高二数学(人教A版)《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
双曲线及其标准方程(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.2.1双曲线及其标准方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。
通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题（一）新知导入双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．◆双曲线的定义F F？【思考1】双曲线的定义中，常数为2a，为什么2a12【提示】若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．【思考2】双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？【提示】若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．【易错辨析】设F1、F2是双曲线的焦点，a=4,c=6,点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P 到焦点F2的距离．【错解一】双曲线的a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.【错解二】双曲线的a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.【错因】错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.知识点二双曲线的标准方程【探究2】类比推导椭圆标准方程的方法，怎样推导双曲线的标准方程？【提示】(1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．◆双曲线的标准方程【思考3】怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？【提示】椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.【思考4】双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？ 【提示】a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c += （记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）【做一做1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．43答案：D【做一做2】已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________．解析：∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝26， 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1. 答案：x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1（三）典型例题1.求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b 的方程组，求得a ，b ，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c 2＝a 2＋b 2的运用．[解析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)． ∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.【类题通法】用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【巩固练习1】已知双曲线过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．∵双曲线过M (1,1)，N (－2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，4A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝87，B ＝－17，∴双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.2.双曲线标准方程的识别例2. (1)若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．[－4,1)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)(2)3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： (1)根据题意，若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则有(k ＋4)(k －1)<0，解得－4<k <1.(2)3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示焦点在y 轴的双曲线；若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0，所以3<m <5或m <－2，所以3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．答案：(1)C (2)A【类题通法】将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.【巩固练习2】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 答案：C3.双曲线的定义及应用例3.设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上. 若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 用双曲线定义及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|. [解析] 由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ∵∠F 1PF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝4c 2＝4×(13)2＝52.∴2r 1r 2＝52－16＝36，∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2＝9.【类题通法】双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a .(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【巩固练习3】若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3. 4. 与双曲线有关的轨迹问题例4.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|＝|AC 1|＋|MA |，|MC 2|＝|BC 2|＋|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<| C 1C 2|.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支，则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤1)． 【类题通法】求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．【巩固练习4】如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析]以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )， ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)． （四）操作演练 素养提升1.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D2.方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.答案：A3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.答案：C答案：1.D 2.A 3.B 4.C【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
【教案】双曲线及其标准方程说课稿-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.1双曲线及其标准方程尊敬的各位评委：大家好！我今天说课的内容是《双曲线及其标准方程》。
下面，我将从教学内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计五个方面来汇报我的思考与设计。
一、教学内容及其解析1.教学内容本节课是人教A 版选择性必修第一册第三章第二节第1 课时。
其主要内容包括：双曲线的现实背景与几何情境，双曲线的几何特征与概念以及双曲线的标准方程。
2.教学内容解析本节内容是在学习直线和圆的方程以及椭圆的基础上，先类比椭圆，从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，进而得出双曲线的概念，然后建立它的标准方程，最后再通过例题让学生进一步熟悉双曲线的定义、方程和实际应用。
本节课纵向承接椭圆和抛物线，横向为双曲线简单几何性质的探究打下了基础，起到了深化提高、承上启下的重要作用，为随后抛物线的学习提供了良好的类比价值，也为从整体上认识圆锥曲线提供了经验。
本节课的教学，继续强化了几何概念的抽象过程，充分发挥了坐标法的核心纽带作用，进一步贯彻了“先用几何眼光观察与思考、再用坐标法解决”的研究策略，促进了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：双曲线的几何特征，双曲线的定义以及双曲线的标准方程。
二、教学目标及其解析1.教学目标（1）能从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，给出双曲线的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养。
（2）类比椭圆标准方程的建立过程，运用坐标法推导出双曲线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算等素养。
2.教学目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过观察利用信息技术演示绘制双曲线的过程，明确双曲线上的点满足的几何条件，明确双曲线的几何特征，形成双曲线的概念。
（2）能认识建立双曲线标准方程的过程与建立椭圆标准方程的过程是类似的。
能通过建立适当的坐标系，根据双曲线上点的几何特征，列出双曲线上点的坐标满足的方程，进而化简所列出的方程，得到双曲线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法。
人教A版选修2-1第二章第7课时导学案§2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．学习过程一、课前准备复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =二、新课导学※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？※ 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 .例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？※动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升※学习小结1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．※知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.D.4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．课后作业1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。
人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
高中数学人教A版() 选择性必修1第三章3.2.1《双曲线及其标准方程》（）教案
§3.2.1双曲线及其标准方程一．教学目标1．知识与能力目标：掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．过程与方法目标：体会推导双曲线标准方程的方法、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．情感态度价值观目标：培养发散思维的能力，感受曲线的美二．教学重难点重点：双曲线标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及双曲线方程的求解三．教学过程（一）复习旧知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系问题:平面内与两定点F1、F2的距离的差是常数的点的轨迹是什么?（二）双曲线的定义计算机模拟双曲线定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1、F2——双曲线的焦点.双曲线定义的符号表述：P={M | | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c)}问题1：|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？问题2：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？（三）双曲线的标准方程的推导类比椭圆，找到推导双曲线方程的方法求曲线方程的步骤：2.设点:3.列式:4.化简:双曲线的标准方程:焦点在 x 轴上焦点在y轴上呢？问题：如何判断焦点在哪个轴上？（看符号）牛刀小试求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标。
22(3) 25x-9=-225y22(4) -2=1x y例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差绝对值等于6，求双曲线的标准方程.练习1：（1）a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________.（2）焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 _______________.四.课堂小结五.作业课本 P121 1P127 7。
人教A版1第二章第2节《双曲线及其标准方程》的教学设计
双曲线及其标准方程（人教A版选修1－1第二章第2节）一、教学设计教学内容与内容解析本节课为《普通高中课程标准实验教科书数学·选修1—1》(人教A版)第二章“圆锥曲线与方程”中第二节双曲线的第一课时．本节课是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，为后面的抛物线及其标准方程做铺垫．双曲线是继椭圆之后的另一种圆锥曲线，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，是渗透学法指导（如类比学习）的良好载体．新课程强调教师要创造性使用教材，这就需要教师对教材的精心解读．由椭圆的距离之和引发对距离之差的思考，再对常数的考虑，引起学生对教材双曲线定义不严密性．．．．．．．．（常数必须大于．．．0．）．的思考，培养学生思维的缜密．解析几何的教育价值在于通过坐标法，利用代数方法解决几何问题，为此，在推导双曲线的标准方程时，仍需让学生类比思考：怎样建立坐标系，为什么这样建立，这对文科的学生而言，“知其所以然”是需要反复强调，方可内化的．教学目标与目标解析1．学生能了解双曲线的定义、双曲线标准方程的推导及化简过程．2．在定义的探索或问题的解决中，学生能类比椭圆进行双曲线的学习．3．学生在经历双曲线定义的获得过程，能类比发现问题、不断完善、解决问题．教学问题诊断分析1．学生的知识储备分析:学生已经学习直线、圆和椭圆,基本掌握了求曲线方程的一般方法,能对含有两个根式的方程进行化简，对分类讨论、类比推理的思想方法有一定的体会．2．学生的数学能力分析:通过一年多的高中学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．但是他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．3．本节课是一节2012年泉州市“送教送研下乡”活动中的一节公开课，由于借班上课，拿不准永春侨中高二年文科的学生的水平．“以不变应万变”，本节课重点在于“类比”学习双曲线，考虑文科学生计算能力相对弱，故难点在于双曲线标准方程的推导．教学支持条件分析课本以拉链问题呈现双曲线的定义，虽然直观，但实际操作性难．，于是弃之不用，选择当场制作课件，让学生直接感受．同时通过列表的形式，让学生更为直观理解椭圆与双曲线的差异，且通过对题目合理变式让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比，对学生学法指导（如“类比”学习）做了很好的铺垫与引导．教学过程设计（一）复习引入1．椭圆的定义:平面内与两个定点12F ,F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．设M 是椭圆上的动点，则需满足()121222MF MF a a F F =>＋2．椭圆的标准方程: (1) 焦点在x 轴：()222210x y a b a b+=>>． (2)焦点在y 轴：(222210y x a b a b+=>> 其中222c a b =-． 3．导入新课:问题：我们知道，差是和的逆运算，那么，平面内与两个定点12F ,F 距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？为了研究方便，设动点M ，则问题即为研究满足12MF MF -=常数C 的轨迹问题． 解析：实数C 可以分为000C ,C ,C =><． 【学情预设】由于学生事先有预习，所以急着给出答案：双曲线．果真是双曲线吗？一石激起千层浪！【设计意图】从“差是和的逆运算”，引导学生思考问题，过渡自然，且在“发现问题”做了较好的引导．对学生的答案及时加以肯定，但“果真是双曲线吗？”，又引起学生对实数C 的讨论，渗透分类讨论思想．（二）新课学习1．展示知识形成过程（几何画板揭示动点轨迹形成） 在()120MF MF C C -=>的解决中，关键在于M 动，但12MF MF -定，为此，可联想到圆的性质，圆上任一点到圆心的距离相等，可构造两相交圆．（教师当场利用几何画板作图，如图1，2）教师借助直观，说明作图依据：如图1，设两定点12A ,A ，B 为以2A 为端点的射线上的一点，则有1212A B A B A A -=＝定值． 以1F 为圆心，1A B 为半径作圆，以2F 为圆心，2A B 为半径作圆，设两圆的交点为M ，则121212MF MF A B A B A A -=-=＝常数．【学情预设】学生对“轨迹的形成”充满好奇，却不知其原因，对知识形成充满好奇．【设计意图】教师当场利用几何画板作图，可以让学生直观感受双曲线定义的形成，深刻理解定义的形成过程，避免出现学生“知其然，不知其所以然”的局面．（2）“形”“数”两方面揭示定义从形．的方面，我们可以看到图2中的两条曲线有完美的对称性（关于线段12F F 的中垂线对称），我们把这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．从数．的方面，可以统一为：1212MF MF A A -=，类比椭圆，不妨记为()1220MF MF a a -=>【设计意图】虽然解析几何强调坐标法，但对形的认识也是必不可少的，借助几何画板，可以直观展示双曲线定义形成过程．从形的直观提炼数的特征再到定义的归纳（即图形语言、符号语言、文字语言之间的转化）又是学生认识的一个提升．2．尝试、完善双曲线的定义（1）类比椭圆定义，获得双曲线定义：把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即双曲线上的动点M 满足()1212202MF MF a a F F -=<<．注：容易忽略的地方:①“距离的差的绝对值”；②“常数小于21F F ”． 思考：若122a F F =：两条射线；若122a F F >：无轨迹．（2）师生共同阅读课本让学生解释拉链问题．【学情预设】学生是有能力类比椭圆的定义得到双曲线的定义，但对“距离的差的绝对值”；“常数小于21F F ”认识不够，常忽视！【设计意图】让学生尝试、完善双曲线的定义，培养学生思维的慎密．3．探究双曲线的标准方程(1)回顾椭圆标准方程的推导过程:“建系、设点、列式、化简”（为了使学生更好类比椭圆标准方程的推导，教师引导学生回归课本，再次熟悉课本推导过程）【设计意图】引导学生回归课本，再次熟悉椭圆标准方程的推导过程，是为了更好地类比到双曲线！(2)教师引导学生类比椭圆推导双曲线的标准方程建系:取过焦点21F F ，的直线为x 轴,线段21F F 的垂直平分线为y 轴设点:设()M x,y 为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c (0>c )则 )0,(),0,(21c F c F -,1MF =2MF =列式:()1220MF MF a a -=>，122MF MF a ∴-=±a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴,2a =±整理得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22<022>-∴a c ，令222c a b -=代入,得:222222b a y a x b =-， 两边同除22b a 得:12222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程． 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上,焦点是)0,(),0,(21c F c F -,其中222b a c +=【学情预设】学生对方程的整理还是存在一定的困难，需要一定的时间处理问题．【设计意图】让学生再次熟悉课本椭圆标准方程推导过程，不仅可以回顾旧知，而且可以较顺利解决新知．让学生尝试推导双曲线标准方程，能进一步落实计算处理．（3）若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程．类比焦点在y 轴上的椭圆方程以及类比刚才的推导过程，如图可得到：焦点在y 轴上则焦点是),0(),,0(21c F c F -,将y x ,互换,得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程 【设计意图】呈现焦点在y 轴上双曲线的形状，从形帮助学生的理解．4．找不同（让学生发现椭圆、双曲线标准方程的不同点）椭圆0a b >> 双曲线00a ,b >>焦点在x 轴：22221x y a b+= 焦点在y 轴：22221y x a b+= 焦点在x 轴：22221x y a b-= 焦点在y 轴：22221y x a b -= 方程形式 ＋ －a,b 大小a b > a 不一定大于b 2c222c a b =- 222c a b =+ 焦点判断 看分母的大小（看大的） 看系数的正负（看正的）【设计意图】把信息表格化，能直观区分椭圆与双曲线的差异，能快速建立新知与旧知的联系．5．演练反馈1．判断下列方程是否表示双曲线？若是,求出c b a ,,及焦点坐标．（1）22142x y -=（2）22148x y -=- 【设计意图】强调双曲线标准方程（尤其（2）：把非标准方程化为标准方程）及基本量c b a ,,的计算．2．课本第47页例1：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，双曲线上一点P 到12F ,F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，(6P ,在双曲线上，求双曲线的标准方程．解法一：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>． 则有2236481a b-=，即22223648b a a b -=，又2225a b +=， 代入消去2b 有4210936250a a -+⨯=，即()()2210090a a --=，所以29a =（舍去2100a =）． 即所求双曲线的标准方程为221916x y -=． 解法二：（教师先引导学生把课本翻到第34页，共同回顾例1的解题过程）因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>由双曲线的定义有122a MF MF =-=137=-=6 所以3a =，又因为5c =，所以22216b c a =-=，因此，所求双曲线的标准方程为221916x y -=． 【解题反思】求标准方程常见方法有二：①待定系数法，立足基本量的运算：设方程、代入、消参；②利用定义，注意：两焦点，用定义．【学情预设】多数的学生会采用解法一：待定系数法，涉及基本量的计算，解法二对学生的理解要求较高，学生比较难以第一时间想到，让他们回顾椭圆中的解法，有利于建立新知与旧知的联系．【设计意图】解法二的介绍目的在于让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比．解完题，及时引导学生进行反思，有利知识的梳理与深化．（三）课堂小结（1）通过表格总结椭圆与双曲线的定义和标准方程．（2）关注双曲线与椭圆之间的类比学习,如定义、方程推导、解题等．（四）课后作业课本第48页：练习1、2；课本第54页：A组1、2．二、教学实践心得基于解析几何教学价值的学法指导“高中数学课程应注重学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比……等思维过程”．只有学生掌握了一定的数学学习方法，才有可能从繁杂多样的“题海”中解脱，才有可能实现“减负”，因此，注重学生学法的指导是课堂教学的一个重要、长期的教学任务．这也就要求教师在日常的教学中，能善于抓住教学时机，对学生渗透学习方法的指导，并逐渐实现潜移默化，使教学效率得以提高．1．学法指导要有针对性即要结合数学学科的特征、学习内容，针对学生的实际情况进行指导，这是学法指导的根本原则．比如双曲线与椭圆，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，这样无论是双曲线在定义形成、标准方程的推导、解题方法，都适合与椭圆进行类比，当然这种类比在抛物线的学习同样适用．2．学法指导要有实用性学法指导的最终目的是通过让学生掌握科学的学习方法，提高学习能力，培养良好的学习习惯，增强学习效果．所以，学法指导应避免摆花架子，不切实际，死搬硬套，要立足日常的课堂教学，以常规的学习方法为重点．椭圆、双曲线、抛物线是进行学法指导的良好载体，因此在双曲线（抛物线）的定义形成、方程推导、解题的学习要让学生体会“通过类比，可以解决诸如此类的问题”，让他们学以致用，用以生效．更深层次可以引导学生归纳提炼它们的解决都是围绕着“练、思、算”，即圆锥曲线学习离不开“一定量的练习、勤于反思总结类比、合理简化运算”三步曲．3．学法指导要循序渐进学法指导过程中，要按照数学学科的逻辑系统和学生认知发展的规律，结合学法指导的内在规律，持续、连贯、有系统地进行指导，要循序渐进、逐步提高．三种圆锥曲线适合类比学习，但并不意味着学生类比学习就能把它们学好，在一些具体的环节上仍需教师加以引导，比如为什么椭圆要求122a F F >，而双曲线则要求122a F F <，再如直线代入椭圆方程一般只须考虑判别式∆，而双曲线除了考虑判别式∆，还要考虑二次项前面的系数是否为0等等．因此，师生对学习方法的掌握过程要有一定的“心理价位”，不可操之过急．三、专家点评 本节课作为新授课的教学，能凸显概念教学中重要而有效的突破点：经历概念的发生发展过程，提炼概念本质．圆锥曲线的学习中，不仅要让学生深深体会、理解“坐标法”的核心思想，同时要让学生掌握学习的方法，即三种圆锥曲线之间的类比学习，本节课在学法指导方面下足功夫，教学顺畅，体现了授课教师很好的业务素质，教学效果良好，学生能得到很好的启发与引导．本节课有如下几个亮点：1．体现学科教育价值授课教师教学过程中能落实数学教育的任务．数形结合思想是解析几何的重要思想之一，本节课在双曲线标准的推导中，能引导学生类比椭圆标准方程的推导，思考如何建系，如何整理方程，并通过表格使得椭圆与双曲线的差异直观呈现．其次，教学中，教师舍得花时间让学生进行演算（而非直接给出双曲线的标准方程，计算能力的突破是解析几何教学的难点），能较好落实学生的计算能力的提升．2．能注重学法指导授课教师在双曲线定义的呈现上，以几何画板当场呈现，让学生直观感受动点轨迹的形成；在例题、习题上设置上能凸显教学目标，凸显对学生学法的指导，可见授课教师在备课上下足了功夫，能很好的研读教材，能理清教材内容之间的纵横联系，并且在教学的过程中，能有所取舍（舍去拉链问题的操作，突出对拉链问题背后的数学说理，强化学生对双曲线定义的理解），突出教学重点，化解教学难点．同时，在例题1的讲解上，能进行适当的变式，能以此为契机，让学生明白双曲线与椭圆的类比不仅仅是定义、方程的类比，也可以是解题方法上的类比，对学生及时进行学法的指导，实现“授之以渔”的教育目标．（洪丽敏）。
《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》教案
《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》教案三维目标:一、知识与技能1、理解双曲线的定义2、能根据已知条件求双曲线的标准方程3、进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法二、过程与方法1、提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
2、培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。
3、培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。
教学重点:感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。
教学难点:双曲线的标准方程的推导。
教学方法:讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流教学过程复习引入（一）创设情景、引入概念用Flash动画演示，平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两只双曲线，这种曲线就是本课要研究的对象——双曲线。
（二）温故知新，寻求引领方法问题1：椭圆的定义是什么？如何作椭圆？问题2：椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？（边回顾知识，边播放Flash课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法）问题3：在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？新课学习（三）动手演示，感受双曲线形成问题4：能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）※作图探索：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．（如此教学不仅形象生动引发学生学习兴趣，更有利于学生对概念的理解和掌握。
）(A) (B)（四）剖析特征，提炼双曲线定义1、分析绘图原理拉链在拉开、闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F2F|，动点M 变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F2F|，而|F2F|为定长，所以点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为|F2F|=2a，即|MF1|-|MF2|=2a ，如上图（B）。
人教A版高中数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程教学设计
基于核心问题的“学思课堂”教学设计
具体的要求呢？
合作探究质疑（学）1.定义的挖掘、
2.标准方程的推导、
3.方程的对比
1、首先，我设置了这样两个问题：
（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关
键字；
（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发
生怎样变化？
然后让学生带着问题进行合作探究，教
师可适当引导，对于学生难以理解的地
方适时给予帮助指导。
2、标准方程的推导
这一环节是本节课的难点，为了突破它，我
了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难
解：
(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；
(2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；
(3)换元处理与椭圆有没有区别？
(4)猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程。
（
然后让学生独立完成推导过程。
3.方程的对比
此时，学生接触的方程已比较多，很容易混
有必要加以对比。
我引导学生进行以下两组对比：
（1）双曲线方程的两种形式的对比；
（2）椭圆方程与双曲线方程的对比。
对比时会让学生注意方程结构的区别和联系
如说：到底是平方差还是平方和。
另外，还
意椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量
b、c它们的区别和联系。
，。
人教版高二数学选修 2.3.1双曲线及其标准方程导学案
高二数学 导学案（预习、讨论、作业） 班级________ 姓名______________（选修1-1, 2-1）2.3.1双曲线及其标准方程导学案[学习目标]1.从具体情境中抽象出双曲线的模型；2.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；3.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；4.通过双曲线标准方程的推导过程掌握双曲线的标准方程的两种形式． [重点难点]重点：双曲线的定义。
难点：双曲线标准方程的推导过程。
[导学流程] 一. （知识链接）回顾上节课有关椭圆定义和标准方程的内容，思考回答以下问题1.椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？2.在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．3.如图2-23，把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，点的轨迹会变化吗？已知定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．二.（基础感知）（一）1. 阅读P52—P53有关双曲线的定义及标准方程内容，回答以下问题：.将椭圆定义中的“和”为定值改为“差”是定值，轨迹还是椭圆吗？2. 小组思考交流双曲线生成过程实验 （P52） ，归纳总结重要步骤和步骤中易忽视细节；3 小组合作，类比椭圆的定义归纳双曲线定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．【反思】设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ． 【思考】：类比椭圆标准方程的建立过程，应该怎样选择坐标系来建立双曲线的标准方程? （二）阅读P53有关双曲线方程推导过程的内容，回答以下问题1. 双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）,其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何?2. 利用待定系数法求双曲线标准方程的基本步骤（重要考点）：（1）定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上。
高二数学(人教A版)《2.1曲线与方程》导学案
2.1曲线与方程一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0；（4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：知识点一 曲线与方程的概念的运用例1. 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2）－=0 （3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0例2. （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2，2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上。
（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25。
例3. 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
高二数学 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修2 学案
§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1.熟练掌握求曲线方程的方法；2.掌握双曲线的标准方程的极其推导方法，并根据方程或a 、b 、c 相互转化求解；3.双曲线与椭圆的异同比较. 学习重点：双曲线的定义、标准方程及其推导过程 学习难点：双曲线的标准方程的推导过程及椭圆的异同比较 教学过程：一知识回顾：1.椭圆的标准方程及其相应的a 、b 、c 的相应的含义2.椭圆上221259x y +=上一点P ，焦点为1F 、2F ，则△21F PF 的周长为________,若21PF F ∠为直角,则△21F PF 的面积为__________.3.在椭圆中,a=13 ,b=12,则椭圆的标准方程是 ．二知识新授：1.双曲线的定义： 椭圆的定义：注意事项： 注意事项：思考：a c a c a c 22,22,22<=>轨迹是什么？ 思考： a c a c a c 22,22,22<=>轨迹若2a=0轨迹又什么？ 是什么？画法演示：2.双曲线的标准方程：思考1：求轨迹的一般步骤是什么？类比椭圆的推导过程双曲线又该如何去推导？思考2：椭圆和双曲线的b 是如何定义的？ a 、b 、c 的大小关系如何？注意：标准方程的特征及异同点3.双曲线与椭圆的异同比较：三例题分析：例1：请判断哪些方程表示的是双曲线？并指出a 、b 、c 及焦点坐标.⑴12322=-y x ⑵14422-=-y x ⑶13422-=--y x ⑷()0012222≠=+-m m y m x变式：已知方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围知识总结：形如122=-ny m x 的方程什么时候表示的是圆、椭圆、双曲线例2：已知两定点()()0,5,0,521F F -，动点P 满足621=-PF PF ，求P 的轨迹方程.变式1：若621=-PF PF ，P 的轨迹方程又是什么？变式2：若1021=-PF PF ，P 的轨迹方程又是什么？练习：写出满足下列条件的对应的双曲线⑴4,3==b a ⑵焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)，⑶过点()3,2--，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,315例3：已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：若同时听到爆炸声，求炮弹爆炸点的轨迹方程．思考题：如何确定爆炸点的具体位置？ 课堂小结：巩固练习：1.动点P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2.双曲线的两焦点分别为 1F (-3 ,0) , 2F (3,0) ，若a = 2 ，则b =（ ）． A. 5 B. 13 C. 5 D. 133. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：⑴焦点在x 轴上，a=52，经过点A(-5,2)； ⑵经过两点A(-7,26-)、B(72,3)．4.点A,B 的坐标分别是(-5 ,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是94，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．。
人教A版数学选修2-1《231双曲线及其标准方程》教案.doc
2. 2. 1双曲线及其标准方程♦知识少技能口标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会川双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《儿 何画板》的制作或操作方法.♦过程与方法H 标（1） 预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平血与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥 的截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截而与圆 锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件示，提出两个问题：第一、你 能理解为什么此时的截口川1线是双Illi 线而不是两条抛物线；第二、伤〈能举出现实生活川双Illi 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，耍引导学生一起思考为探究P 込页上的问题 （同桌的两位同学准备无弹性的细细了两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一 个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, —•端结个套，另-•端是活动的），图钉两个）.当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子 的另一端重合在一起，拉紧绳了，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过 程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ K 板书』§2. 2. 1双曲线及 其标准方程.（2） 新课讲授过程（i ） 由上述探究过程容易得到双I11J 线的定义.K 板书』把平而内与两个定点人，九的距离的差的绝对值等于常数（小于同耳|）的 点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）.其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫 做双Illi 线的焦距.即当动点设为M 时，双曲线即为点集P= 歼—|MFj| = 2d}.（ii ） 双Illi 线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学 生來建立直角处标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学主实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程.类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c 的关系 有明显的儿何意义.2类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程朱 （iii ）例题讲解、引中为补充例1已知双曲线两个焦点分别为斥（—5,0）,鬥（5,0）,双曲线上一点P 到斥，瑪距 离差的绝对值等于6 ,求双Illi 线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求W\a^c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与OC ： （X + 2）2+/=2内切，且过r 2 —= l （Q 〉0"〉0）cr点4(2,0)；②与0C,： x2+(y-l)2 =1 和OC?： x2+(y-l)2 =4 都外切；③与OC,： (x + 3)2+y2 =9外切，且与OC2： (%-3)2+/ = 1 内切.解题剖析：这表而上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为厂.①VOC与OM内切，点A在OC外，:.\MC\ = r-y[2 f \MA\ = r ,因此有\MA\-\MC\ = y/2 f:.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2兀2 —弓一=1(兀--近)；②O M与OC?均外切，A |MCj = r + l , \MC2\ = r + 2，因此有|MC2|-|MC,| = 1, A点M的轨迹是以C?、G为焦点的双曲线的上支，・・・M的轨迹方程③ VO M 与口G外切，RDM 与口C?内切，.*. |MCj = r + 3, |MC2| = r-l,因此|MCj-|MC2| = 4, A点M的轨迹是以C「C<为焦点的双曲线的右支，・・・M的轨迹方程是J£_£= I(X>2).4 5 '丿例2已知A , B两地相距800加，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/5 ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A, B两地听到爆炸声的时间差，即可知A, B两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4$ •已知各观察点到该中心的距离都是1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声咅传播的速度为340m/5 ；相关点均在同一平而内).解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发主在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s、，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双Ilh线上.如图，以接报中心为原点O,疋东、疋北方向分别为兀轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A(-1020,0),5(1020,0), C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点‘TA、C同时听到巨响,・・・OP所在直线为y = -x……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，.\ \PB\ -\PA\ = 4 x 340 = 1360(m).由双曲线定义知,tz = 680 , c=1020 ,・・・b = 340^5 ,・・・P点在双曲线方程为7 7命一為"（Q68。
高中2012高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》学案
§2.2.1双曲线及其标准方程(一)复习1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？焦点在x 轴上， 焦点y 在轴上,如果平面内与两定点的距离的差是常数，这时候动点轨迹是什么？二1、双曲线定义：把平面内与两个定点12,F F 的 的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做 ，两个焦点间的距离叫做 。
定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2、双曲线标准方程：222b a c += （1）焦点在x 轴:（2）焦点在y 轴:3、双曲线标准方程的推导：（1）建系(2 ) 设点（3）列式（4）化简方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）a=4,b=3;（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(315,2);（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。
例2已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。
例3 已知双曲线（1）求左右焦点的坐标。
（2）如果此双曲线上一点P 与左焦点的距离是16，求它与右焦点的距离. 变式，若将(2)中16改为14，这时候求它与右焦点的距离，还是两解吗？为什么？1453622=-y x例4：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
[当堂检测]1双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 3、方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分4已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A 、k>5 B 、k>5，或-2<k<2 C 、k>2,，或k<-2 D 、-2<k<25、已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．6．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D (1,0)7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．18、过点(1,1)且b a＝2的双曲线的标准方程为________．．9已知方程22121x y k k +=--表示双曲线,求k 的取值范围.10已知双曲线C 的方程1201622=-x y .（1）求双曲线的焦点21,F F 坐标（2）如果双曲线C 上的一点P 与焦点1F 的距离等于8，求点P 与焦点2F 的距离11、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上12、求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程；。
高二数学(人教A版)《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
§2.2.1双曲线及其标准方程[自学目标]:掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.[重点]:双曲线的定义,双曲线标准方程。
[难点]:双曲线标准方程的推导过程。
一、课前准备复习 1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习 2：在椭圆的标准方程12222=+by a x ， a ,b ,c 有何关系？二、新课导学★ 学习探究问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的 的绝对值等于 (小于|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线________反思：设常数为a 2，为什么a 2 < |21F F | ？当a 2 = |21F F |时，轨迹是__________ ；当 a 2 > |21F F | 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________新知 2：双曲线标准方程的推导：（1）建系(2 ) 设点（3）列式（4）化简方程问题 2：若焦点在 y 轴，双曲线的标准方程又如何呢？[预习自测]1、双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±）2、求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）a=4,b=3,焦点在x 轴;焦点在y 轴;（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(315,2);（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。
待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：双曲线标准方程例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。
高中数学《双曲线及其标准方程》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程2.2.1 双曲线及其标准方程一、学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点、难点】1.双曲线的定义及标准方程2.双曲线的标准方程的推导及简单应用二、学习过程【复习引入】复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．【导入新课】问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【典型例题】【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【例2】 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2【变式拓展】1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．2.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．三、总结反思1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论．四、随堂检测1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝14．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．。
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§2.2.1双曲线及其标准方程
[自学目标]:
掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.
[重点]:
双曲线的定义,双曲线标准方程。
[难点]:
双曲线标准方程的推导过程。
一、课前准备
复习 1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习 2：在椭圆的标准方程122
22=+b
y a x ， a ,b ,c 有何关系？
二、新课导学
★ 学习探究
问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的 的绝对值等于 (小于
|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线________
反思：设常数为a 2，为什么a 2 < |21F F | ？
当a 2 = |21F F |时，轨迹是__________ ；
当 a 2 > |21F F | 时，轨迹____________ ．
试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________
新知 2：双曲线标准方程的推导：
（1）建系
(2 ) 设点
（3）列式
（4）化简方程
y
O x
M F 1F 2
问题 2：若焦点在 y 轴，双曲线的标准方程又如何呢？
[预习自测]
1、双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±）
2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）a=4,b=3,焦点在x 轴;焦点在y 轴;
（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(3
15,2);
（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。
请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师
和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：双曲线标准方程
例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。
变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点 P 到右焦点的距离为_______ ．
探究二：轨迹方程
例2：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
变式：如果 A , B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
[当堂检测]
1．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )
A.x 25－y 24＝1
B.y 25－x 2
4
＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 2
16
＝1 2.方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
3.已知方程12
52
2=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A 、k>5 B 、k>5，或-2<k<2 C 、k>2,，或k<-2 D 、-2<k<2
4.已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________
5.已知点 M (-2 ,0),N (2,0) ，动点P 满足条件| PM | - | PN |= 22 . 则动点P 的轨迹方程为______________
[拓展提升]
1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A ．(22，0)
B ．(52
，0) C ．(62
，0) D (1,0) 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2
＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12
B ．1或－2
C ．1或12
D ．1 3、过点(1,1)且b a
＝2的双曲线的标准方程为________． 4、根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P )415,3(，Q )5,3
16(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
5、求与椭圆15
252
2=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程.。