高二数学(人教A版)《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案

§2.2.1双曲线及其标准方程

[自学目标]:

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.

[重点]:

双曲线的定义,双曲线标准方程。

[难点]:

双曲线标准方程的推导过程。

一、课前准备

复习 1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习 2：在椭圆的标准方程122

22=+b

y a x ， a ,b ,c 有何关系？

二、新课导学

★ 学习探究

问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的 的绝对值等于 (小于

|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线________

反思：设常数为a 2，为什么a 2 < |21F F | ？

当a 2 = |21F F |时，轨迹是__________ ；

当 a 2 > |21F F | 时，轨迹____________ ．

试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________

新知 2：双曲线标准方程的推导：

（1）建系

(2 ) 设点

（3）列式

（4）化简方程

y

O x

M F 1F 2

问题 2：若焦点在 y 轴，双曲线的标准方程又如何呢？

[预习自测]

1、双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±）

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）a=4,b=3,焦点在x 轴;焦点在y 轴;

（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(3

15,2);

（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师

和同学探究解决。

[合作探究 展示点评]

探究一：双曲线标准方程

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。

变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点 P 到右焦点的距离为_______ ．

探究二：轨迹方程

例2：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

变式：如果 A , B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

[当堂检测]

1．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )

A.x 25－y 24＝1

B.y 25－x 2

4

＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 2

16

＝1 2.方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．双曲线的一部分

D ．椭圆的一部分

3.已知方程12

52

2=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A 、k>5 B 、k>5，或-22,，或k<-2 D 、-2

4.已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________

5.已知点 M (-2 ,0),N (2,0) ，动点P 满足条件| PM | - | PN |= 22 . 则动点P 的轨迹方程为______________

[拓展提升]

1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )

A ．(22，0)

B ．(52

，0) C ．(62

，0) D (1,0) 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2

2

＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12

B ．1或－2

C ．1或12

D ．1 3、过点(1,1)且b a

＝2的双曲线的标准方程为________． 4、根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)过点P )415,3(，Q )5,3

16(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．

5、求与椭圆15

252

2=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程.