轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)

x x
z y
y z
c xyz 1c x y z
所以
a b c x y z 1 1 a 1b 1c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式 子化简，就可以得出相同规律.
1
例４设 a
11 bc

1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
=(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至 少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
例４
111 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
111
1

an bn cn an bn cn
xz yz z 2 z ③
yz zx xy
由①+②+③ 得
x2 y 2 z 2 ( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz ) yz zx xy yz yz zx zx xy xy
x y z
所以
x2 y2 z2 x y z x y z yz zx xy

c)(c c)(c

a) a)

1
例７.
已知x、y、z满足关系式
y
x
z

y z
x

z z zx xy
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2 xy xz x ①
yz zx xy
xy
y2
yz

y
②
yz zx xy
证明：解方程组
x by cz

y

cz

ax
(1) (2)
z ax by (3)
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以
a y z x 则1 a x y z
2x ，
2x
所以
a yzx
1 a x y z
同理可得，
b 1 b
abc

0
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc = (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b–abc =(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c)

ca
c c

1
=
ca
ca c

1
+
c

1 1
ca

ca
c c

1
=
ca 1 c ca c 1
=1 于是命题得证。 评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例３ 已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.
证明： a b c 1
1 a 1 b 1 c
证明：∵(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 又∵a+b+c=a2+b2+c2=2
∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1 ∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc
= x3-2x2+x-abc
即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc 由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc ∴ a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式 不变，这种多项式叫对称多项式。 如 (a b)2 a2 2ab b2 是一个二元对称式．
(x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1
例题 求方程x+y=xy的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分 解因式。
本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中 一个分式化简，就可以得出相同规律.
解：∵a+b+c=0，∴a＝－b－c，
2a2 bc a2 bc a(b c)
a2 ac ab bc (a b)(a c)
同理：2b2 ac (b a)(b c),
初中数学竞赛系列讲座
合肥市第三十八中学 赵月和
一.定义 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,
y, z任意交换两个后，代数式的值不变，则 称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如：代数式x+y，
11
x5+y5+xy,
xy
xy， x3+y3+z3－3xyz, 都是对称式.
其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
1
c
a
1
b
c

0，
即 bc ca ab (a b c) abc abc a b c
0
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
证明(2) :由(1)得，不妨设a+b=0，即b= -a，因为n为奇数
∴1 11 1 1 1 1
a n bn c n a n a n c n c n
又
1

1
1
a n bn c n a n an c n c n
∴ 111
1
an bn cn an bn cn
2x2y+2y2z+2z2x, 1 1 1 1 ,
a b c abc
（xy+yz+zx） 都是轮换式.
(1 1 1) ，
xyz
. a2
1 b2
c2

b2
1 c2
a2

c2
1 a2
b2
很显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称 式.
二.性质 1、含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变
16
16
16
＝3S（S－a）(S－b)(S－c).
例２ 若abc=1，试证: a b c 1
ab a 1 bc b 1 ca c 1
证明：∵abc=1
∴
abc ab a 1 bc b 1 ca c 1
=
abc
ac ac

c
+
bc

b b
abc
实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对 称式。令a= -b，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0，这就是说a+b是 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c、 a+c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入， 求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有 因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不 为零），仍然是对称式（轮换式）.
比如：∵x+y, ∴x+y＋xy，
xy都是对称式 （x+y）xy，
x
y
等也都是对称式.
xy
又：∵xy+yz+zx和 1 1 1 都是轮换式，
量的基本对称式来表示.
２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必 含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且 系数相等.
例如：在含x, y, z的二次对称多项式中， 如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有
xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数， 都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.
= (b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc
1
例４设 a
11 bc

1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
证明：(1)由 1 1 1 1 得
a b c abc
1
a
1
b
1
c
a
1
b
c

0，
即 bc
ca ab a b c abc a b c
例5 求证：
a2(b c) b2(c a) c2(a b) (a b)(b c)(a c)
例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中， 有因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
a2
b2
c2
例６ 若a+b+c=0，求 2a2 bc 2b2 ac 2c2 ab 的值
2c2 ab (c a)(c b);

原式

(a
a2 b)(a
+
c) (b

b2 a )(b
c) (c

c2 a )(c
b)
a2(b c) b 2(c a) c2(a b)

(a b)(b c)(c a)

(a (a

b )(b b )(b
３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含 有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式， 且系数相等. 例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中， 有因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
例如：轮换式分解因式：
a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)＝－ (a－b) (b－c) (c－a)
(2)对任何奇数n，有
1 an

1 bn

1 cn

an
1 bn
cn
要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证 (a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现 (a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。
证明：(1)由
1 a

1 b

1 c

a

1 b

c
得
1
a
1
b
即： x 2 y 2 z 2 0 yz zx xy
例８ 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a、b、c时的值。 因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2 是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(xc)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。
解：∵
1 a2 b2 c2
1 ＝ a2 b2 (a b)2 ＝
1 2ab
∴＝
1 a2 b2 c2

b2

1 c2

a2

c2

1 a2
b2
＝－ 1
1
－
－
1
cab
＝－
＝0.
2ab 2bc 2ca
2abc
练习1:
已知：S＝ 求证：
12（a+b+c）.
4a2b2 (a2 b2 c2 ) 4b2c2 (b2 c2 a2 ) 4c2a2 (c2 a2 b2 )
本题的证明采用了构造法，它构造了三次式 (x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通 过赋值来证明。
１、已知a+b+c=10，a2 b2 c2 38，a3 b3 c3 160 ， 则abc的值是( )
xyz
∴
1 x

1 y

1 z
＋xy+yz+z，
（
1 x

1 y

1 z
）（xy+yz+z）.
也都是轮换式。
三：例题精讲
例题１：已知：a+b+c=0, abc≠0.
求代数式 1
1
1 的值


a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后， 其余的两个分式，可直接写出它的同型式.
解： ∵ x+y=xy
∴ (x-1)(y-1)=1.
解之，得 x-1=1,y-1=1;
或 x-1=-1, y-1=-1.
∴ x=2 y=2
或
x=0 y=0
关于x、y、z 三个变量的多项式，如果对式子 中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把 y换成 z , 把z 换成 x），所得的式子仍和原式 相同，则称这个多项式是关于x、y、z的 轮换对称式.简称轮换式. 例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),