初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第21章不定方程试题新人教版

第21章 不定方程

§21.1 二元一次不定方程

21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解．

解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是

2,,

x n y n =+⎧⎨=⎩ 其中n 可以取一切正整数．

21.1.2★求11157x y +=的整数解．

解析1 将方程变形得

71511y

x -=．

因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解，

所以方程的解为

215,

111,x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 为整数．

解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得

()()1141531⨯-+⨯=，

所以

()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=，

可取028x =-，0 21y =．从而

2815,

2111,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 为整数．

评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程

ax by c += ①

有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为

00,

,

x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩

其中0t =，±1，±2，±3，…．

21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解．

解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得

31145x y +=． ①

由观察知，14x =，11y =-是方程

3111x y += ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

()00

454180,45145,x y =⨯=⎧⎪⎨=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为

18011,453.x t y t =-⎧⎨=-+⎩

因为要求的原方程的非负整数解，所以必有

180110,4530.t t -⎧⎨-+⎩

≥③≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．

当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是

15,0,x y =⎧⎨=⎩4,3.x y =⎧⎨=⎩

21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解．

解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．

用方程

719213x y +=①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

213193530277y y x y --=

=-+．② 因为x 、y 是整数，故357

y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255u u y u --=

=-+．③ 令325

u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④

由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为

2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩0,1,2,t =±±

由于要求方程的正整数解，所以

25190,270.t t ->⎧⎨+>⎩

解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为

25,2,x y =⎧⎨=⎩6,9.x y =⎧⎨=⎩

21.1.5★求方程3710725x y +=的整数解．

解析 因为10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+．

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4

=37-9×(37-33)=9×33-8×37

=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37

=37×(-26)+107×9,

由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是

()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=

是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为

650107,

22537,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 是整数．

21.1.6★求方程92451000x y z +-=的整数解．

解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为

38,351000.x y t t z +=⎧⎨-=⎩①

②

用前面的方法可以求得①的解为

38,

3,x t u y t u =-⎧⎨=-+⎩u 是整数．

②的解为

20005,

10003,t v z v =+⎧⎨=+⎩v 是整数．

消去t ，得

6000815,

200035,10003,

x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩,u v 是整数．

21.1.7★求方程23723x y z ++=的整数解．

解析 设23x y t +=，则

23,723.x y t t z +=⎧⎨+=⎩①

②

对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为

3,

2,x t u y t u =--⎧⎨=+⎩u 是整数．

又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为