内运动方程组：质心移动的动力学方程：m dVdt=Pcosα−X−mgsinθ纵向平面内沿速度方向的动力学方程mV dθdt=Psinα+Y−mgcosθ纵向平面内速度纵法线方向的动力学方程质心移动的运动学方程：dxdt=Vcosθ纵向平面水平运动学方程dydt=Vsinθ纵向平面竖直运动学方程质量方程：dmdt=−m s质量变化方程几何关系方程：δzb=−m zαm zδzαb控制方程：ε1=0 俯仰方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程导弹质心在水平面内的运动方程组：条件：θ=0弹道倾角为零γ=γv=0滚转角为零ωx=0滚转角速度为零α->0攻角很小β->0侧滑角很小质心移动的动力学方程（弹体->弹道坐标系）：=P−X b切向运动的动力学方程m dVdtPαb+Y=mg竖直法向运动的动力学方程−mVcosθdψv=−Pβb+Z b水平法向运动的动力学方程dt质心移动的运动学方程（弹道->地面坐标系）：dx=Vcosψv地面坐标系x轴方向运动学方程dtdz=−Vsinψv地面坐标系z轴方向运动学方程dt质量方程：dm=−m sdt角度转换：ψ=ψv+βb偏航角、速度滚转角、侧滑角水平飞行时的几何关系ϑ=α水平飞行时俯仰角和攻角之间的几何关系m zααb+m zδzδzb=0攻角方向的力矩守恒m yββb+m yδyδyb=0侧滑角方向的力矩守恒控制方程：ε2=0 滚转方向的控制方程ε4=0 速度大小的控制方程过载：过载矢量的定义n=NGF i=nG i通过过载来求导弹任意部分的外力大小过载的投影：(Pcosαcosβ−X)速度坐标系x轴方向过载的投影n x3=1Gn y3=1(Psinα+Y)速度坐标系y轴方向过载的投影Gn z3=1G(Pcosαcosβ+Z)速度坐标系z轴方向过载的投影n x2=1G(Pcosαcosβ−X)弹道坐标系x轴方向过载的投影n y2=1G(cos(γv) (sin(α) P + Y) − sin(γv) (−sin(β) cos(α) P + Z))弹道坐标系y轴方向过载的投影n z2=1G(sin(γv) (sin(α) P + Y) + cos(γv) (−sin(β) cos(α) P + Z))弹道坐标系z轴方向过载的投影过载表示动力学方程：m dVdt=N x2+G x2沿速度方向的动力学方程mV dθdt=N y2+G y2沿速度法向纵向对称面内的动力学方程−mVcosθdψvdt=N z2+G z2沿速度法向横向动力学方程用V、θ、ψv来表示过载：n x2=1gdVdt+sinθn y2=Vgdθdt+cosθn z2=−Vgdψvdtcosθ根据过载判断飞行状态：n x2=sinθ等速飞行n y2=cosθ不做上下拐弯n z2=0不做左右拐弯曲率半径与过载之间的关系：ρy2=V2g(n y2−cosθ)竖直转弯曲率半径与过载之间的关系ρz2=V2cosθg(n z2)水平转弯曲率半径与过载之间的关系n L=1G(PsinαL+qSC ymax)极限过载表达式n L>n P>n R(LIMIT>P ASSABLE>REQUIRE)ε1=α−α∗=0 给定攻角下的理想控制关系式ε1=n y2−n y2∗=0 给定法向过载下的理想控制关系式α=n y2−(n y2b )α=0n y2αb 给定过载下小攻角的表达式式ε1=θ−θ∗=0 给定弹道倾角下的理想控制关系式ε1=ϑ−ϑ∗=0 给俯仰角下的理想控制关系式δz =K ϑ(ϑ−ϑ∗) 给定俯仰角下升降舵的偏转控制律θ=arcsin (1VdH ∗dt ) 给定弹道倾角的方案飞行可按给定高度飞行的方案弹道 α=mg P+Y α←[Psinα+Y =mg] 等高飞行下小攻角的表达式δz =−m z0+mgm zαP+Y αm z δz 等高飞行小攻角瞬时平衡假设下舵偏角表达式δz =δz0+K H (H −H 0)+K H ΔH等高飞行下升降舵的偏转控制律（微分项消除震荡） 侧滑转弯飞行情况下的飞行方案：3303()=y y b y b n n n ααα=- 平衡状态下的攻角的法向过载表达式303()1=y b y b n n ααα=- 平衡状态下无倾斜的攻角的法向过载表达式3031/cos ()=y v b y b n n αααγ=- 平衡状态下无侧滑的攻角的法向过载表达式水平面内给定弹道偏角下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案： 2*0v v 给定弹道偏角的理想控制关系式dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 −V gdψv dt n z3 b β=β 水平法向方程 dx dt=Vcosψv x 轴方向方程*()V V t 给定弹道倾角水平面内给定侧滑角或偏航角下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案： φ：2*0v v 给定弹道偏角的理想控制关系式β：2*0v v 给定侧滑角的理想关系式dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 dψv dt=1mV (Pβ−Z) 水平法向方程 dx dt=Vcosψv x 轴方向方程 dz dt =−Vsinψv z 轴方向方程φ：*()t 给定偏航角v =-水平飞行下侧滑、偏航、弹道偏角之间的几何关系 β：（）*=t 给定侧滑角水平面内给定侧向过载下侧滑转弯飞行情况下的飞行方案：222*=n n ()0x x t 给定过载下的控制方程dV dt =P−X m 切向方程303()1=y b y b n n ααα=- 竖直法向方程 dψv dt=−g V n z2 水平法向方程dz dt =−Vsinψv z 轴方向方程 22b z z n n β角度和过载间关系 22*()z z n n t 给法向过载自动瞄准的相对运动方程组（极坐标系）： cos cos T T drV V dt导弹与目标之间的矢径方向关系式 sin sin T T dq rV V dt 导弹与目标之间的角度方向关系式 q 导弹自身角度关系式q T T 目标角度关系式=0 导引关系式遥控导引的运动学方程组：d cos RV dt基站与导弹之间矢径方向关系式 sindR V dt 速度垂直于目标线方向上的关系式 航天器的开普勒轨道推导：3r r r 万有引力下的动力学方程 const h r r单位质量的角动量守恒 r rv h L 拉普拉斯常量-守恒 22v E const r 能量守恒 222=+2L Eh 三个守恒量之间的关系。
飞行器扰动运动方程组系数
飞行器扰动运动方程组系数一、引言飞行器扰动运动方程组系数是描述飞行器在飞行过程中受到扰动时所产生的运动方程组系数。
这些系数对于飞行器的稳定性和控制性能具有重要的影响。
因此，研究飞行器扰动运动方程组系数是飞行器控制领域的重要研究方向。
二、飞行器扰动运动方程组系数的分类飞行器扰动运动方程组系数可以分为以下几类：1. 气动力系数气动力系数是描述飞行器在飞行过程中受到气动力影响时所产生的系数。
这些系数包括升力系数、阻力系数、侧向力系数、俯仰力系数、滚转力系数和偏航力系数等。
这些系数对于飞行器的稳定性和控制性能具有重要的影响。
2. 质量和惯性系数质量和惯性系数是描述飞行器在飞行过程中受到质量和惯性影响时所产生的系数。
这些系数包括质量、重心位置、惯性矩、转动惯量和质心偏移等。
这些系数对于飞行器的稳定性和控制性能具有重要的影响。
3. 控制力系数控制力系数是描述飞行器在飞行过程中受到控制力影响时所产生的系数。
这些系数包括升降舵力系数、方向舵力系数和副翼力系数等。
这些系数对于飞行器的控制性能具有重要的影响。
三、飞行器扰动运动方程组系数的研究方法研究飞行器扰动运动方程组系数的方法主要包括实验方法和数值模拟方法。
1. 实验方法实验方法是通过实验手段来测量飞行器在飞行过程中受到扰动时所产生的系数。
这些实验手段包括风洞试验、飞行试验和地面试验等。
实验方法可以直接测量飞行器的系数，具有较高的精度和可靠性。
2. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机模拟来计算飞行器在飞行过程中受到扰动时所产生的系数。
这些数值模拟方法包括CFD方法、结构动力学方法和控制系统仿真方法等。
数值模拟方法可以快速计算飞行器的系数，具有较高的效率和灵活性。
四、结论飞行器扰动运动方程组系数是飞行器控制领域的重要研究方向。
研究飞行器扰动运动方程组系数可以提高飞行器的稳定性和控制性能，为飞行器的应用和发展提供重要的支持。
飞行器自动控制导论_第四章 纵向运动
第四章 纵向运动 4.1 纵向运动线性化方程前面推导出来的线性化的纵向方程组重写如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆+∆=∆-+∆+-∆-∆+∆=∆-+-∆--+∆-∆+∆=∆+∆-∆-T e q w w u T e qw w u T e w u T e T e T e M M dt d M dt d w M dt d M u M Z Z g dt d Z u w Z dt d Z u Z X X g w X u X dt dδδθδδθθδδθθδδδδδδ)()(]sin )[())1[()cos ()(22000 （4.1-1）其中e δ∆和T δ∆分别是空气动力控制项和推力控制项。
在工程实践中，力的导数q Z 和w Z 通常被忽略，因为它们对飞机响应的贡献非常小。
考虑到q ∆=∆θ，上面方程改写为状态空间的形式，得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆T e w w w q ww w u w u wu w u T T ee Te Te Z M M Z M M Z Z X X q w u u M M Z M M Z M M u Z Z g X X q w uδδθθδδδδδδδδ0001000000（4.1-2）如果写成η B x A x+= 则有u w x q θ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=⎢⎥∆⎢⎥∆⎣⎦，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=T e δδη （4.1-3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-=01000000u M M Z M M Z M M u Z Z g X X A w q ww w u w u wu w u （4.1-4） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=00T TTeTe Z M M Z M M Z Z X X B w w δδδδδδδδ （4.1-5）矩阵中力和力矩的导数已经分别除以飞机的质量和惯性矩。
飞机运动方程
刚体飞机运动方程
基本假设 飞行器是刚体，质量为常数（非必要条件）； 假设地球不动，地面坐标系为惯性坐标系； 忽略地球曲率，认为地面为平面； 重力加速度为常数，不随高度变化； 机体坐标系平面为飞机对称平面，飞机几何外形对 称，质量分布也对称，惯性积满足 I = ∫ xydm = 0 ， I zy = ∫ zydm = 0
牵连运动的加速度合成定理
G r = x i + yj + z k 点在动系中的矢量为
则
其中 i, j,k 分别是动系各轴上的单位矢量，如果从动系中观察，它们都 是常矢量，其导数为零。则（ 1）式为 G
dr i + y j + z k =x dt
G dr d （1） i + y j + z k + x = ( xi + yj + zk ) = x i + y j + zk dt dt
Iy ， I xz ， I z的时间导数为零。 假定飞行器的质量不会移动，质量不变，则 I x， ~ ~ ~ d d d I x − r I xz Hx = p I y Hy = q I z − p I xz Hz = r dt dt dt
j q Hy k r Hz
i G G 展开 Ω × H = p Hx
，
表示矢量 r
G
d 在动系中的导数，称为相对矢导数，导数符号记为 dt 。
G
i, j,k 都是变矢量，当动系以角速度转动时，利 如果从惯性坐标系观察，
= x(ω × i ) + y (ω × j) + z (ω × k )+ = ω × r 用泊桑公式有 x i + y j + zk G G G d r dr = +ω ×r 则 dt dt G 此为矢量 r 在惯性坐标系中的导数，称为绝对矢导数。
最新第二章-飞行器运动方程
[( x 2
z 2 )q
yzr
x y p ] m
[( x 2
y 2 )r
xzp
y z q ] m
p
( y 2 z 2 ) m q
xy m r
x
z
m
q
( x 2 z 2 ) m r
yz m p
x y
m
r
( x 2 y 2 ) m p
xz m q
y
z
m
（1）纵向运动（对称平面内运动）： 速度的增减 质心的升降 绕ｙ轴的俯仰角运动
（２）横侧向运动（非对称平面内运动）： 质心的侧向移动 绕ｚ轴的偏航角运动 绕ｘ轴的滚转角运动
３）飞机和导弹的运动特点
飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机 运动特性的研究适用于导弹。
运动分析： 面对称飞行器（飞机、飞航式导弹）横纵侧向向运运动动
由 于 飞 机 有 O xz对 称 平 面 I xy I yx I yz I zy 0 ;I xz I zx 0
所 以 动 量 矩 L 在 动 坐 标 系 内 分 量 可 以 表 示 为 ：
L L
x y
pI x rI xz qI y
L z r I z p I xz
燃气舵
摆
动
发
动
机
摆δ3
zt2
zt4
o
z
xj1
δ1
δ8 δ4
zt1 δ5
摆动发动机
４）动力学方程组
选坐标系—机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），
及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应 选机体坐标系。（好处是转动惯量便于计算和分析，缺点是 要考虑牵连运动）
飞行动力学飞机方程
设方向余弦表为矩阵Mbg，用欧拉角描述：
体轴坐标与地轴坐标可以互相转换
Mbg是复共轭矩阵：
x
y
M bg
xg
yg
z
zg
M 1 bg
MbTg
姿态角变化率与角速度分量间的几何关系
地轴系 Oxgyg平面
飞机三个姿态角变化率的方位
—沿ozg轴的向量，向下为正
—在水平面内与ox轴在水平面上的
u vw
F 按各轴分解，表示为： F iX jY kZ
各轴分量：
X m u wq vr
Y
m v ur
wp
Z
m
w
vp
uq
飞机的力方程
2.力矩方程
M
dH dt
dH dH dt 1H dt H
先考虑第一项
H 是动量矩，单元质量dm因角速度引起的动量矩为
dH r ( r )dm
式中：r 为质心至单元质量dm 的向径。
对飞行器的全部质量积分，可得总的动量矩 H r ( r )dm
式中： r ix jy kz, ip jq kr
依据：
i jk r p q r i(qz r y) j(r x pz) k( p y xq)
xyz
i r ( r ) x
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H
z
rI z
pI xz
可得
dH x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
2019版总复习高中物理课件：第四章 曲线运动 万有引力与航天4-5-3-热点突破：卫星航天器的变轨
转到解析
备选训练
1． (2017·沈阳质量监测)我国正在进行的探月
工程是高新技术领域的一项重大科技活动，在
探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图6所
示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度
为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨 道Ⅰ运动，到达轨道的A点处点火变轨进入椭圆
受力分析
离心运动 卫星速度突然增大
Mm v2 G r2 <m r
近心运动 卫星速度突然减小
Mm v2 G r2 >m r
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径 变为椭圆轨道运动或在较小半径
圆轨道上运动
圆轨道上运动
题组剖析
【例5】 2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫
星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正
据开普勒第三定律RT32＝k 得，周期变大，故选项 B 正确。 答案 B
题组剖析
【变式训练3】 (2016·天津理综，3)我国即将发射 “天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号” 飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神 舟十A．一使号飞”船都与空围间绕实地验球室做在同匀一速轨圆道周上运运行动，，然为后了飞实船 现飞 船加速与B追．空上使间空飞实间船验实与室验空室的间实实对现验接对室，接在下同列一措轨道施上可运行行的，是然(后空间)
轨道AⅡ．飞，行到器在达轨轨道道Ⅲ上的绕近月月球运点行B一再周次所需点的火时进间为入2近π 月R
轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
g0
B．飞行器在 B 点处点火后，动能增加
C．飞行器在轨道Ⅰ上的运行速度为13 g0R
D．只在万有引力作用下，飞行器在轨道Ⅱ上通过 B 点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过
第一章-4 飞行动力学-飞机方程
& & & ipjqkr
上式表明，飞机三个姿态角变化率或绕机体轴的三个角速度分量都能合成 飞机总角速度向量。一般情况下有 & 与 & ， & 与 & 互相垂直，但 & 与 & 不互相垂直。只有 & 0 时， & 与 & 才互相垂直。
x&d
V
y&d
M
ga
0
,
z&d
0
式中，Mg—气流坐标系到地坐标系的转换矩阵
三、飞行器的运动学方程（续）
为了描述飞行器相对于地面的运动，需建立机体轴系与地 轴系之间的转换关系。
1.地轴系与机体轴系间的方向余弦表
o
xg
x
cos cos
y
cos sin sin- sincos
z
cos sin cos+sinsin-
yg sincos sin sin sin+cos cos sin sin cos-cos sin
zg -sin cos sin cos cos
表中，oxyz为机体轴系， oxgygzg为地轴系
设方向余弦表为矩阵Mbg，用欧拉角描述：
体轴坐标与地轴坐标可以互相转换
Mbg是复共轭矩阵：
x
y
式中:i, j, k分别表示沿机体轴ox, oy，oz的单位向量。
于是
1v
d% Vid% ujd% vkd% w dt dt dt dt
令 u & d % u /d t,v & d % v /d t,w & d % w /d t
可得
1v
d%V dt
飞行器质心运动方程
内容绪论1.1 作用在飞机上的外力1.3 常用坐标系及其转换1.4 飞机质心运动方程小结本章作业1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.7；1.8；1.9绪论飞行动力学=飞行性能+飞行品质研究飞机的飞行性能和飞行轨迹特性时，可将飞机视为一可控的质点来处理。
可控：是指飞机的飞行轨迹是可以人为改变的，而轨迹的改变取决于作用于飞机上的外力的改变。
绪论质点运动：通过偏转操纵机构，使飞机的合力矩为零；研究飞机的飞行轨迹和飞行性能时可以把飞机视为质点运动。
力矩平衡作为运动的约束条件。
质点系运动：合力矩不为零。
研究飞机飞行品质时将其视为质点系运动。
1.1.1 升阻特性1.1.2 发动机推力TJ G 从飞行性能的角度，假设操纵面偏转可使力矩平衡，但将其最大平衡能力作为约束。
实际还常忽略操纵面偏转对力平衡的影响。
外力一般不通过质心，它将引起绕质心转动的力矩L J GD JG W JJ G T J G 'L J G 1.1作用在飞机上的外力1.1作用在飞机上的外力在常规飞行性能问题中，假设飞行无侧滑，视侧力为零升力系数阻力系数侧力系数2L L V SC ρ=2D D V SC ρ=2CC V S C ρ=升力和阻力系数主要取决于马赫数、雷诺数、迎角、侧滑角以及飞机的外形马赫数的物理含义？雷诺数的物理含义？迎角的定义?侧滑角的定义?9马赫数：指空气的压缩性效应；低速空气流场不相互影响，高速时则前后相互影响。
9雷诺数:指飞机的尺寸效应；即飞机的尺寸大小会影响飞机的气动特性，一般飞机在真实大气中飞行时，其雷诺数在1000万以上。
这就是研究飞机气动特性时，要建立大尺寸风洞和进行飞行试验研究的原因。
DO1. 升力特性（1）定义升力是飞机上的空气动力的合力在飞机纵向对称平面上垂直于飞行速度方向的分力。
向上为正。
飞机的最大的升力系数约1.2—1.5；采用增升装置后，飞机的最大的升力系数约2.2—3.0。
1. 升力特性0)L L L C αδαα−+升力线斜率,与翼型、机翼平面形状、M 数有关,即~M ,λ, χ零升迎角，取决于机翼有效弯度和M 数,即~M ,f升力部件有翼－身组合体和平尾。
第三章飞行器的运动方程(0901)
第三章飞行器的运动方程 3.1 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图 3.1-1）。
向量ω在此坐标系中的分量为r q p ,,，即k r j q i p++=ω （3.1-1） 其中i 、j、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。
图3.1-1设有一个可变的向量)(t a，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即k a j a i a a z y x++= （3.1-2）由上式求向量)(t a对时间t 的导数：b xωb yb zOijkdtkd a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d zy x z y x +++++= （3.1-3） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω旋转时，刚体上任何一点P的速度为r dt r d⨯=ω （3.1-4） 其中r是从O 点到P 点的向径。
现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：i dtid⨯=ω （3.1-5） 同理可得： j dtj d⨯=ω （3.1-6） k dtk d⨯=ω （3.1-7） 将式（3.1-5）、（3.1-6）及（3.1-7）代入式（3.1-3）中，可得：)(k a j a i a k dtda j dt da i dt da dt a d z y x z y x++⨯+++=ω （3.1-8） 或写为： a t a dt a d⨯+=ωδδ （3.1-9） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x++=δδ taδδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。
弹箭的飞行运动方程组与稳定理论
4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
在地面坐标系下的弹体质心运动方程组，是将 上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的，如 下图。
4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
复习： 地面坐标系—与地面固连的坐标系，以弹道起
点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线
dvx dy
dvx dt
dt dy
cH
(
y)G(v)vx
1 vy
cH ( y)G(v) / P
新变量P， P tg
Hale Waihona Puke 有：dP dy
dP
d
d
dt
dt dy
1
cos2
( g cos ) 1
v vy
g
v
2 x
P
4.1 弹体质心运动方程 五、以坐标为自变量的质心运动方程组
dvy dt
ax sin g
4由.1于弹有：体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
空气阻力加速度 ax cH(y )G(v )v
速度分量 v x v cos ,v y v sin
则
dvx dt
cH ( y)G(v)vx
dv y dt
cH(y )G(v )v y g
sincos41弹体质心运动方程四地面直角坐标系的质心运动方程chdtdvchdtdvgvdtdpdtdydtdx41弹体质心运动方程五速度坐标系的质心运动方程mg41弹体质心运动方程五速度坐标系的质心运动方程dtdvdt41弹体质心运动方程五速度坐标系的质心运动方程将重力加速度和空气阻力加速度分别向坐标轴投影dtdvsinsincoscossingvdtdpdtdydtdxchdtdv41弹体质心运动方程五速度坐标系的质心运动方程为弹道系数c以s为自变量的弹丸质心运动方程组41弹体质心运动方程五以坐标为自变量的质心运动方程组为了分析弹道特性求解炸弹弹道或分析稳定性等的方便经常选取坐标xy或弹道弧长s为自变量来导出弹丸质心运动方程组
9、飞行力学第四章-运动方程
共84页
飞行器飞行力学
18
四、在气流坐标系中的平动动力学方程
根据速度之间的关系
u = V cos α cos β ⎫ ⎪ v = V sin β ⎬ w = V sin α cos β ⎪ ⎭
可得
du dV dα dβ ⎫ V sin α cos β − V cos α sin β ⎪ cos α cos β − = dt dt dt dt ⎪ dv dV dβ ⎪ V cos β sin β + = ⎬ dt dt dt ⎪ dw dV dα dβ ⎪ sin α cos β + V cos α cos β − V sin α sin β ⎪ = dt dt dt dt ⎭
共84页
飞行器飞行力学
5
引言（续）
本章主要工作 (1) 应用牛顿第二定律、动量矩定律和运动学原理， 导出飞行器相对于动坐标轴系的一般运动方程组； (2) 在小扰动假设前提下，对非线性运动方程组进行 线性化； (3) 在特定条件下，将纵向运动和横航向向小扰动运 动分开，得到飞行器的纵向和横航运动方程组。
共84页 飞行器飞行力学 4
引言（续）
假设 1、飞行器为面对称刚体 2、静止地球与平面大地假设 3、标准大气假设 4、忽略旋转部件及液体晃动的影响。 运动方程 采用刚体六自由度数学模型，包括六个动力学方程： 其中三个用来描述质心的平动，三个描述飞行器绕质 心的转动。另外，还有六个运动学方程，分别用来描 述飞行器在空间的位置和姿态。
固连于飞行器的任意动系中质心的转动动力学方程
dh δh = +ω×h dt δt
得转动动力学方程为
⎡ 0 ⎢ 其中 ω × h = ⎢ ω z ⎢− ω y ⎣
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 对轴对称导弹，有
。
• 当攻角上升到一定程度，升力系数达到最 大值，称为临界攻角；攻角继续增大，升 力系数急剧下降，这种现象称为“失速”。
4.2.1 作用在导弹上的力-5
• 轴对称导弹，侧向力和升向力的产生机理 相同，所不同的是个别地方有符号差别：
• 导弹受到的总阻力通常分为两部分进行研 究，零升阻力和诱导阻力，前者与升力无 关，后者取决于升力的大小。
• 零升阻力又可分为摩擦阻力和压差阻力两 部分，在低速流动中，都由空气粘性产生。
4.2.1 作用在导弹上的力-6
• 诱导阻力随着攻角的增大，其值迅速上升， 在总阻力中的比重也随之增大，逐渐成为 主要部分。
• 另外，阻力还受到飞行 马赫数以及飞行高度等 因素的影响，右图是马 赫数对阻力系数的影响。
4.2.1 作用在导弹上的力-7
4.2.2 作用在导弹上的力矩-13
• 本图为侧滑时，左、右翼的实际后掠角； • 左、右翼前缘的垂直速度分量； • 左、右翼的有效展弦比； • 前、后缘。 • 因此有后掠翼，可
增加横向静稳定性。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-14
侧滑时，上反角导致的有效攻角的变化
矢量在水平面的投 影与地面系Ox轴之 间的夹角；
弹道倾角θ：导弹
速度矢量与水平面 之间的夹角。
4.1 坐标系-11
• 地面系与弹道系之间的方向余弦矩阵：
4.1 坐标系-12
• 速度系与弹体系：
侧滑角β：速度矢量与
弹体纵向对称平面之间 的夹角；
攻角α：速度矢量在弹
体纵向对称平面Ox1y1内 的投影与Ox1之间夹角。
翼和尾翼时，由于左、右翼的绕流条件不 同，压力分布也就不同，左、右翼升力不 对称则产生绕导弹纵轴的滚动力矩。 • 偏导数 表征导弹的横向静稳定性，对于 BTT型导弹具有重要意义。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-11
由倾斜引起的侧滑飞行
4.2.2 作用在导弹上的力矩-12
• 横向静稳定性：
• BTT导弹的横向静稳定性，主要由弹翼和垂 直尾翼产生，影响弹翼 的主要因素有两 点：弹翼后掠角和弹翼上反角。
4.2.1 作用在导弹上的力-1
• 气动外形：有翼、无翼。
4.2.1 作用在导弹上的力-2
• 作用在弹体上的总空气动力沿速度系分解 为三个分量：阻力、升力和侧向力。
• 其中q为动压头
；
• S为导弹的特征面积；
• cx,cy,cz为无量纲阻力、升力、侧向力系数
4.2.1 作用在导弹上的力-3
• 习惯上，把阻力的正方向定义为速度的负 向，升力和侧向力的正向分别与速度系的 Oy3、Oz3轴的正向一致。
• 弹翼、弹身、舵面、以及各部件之间的干 扰都会产生空气动力，但总空气动力不等 于单独各部件的空气动力之和。
• 这个现象的物理本质在于部件组合在一起 时，绕流情况发生了变化。
4.2.1 作用在导弹上的力-4
• 当导弹的气动外形和尺寸确定后，空气动 力还受马赫数、攻角和舵偏角的影响。
• 当攻角和舵偏角较小时，升力系数：
• 轴对称导弹偏航力矩产生的物理原因与俯 仰力矩是类似的。
• 偏航力矩系数：
• 偏航通道 代表航向静稳定性，当 my 0 时，导弹是航向静稳定的。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-9
• 滚动力矩系数：
4.2.2 作用在导弹上的力矩-10
• 横向静稳定性：
• 当气流以某个侧滑角β流过导弹平置水平弹
• 俯仰力矩系数写成无量纲形式： • 其中， • 导弹做定态直线飞行时，俯仰力矩系数 • 轴对称导弹有
4.2.2 作用在导弹上的力矩-5
• 导弹的纵向静稳定性：
4.2.2 作用在导弹上的力矩-6
• 操纵力矩：
4.2.2 作用在导弹上的力矩-7
• 俯仰阻尼力矩：
4.2.2 作用在导弹上的力矩-8
第4章 飞行器运动方程组
• 4.1 常用坐标系及坐标系之间的转换关系 • 4.2 作用在导弹上的力和力矩 • 4.3 导弹运动方程组 • 4.4 线性化模型的建立 • 4.5 小结
飞行力学与其他学科的关系
4.1 坐标系-1
• 地面坐标系Axyz，平移到弹体质心Oxyz • 弹体坐标系Ox1y1z1 • 速度坐标系Ox3y3z3 • 弹道坐标系Ox2y2z2
• 导弹发动机推力：
• 还有作用在导弹弹体上的重力。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-1
• 作用在弹体上的空气动力矩沿弹体系分解 为三个分量：滚转力矩、偏航力矩和俯仰 力矩。
• 正方向的定义。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-2
• 压力中心：总空气动力的作用线与弹体纵 轴的交点。
• 焦点：由攻角所引起的那部分升力在弹体 纵轴上的作用点。
4.1 坐标系-13
• 速度系与弹体系之间的方向余弦矩阵：
4.1 坐标系-14
• 弹道系与速度系：
速度倾斜角γv：位于纵
向对称平面内的Oy3轴与 包含速度矢量的铅垂面 Ox2y2之间的夹角。
4.1 坐标系-15
• 弹道系与速度系之间的方向余弦矩阵：
4.1 坐标系-16
• 4个坐标系之间，共有8个角度。 • 坐标系之间的关系非常重要。
4.1 坐标系-2
地面坐标系
4.1 坐标系-3
速度坐标系
4.1 坐标系-5
• 地面系与弹体系之间的关系，231转序
• 偏航角ψ：导弹纵轴在水平面的投影与地面
系）Ox轴之间的夹角；绕Oy正向旋转出来 的角度为正。
4.1 坐标系-6
• 俯仰角 ：导弹纵轴与水平面之间的夹角； 绕z’轴正向旋转出来的角度为正。
• 焦点一般不与压力中心重合，除了导弹轴 对称而且俯仰舵偏角为零时。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-3
• 当气动布局和几何外形给定时，俯仰力矩 可以写成如下函数的形式：
• 严格地说，俯仰力矩还取决于侧滑角、副 翼偏转角、导弹绕纵轴滚转角速率等因素 的影响，但数值不大时，可以忽略。
4.2.2 作用在导弹上的力矩-4
4.1 坐标系-7
• 滚转角γ：弹体系Oy1轴与包含导弹纵轴的
铅垂平面之间的夹角；绕Ox1正向旋转出来 的角度为正。
4.1 坐标系-8
• 地面系与弹体系之间三个角度的关系和方 向余弦阵。
4.1 坐标系-9
• 地面系与弹体系之间的总方向余弦阵
4.1 坐标系-10
• 地面系与弹道系：
弹道偏角ψv：速度