图形的变化
北师大版数学二年级上册第四单元《图形的变化》优秀教学设计
北师大版数学二年级上册第四单元《图形的变化》优秀教学设计一. 教材分析《图形的变化》是北师大版二年级上册第四单元的内容，本节课的主要内容是让学生通过观察和操作，理解平移和旋转的概念，以及它们在实际生活中的应用。
教材通过丰富的图片和生动的语言，引导学生发现图形的变换规律，培养学生的观察能力和动手操作能力。
二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的图形认知基础，他们能够识别和描述一些基本的图形。
但是，对于平移和旋转这两个概念，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动形象的讲解和具体的操作活动，帮助学生理解和掌握这两个概念。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握平移和旋转的概念，能够用语言描述图形的平移和旋转现象。
2.过程与方法：通过观察、操作和交流，培养学生的观察能力、动手能力和语言表达能力。
3.情感态度与价值观：让学生在解决问题的过程中体验到数学的乐趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握平移和旋转的概念。
2.难点：能够用语言描述图形的平移和旋转现象。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.操作教学法：通过具体的操作活动，让学生在实践中理解和掌握平移和旋转的概念。
3.互动教学法：通过生生、师生之间的互动，促进学生对知识的理解和掌握。
六. 教学准备1.准备一些图形图片，如正方形、三角形等。
2.准备一些操作工具，如剪刀、胶水等。
3.准备一些视频材料，如旋转的电梯、转动的风车等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图形图片，让学生观察并描述这些图形。
然后，教师提出问题：“你们听说过图形的变化吗？图形的变化有哪些呢？”引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些视频材料，让学生观察和描述图形的平移和旋转现象。
同时，教师进行讲解，明确平移和旋转的概念。
3.操练（10分钟）学生分组进行操作活动。
中班数学图形变变变
中班数学图形变变变在中班数学的学习中，图形是一个非常重要的内容。
通过学习图形，孩子们能够培养空间想象力、观察力和逻辑思维能力。
在本文中，我们将探讨中班数学中的图形变化。
图形变化是指图形在某些特定条件下发生的改变。
通过学习图形变化，孩子们可以了解图形的特点和属性，同时也可以培养他们的观察和分析能力。
下面我们将以几个例子来介绍一些常见的图形变化。
第一个例子是图形的旋转。
在中班数学中，孩子们会学习到图形的旋转变化。
孩子们可以将原始图形放在一个固定点上，然后按照一定的角度进行旋转。
通过这个过程，孩子们可以观察到图形在旋转过程中的变化，并且可以通过旋转来创造出不同的图形。
除了旋转，孩子们还可以学习到一个图形的放大和缩小变化。
在中班数学中，孩子们可以通过将一个图形进行放大或缩小，来观察到图形的变化。
放大和缩小是通过改变图形的大小来实现的。
通过这个过程，孩子们可以发现当图形被放大时，图形的大小和形状都会发生变化；而当图形被缩小时，图形也会有相应的变化。
还有一个常见的图形变化是图形的平移。
平移是将图形按照一定的方向和距离进行移动。
在中班数学中，孩子们可以通过将一个图形进行平移来观察图形的变化。
通过平移，孩子们可以发现图形的位置发生了变化，但是图形的形状和大小并没有发生改变。
通过上述的例子，我们可以看到中班数学中的图形变化是一个非常有趣和有意义的学习内容。
通过学习图形变化，孩子们不仅可以培养他们的观察力和分析能力，还可以提高他们的思维能力和创造力。
除了上述例子外，中班数学中还有许多其他有关图形变化的内容。
例如，孩子们可以学习到图形的对称变化，即通过一个轴将图形分成两个相同的部分。
孩子们还可以学习到图形的镜像变化，即通过一个镜面将图形映射到另一侧。
这些都是图形变化中非常重要的概念，通过学习这些概念，孩子们可以更好地理解图形的特点和属性。
在中班数学中，图形变化不仅可以培养孩子们的观察力和分析能力，还可以提高他们的思维能力和创造力。
图形的变化知识点六年级
图形的变化知识点六年级图形的变化是数学学科中的一个重要内容，对于六年级的学生来说，学习图形的变化知识是必不可少的。
本文将介绍六年级学生需要掌握的图形变化的知识点，帮助他们更好地理解和应用图形的变化。
1. 图形的平移变化平移是指在平面上将图形沿着某个方向保持形状和大小不变地移动。
对于六年级的学生来说，他们需要了解以下几个方面的知识：1.1 平移的基本概念平移是指通过将图形沿着直线平行地移动，使得图形的形状和大小不变。
学生需要理解平移的基本概念，能够用自己的话解释平移的含义。
1.2 平移的表达方式平移可以通过向量的表示方法进行表达。
学生需要了解向量的概念，并能够用向量的表示方法描述平移的过程。
1.3 平移的性质平移具有保形性、等距性和可逆性。
学生需要理解这些性质的含义，并能够通过具体的例子来说明这些性质。
2. 图形的旋转变化旋转是指图形在平面上绕着某个点或某条线旋转一定角度的变化。
学生需要了解以下几个方面的知识：2.1 旋转的基本概念旋转是指通过图形沿着某个点或某条线旋转一定角度，使得图形的形状和大小不变。
学生需要理解旋转的基本概念，并能够用自己的话解释旋转的含义。
2.2 旋转的表达方式旋转可以通过角度的表示方法进行表达。
学生需要了解角度的概念，并能够用角度的表示方法描述旋转的过程。
2.3 旋转的性质旋转具有保形性、等角性和可逆性。
学生需要理解这些性质的含义，并能够通过具体的例子来说明这些性质。
3. 图形的对称变化对称是指图形关于某个点、某条线或某个面成镜像对称的变化。
学生需要了解以下几个方面的知识：3.1 对称的基本概念对称是指通过图形关于某个点、某条线或某个面成镜像对称，使得图形的形状和大小不变。
学生需要理解对称的基本概念，并能够用自己的话解释对称的含义。
3.2 对称的表达方式对称可以通过轴线的表示方法进行表达。
学生需要了解轴线的概念，并能够用轴线的表示方法描述对称的过程。
3.3 对称的性质对称具有保形性、等长性和可逆性。
图形的变化PPT精品课件
效果图
等腰三角形
平行四边形
等腰三角形
平行四边形
长方形
筝形
6、你能说出下面的图案是怎 么形成的吗？
①
②
③
④
动动手.比比谁有想象力
请你构造一些图案，使每一个图案中含有 2个三角形、2个圆形和两条线段，并给图 案加上适当的解说词。
稻草人,我们应该像
稻草人一样有着坚强 的意志
电灯,我们要像电灯一
样奉献自己的光和热
梵高的作品包含了深刻的悲剧意识、强烈的个性和在 形式上的独特追求，远远走在时代的前面。梵高的作品 在他在世时，不为社会承认，他在世时只卖出过一幅作 品 ， 这 就 是 1890 年 在 布 鲁 塞 尔 一 个 展 览 会 上 出 售 的 《红色的葡萄园》。20世纪以后，梵高作品的价值越 来越为人们认识。
2.在5×5的方格纸中,将图1中的图形N平移，平移后的位置 如图2所示，那么正确的平移方法是_________
3.下列四个图形中，形成方法与另 外三个不同的是（ B ）
议一议
4.你能说出下面的图案是怎样形成的吗？
①
②
③
④
5.如图，将两块相同的直角三角尺的相 等边拼在一起，能拼出几种不同的平面图 形？你能说出这些图形的名称吗？
葵向 日
音乐：贝多芬《英雄交响曲》
世界的文争与和平》 《安娜卡列尼娜》 《复活》
美术：梵高《向日葵》
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
图形的变化与对称
图形的变化与对称一、图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这种移动叫做图形的平移。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这种移动叫做图形的旋转。
3.轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
二、图形的对称性1.对称轴：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这条直线就叫做这个图形的对称轴。
2.对称点：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这个图形的每个点都有一个对应的对称点。
3.中心对称：在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
三、图形的对称性质1.对称图形的性质：对称图形的大小、形状和位置都不变，只是位置发生了变化。
2.轴对称图形的性质：轴对称图形沿对称轴对折，对折后的两部分完全重合。
3.中心对称图形的性质：中心对称图形绕对称中心旋转180°，旋转后的图形和原图形完全重合。
四、图形的变换与对称的应用1.利用图形的变换与对称解决实际问题，如设计图案、解决几何题等。
2.了解图形的变换与对称在生活中的应用，如建筑设计、艺术创作等。
1.判断题：（1）平移是将图形沿着一个方向移动一定的距离。
（）（2）旋转是将图形绕一个点转动一个角度。
（）（3）如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（）（4）对称轴是将图形分成两个完全相同部分的一条直线。
（）2.选择题：（1）以下哪个选项不是图形的变换？（）A.平移B.旋转C.翻转D.缩放（2）一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分完全重合，这个图形沿该直线叫做什么？( )A.对称轴B.对称点C.对称线D.对称面3.解答题：（1）请描述轴对称图形的特点。
（2）请描述中心对称图形的特点。
图形的变化与变形
图形的变化与变形在数学中，图形的变化与变形是一个重要的概念。
通过对图形进行变换和变形，我们可以观察到图形的性质和特点，并且可以在实际生活中应用这些概念。
本文将探讨不同类型的图形变化和变形，并讨论其在数学和日常生活中的应用。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着一个向量的方向和大小进行整体移动。
在平移变换中，图形的形状和大小保持不变，仅仅是位置发生了改变。
平移变换可以用于描述物体在空间中的位置变化，也可以用于设计中的排版和布局。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形按照某一点为中心，按照一定的角度进行转动。
在旋转变换中，图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。
旋转变换广泛应用于几何学、机械设计和计算机图形学等领域。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例进行扩大或缩小。
在缩放变换中，图形的形状发生改变，但是相似性质保持不变。
缩放变换常用于地图、建筑设计和图像处理等领域。
四、对称变换对称变换是指将一个图形根据某一轴线进行镜像反转。
在对称变换中，图形的形状和大小保持不变，只是形状发生了镜像。
对称变换常用于艺术设计、建筑构造和密码学等领域。
五、剪切变换剪切变换是指将一个图形按照一定的比例进行拉伸或压缩。
在剪切变换中，图形的形状发生改变，同时也改变了内部的角度和长度。
剪切变换常用于建筑设计、艺术创作和工程施工等领域。
图形的变化与变形不仅在数学上具有重要意义，而且在日常生活中也有广泛的应用。
举例来说，我们在进行室内布置时，通常会使用平移变换来调整家具的位置和布局；在建筑设计中，会使用旋转变换来调整建筑物的朝向和角度；在地图和导航系统中，会使用缩放变换来调整地图的大小和比例；在艺术创作中，会使用对称变换和剪切变换来产生惊人的视觉效果。
总之，图形的变化与变形是数学中的一个重要概念，可以帮助我们理解和应用各种类型的变换。
通过学习图形的变化与变形，我们可以提升我们的数学思维能力，扩展我们的空间想象力，并且将这些知识运用到实际生活和工作中。
怎样找出图形变化的规律
数学篇解题指南图形变化问题就是观察一组由简到繁的图形的变化过程，然后归纳猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式的一类问题.我们在解答这类问题时，需从第1、2、3个甚至更多个简单图形开始，分析其变化规律，然后借助代数式推算出后面更复杂图形的变化形式，从而得出结果.图形规律题通常分为“同增幅”与“变增幅”两大类，下面举例予以说明.一、“同增幅”图形的变化规律“同增幅”图形是指相邻两个图形增加的量是相同的，即增幅相等.我们可以借助“做标记”的方法找出相同增幅，从而将图形变化规律转化为数字变化规律，并将数量关系用代数式表示出来.1.单一增加型单一增加型是指图形的变化是以某一个小整体依次连续不断的增加组成的.解答的策略即先观察分析递增的组合图,然后用作差法确定图形变化的增幅，进而探寻图形的变化规律.例1图1为一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形构成，第2个图案由7个基础图形构成，……，第n（n 为正整数）个图案中由__________个基础图形构成.图1分析：该图案每两个之间增加的图形是相同的，即其增加的“幅度”是相等的.可以通过“做标记”（如图1-1所示）的方法将其增加部分表示出来.这样就可以清楚地看出增加的部分是相同的.然后利用归纳和推理找出其中的规律.图1-1解：通过观察和归纳发现：第1个图案：4个基本图形；第2个图案：4个基本图形+3个基本图形（阴影标注），共4+3个基本图形；第3个图案：4个基本图形+3个基本图形（阴影标注）+3个基本图形（空心标注），共4+3+3=4+2×3个基本图形；……由此可以推理出：第n 个图案：4个基本图形+3个基本图形+…+3个基本图形，共4+3+…+3=4+（n -1）×3=3n +1个基本图形；所以，第n 个图案由（3n +1）个基本图形组成.评注：单一增加型图形的变化规律比较明显，同学们只需要耐心地画出两个相连图案之间的增幅，通过观察、归纳和整理即可解题.2.成倍增加型这类图形不是以图形的整体增加组成，而是图形各部分依次成倍地增加，通常很难快速找出增量，需要仔细观察，慢慢分析才可以找到突破口.解答这类问题应分步思考：第一步，把每次增加的部分表示出来；第二步，各部分相加表示出整体；第三步，确定增幅，找出规律.例2如图2，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按下图的分布规律推断，S 与n之间的关系可以用式子_________去表示.19数学篇数苑纵横图2分析：此题的图案是正方形，仔细观察图形可以发现，第2个图案四条边各增加一个棋子，第3个图案每条边各增加2个棋子，增量构成了边长为“2”的正方形.各图案间的增幅构成规则的正方形，且相邻图形的增量是相等的，因此，此题可以转化为求正方形周长问题.图2-1解：用空心圆标注图案“增幅”如图2-1所示.第1图案：4个棋子第2图案：4个棋子+4棋子（空心），即共4+4个棋子；第3图案：4个棋子+4棋子（空心）+4棋子（空心），即共4+2×4棋子；第4图案：4个棋子+4棋子（空心）+4棋子（空心）+4棋子（空心），即共4+3×4个棋子；……由此可以推算出：第n 图案：4个棋子+4棋子（空心）+…+4棋子（空心），即共4+（n -1）×4=4n 个棋子；所以，S =4n.评注：此类题的增幅虽然是“相同”的，但很容易让人产生增幅不等的错觉，同学们在研究分析图形变化规律时，要准确找出相邻图案间的“增幅”.二、“变增幅”图形的变化规律“变增幅”图形变化规律是指相邻两个图形增加的量是不同的.这类问题比较复杂，我们需要仔细观察图案，首先借助“做标记”的方法找到相邻图形之间的变化，并确定变化的增幅，然后找出增幅的数字变化规律，最后例3将一些半径雷同的小圆按如下图的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有_________个小圆.第n 个图形呢？图3分析：此题图案比较复杂，但细细观察可以发现，每个图案的四个角的小圆数量相等，属于不变量.因此我们只需要找出中间小圆的变化规律即可解题.再次观察图案发现，中间的小球相邻的图案每增加一行，同时增加一列，构成一个矩形，如图3-1所示.图3-1解：第1图案：4个球+2球（中间），即共4+2=4+1×2个球；第2图案：4个球+2×3球（中间矩形），即共4+2×3个球；第3图案：4个球+3×4球（中间矩形），即共4+3×4个球；第4图案：4个球+4×5球（中间矩形），即共4+4×5个球；……由此可以推算出：第6图案：4个球+6×7球（中间矩形），即共4+6×7=46个球……第n 图案：4个球+n ×（n +1）球（中间矩形）4+n ×（n +1）=n 2+n +4个球.评注：“变增幅”图形比较复杂，规律比较难寻，但只要我们仔细观察，找出“变”与“不变”的量，问题便可迎刃而解.在解答图形规律题时，同学们要多罗列出前几个图形的变化情况，找出变化趋势，然。
图形变化知识点总结
图形变化知识点总结1. 图形的平移变化平移变化是指图形在平面上沿着一个方向移动一定的距离，而保持其大小，形状和位置不变。
平移变化可以用向量来描述，在数学中我们通常使用坐标点表示向量的方向和长度。
在平移变化中，图形上的每一个点都会按照向量的方向和长度发生移动，但是整个图形的形状和大小不会发生改变。
在平移变化中，我们可以使用矢量表示图形上的每一个点，从而描述整个图形的平移变化。
2. 图形的旋转变化旋转变化是指图形围绕中心点按照一定的角度顺时针或逆时针旋转，而保持其大小，形状和位置不变。
旋转变化是通过一个旋转矩阵来描述的，在数学中我们可以通过旋转矩阵将一个点进行旋转变化。
在旋转变化中，我们通常使用旋转角度来描述图形的旋转变化，从而确定图形旋转的角度和方向。
3. 图形的放缩变化放缩变化是指图形围绕中心点按照一定的比例进行缩放，从而改变图形的大小，而保持其形状和位置不变。
放缩变化可以通过一个矩阵来描述，在数学中我们可以使用矩阵将一个点进行放缩变化。
在放缩变化中，我们通常使用放缩比例来描述图形的放缩变化，从而确定图形放缩的比例和方向。
4. 图形的镜像变化镜像变化是指图形围绕一条轴进行对称变化，而保持其大小，形状和位置不变。
镜像变化可以通过一个矩阵来描述，在数学中我们可以使用矩阵将一个点进行镜像变化。
在镜像变化中，我们可以使用对称轴来描述图形的镜像变化，从而确定图形的对称轴和方向。
5. 图形的复合变化在实际问题中，我们通常会遇到图形进行多种变化的情况，这时我们需要将不同的变化方式组合在一起进行图形变化。
这就是图形的复合变化，它可以包括对一个图形进行多次平移，旋转，放缩和镜像等变化。
在数学中，我们可以通过矩阵的乘法来描述图形的复合变化，从而确定图形的变化方式和顺序。
在总结图形变化知识点时，我们需要了解图形的基本变化方式，包括平移，旋转，放缩和镜像等变化方式。
同时，我们需要了解如何通过矩阵和向量描述图形的变化，从而确定图形的变化方式和顺序。
《图形的变化》教学反思
《图形的变化》教学反思1、《图形的变化》教学反思教学片段截取:我先打开“练习”画图文件，里面分别整齐排列着4个一模一样的“小帆船”、“蝴蝶”和“美猴王”。
接着，我开始“变魔术”，演示“小帆船”的水平翻转等各种变化，并挑战性地问学生“你会变吗”，激励学生打开“练习”画图文件，探究“小帆船”的其他魔术变法。
“蝴蝶”如何“长大”或“缩小”、“美猴王”怎样大耍“醉拳”……学生们在问题的引导下认真地自主学习，体验发现的快乐，感悟电脑绘画的快捷与神奇，操作技能不断提高。
然后，我请学生打开“作业”画图文件，里面有太阳、蝴蝶、树、美猴王和绿茵茵的草地等素材，让学生展开想像的翅膀，对素材进行组合，创作作品。
学生练习时，我要求“越创新越好”。
学生展示作品以后，我组织学生自己品评。
其中，一位学生将太阳画成美丽的少女，另一位学生则画成丑陋的巫婆，并且都认为自己的作品有创意，看不起对方。
争起来没完没了，话也越说越尖刻。
面对突然出现的“小插曲”，我没有乱了方寸，而是敏锐地抓住矛盾“做足文章”：首先，充分肯定两位学生的创意，使他们冷静下来；然后，组织全体同学讨论哪个创意更好。
临了，我幽默地说：孙悟空恐怕也不乐意和丑巫婆在一起，要知道，它可是“美猴王”啊！学生会心地笑了。
讨论顺势引向深入：如何评价作品、如何面对别人的评价……两位学生一脸惭愧，真诚地向对方道歉，全班响起热烈掌声。
随后的作品评价出现评者中肯、听者欣然的良好局面。
教学反思：在教授本课时，我密切联系学生生活实际和学习实际，对教材内容进行了灵活处理。
除教材上有的“小帆船”和“蝴蝶”图形外，创造性地增加了学生喜爱的“美猴王”图形，放手让学生探究和创造，尽情地变换自己喜欢的“美猴王”形象。
课堂上，学生唱主角，我则“沉”入学生中间，互相讨论，平等对话，一起探究。
我一方面勉励学生面对失败不气馁，冷静地理清思路后再尝试，培养、优化学生的意志品质和思维品质，另一方面了解学生学习过程中遇到的问题，在必要时给予帮助，针对性地请“成功”的学生上来演示，鼓励“能者为师”，激发学生的好胜心和不服输的.精神。
图形的变化原理和应用题
图形的变化原理和应用题1. 引言在计算机科学和图形学领域，图形的变化是一种常见的操作。
通过对图形进行平移、旋转、缩放等变换，可以实现图形的形状和位置的改变。
本文将介绍图形的变化原理以及一些常见的图形变换应用题。
2. 图形的变换原理图形的变换涉及到坐标系的变化以及对图形的顶点进行坐标计算的过程。
下面是一些常见的图形变换原理的介绍：2.1 平移变换平移变换是将图形沿着x轴和y轴方向进行移动。
平移变换的原理是将图形的所有顶点坐标都加上一个平移向量来实现。
具体公式如下：新坐标 = 原坐标 + 平移向量2.2 旋转变换旋转变换是将图形按照某个旋转中心以一定的角度进行旋转。
旋转变换的原理是通过坐标变换公式来计算图形的新坐标。
具体公式如下：新坐标.x = 原坐标.x * cos(旋转角度) - 原坐标.y * sin(旋转角度)新坐标.y = 原坐标.x * sin(旋转角度) + 原坐标.y * cos(旋转角度)2.3 缩放变换缩放变换是将图形在x轴和y轴方向上按照一定的比例进行缩放。
缩放变换的原理是通过坐标变换公式来计算图形的新坐标。
具体公式如下：新坐标.x = 原坐标.x * 缩放比例.x新坐标.y = 原坐标.y * 缩放比例.y3. 图形变换的应用题图形变换在实际应用中有很多用途，下面介绍几个常见的应用题：3.1 光线追踪光线追踪是一种渲染技术，可以模拟光线在场景中的传播和反射。
图形变换被广泛应用于光线追踪算法中，用来计算光线与物体的交点以及反射光线的方向。
通过图形变换，可以实现场景中物体的平移、旋转和缩放等效果。
3.2 三维建模三维建模是计算机图形学中的一个重要应用领域。
通过图形变换，可以实现对三维模型的变换和形状调整。
例如，可以通过平移变换来改变模型在三维空间中的位置，通过缩放变换来调整模型的大小，通过旋转变换来改变模型的朝向。
3.3 图像处理图形变换在图像处理领域也得到广泛应用。
例如，可以通过平移变换来实现图像的平移，通过旋转变换来实现图像的旋转，通过缩放变换来实现图像的缩放。
5图形的变化
五.图形的变化1.【图形的对称】1.1生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．1.2轴对称性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．1.3轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．1.4镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．1.5关于X轴，y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，−y）．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（−x，y）．1.6坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m−a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n−b）1.7作图-轴对称变换几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．1.8利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．1.9剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．1.10轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．1.11翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．2.【图形的平移】2.1生活中的平移现象1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．2.2平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．2.3坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x＋a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x−a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y＋b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y−b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）2.4作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．2.5利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.【图形的旋转】3.1生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．．3.2旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.3旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．3.4中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．3.5中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.6关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（−x，−y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．3.7坐标与图形变换-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（−x，−y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．3.8作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．3.9利用旋转设计图形由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．3.10几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．4.【图形的相似】4.1比例性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab＝cd，，则ad＝bc．②合比性质．若ab＝cd，，则a＋bb ＝c＋dd．③分比性质．．若ab＝cd，则a−bb＝c−dd．④合分比性质．．若ab＝cd，则a＋ba−b＝c ＋dc−d．⑤等比性质．．若ab＝cd＝…＝mn（b＋d＋…＋n≠0），则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝mn．4.2比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．4.3黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为4.4平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．4.5相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．4.6相似多边形（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4.7相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．4.8相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4.9相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．4.10相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．4.11作图-相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．4.12位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．4.13作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．4.14射影定理（1）射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．（2）Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：① ＝BD •DC ；② ＝BD •BC ； ＝CD •BC ．5.【锐角三角函数】5.1锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA ＝∠ 的对边∠ 的斜边＝（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA ＝∠ 的邻边∠ 的斜边＝ （3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ． 即tanA ＝∠ 的对边∠ 的邻边＝（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．5.2锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．5.3同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A＋cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA．5.4互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°−∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°−∠A）；也可以理解成若∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．5.5特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．5.6解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A＋∠B＝90°；②三边之间的关系：③边角之间的关系：sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）5.7解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5.8解直角三角形的应用—坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．5.9解直角三角形的应用—仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5.10解直角三角形的应用—方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．6.【投影与视图】6.1简单几何体的三视图（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．（2）常见的几何体的三视图：。
什么是图形变化方式的概念
什么是图形变化方式的概念图形变化方式是指将一个图形通过某种规则或方法进行变换，从而得到另外一个图形的过程。
在数学和几何学中，图形变化是研究图形性质和特征的重要方式之一，它可以帮助我们深入理解和掌握图形的结构和性质，为实际问题的解决提供一种有效的方法。
图形变化方式有许多不同的类型，包括平移、旋转、缩放、镜像和投影等。
每种类型的变化方式都有其独特的规则和特点，可以对图形的位置、大小、形状和方向等进行改变。
平移是指将一个图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。
平移变化可以通过将图形上的每个点的坐标按一定规则进行移动来实现。
平移变化对于在平面上研究图形的位置和相对关系非常有用，可以帮助我们确定图形的对称性和重合关系。
旋转是指将一个图形围绕一个中心点按一定角度旋转。
旋转变化可以通过将图形上的每个点绕着中心点旋转相应的角度来实现。
旋转变化可以改变图形的方向和形状，同时保持图形的大小不变。
旋转变化在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以用来描述物体的转动和旋转的性质。
缩放是指将一个图形按照一定比例进行放大或缩小。
缩放变化可以通过改变图形上每个点的坐标，将其距离中心点的距离按照一定比例进行放大或缩小来实现。
缩放变化可以改变图形的大小，同时保持其形状和方向不变。
缩放变化在计算机图形学和建筑设计中有着广泛的应用，可以用来调整图像的大小和比例。
镜像是指将一个图形沿着一条直线或平面进行翻转。
镜像变化可以通过改变图形上每个点的坐标，将其关于镜面对称的点进行对换来实现。
镜像变化可以改变图形的方向和位置，同时保持其形状和大小不变。
镜像变化在几何学和物理学中被广泛应用，可以用来描述物体的反射和对称的性质。
投影是指将一个三维物体的投影映射到二维平面上。
投影变化可以通过将三维物体上的每个点的坐标映射到二维平面上的相应点来实现。
投影变化可以改变物体的形状和大小，同时保持其在二维平面上的方向和位置不变。
投影变化在计算机图形学、建筑设计和制图中有着广泛的应用，可以用来显示三维物体的透视效果和形状特征。
图形的变化知识点九年级
图形的变化知识点九年级图形的变化是初中数学的重要知识点之一，它涉及到几何学中的平移、旋转和翻转等基本操作。
通过学习图形的变化，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
本文将介绍九年级图形的变化知识点，帮助同学们更好地理解和掌握。
一、平移变化平移变化是指在平面上将一个图形整体移动到另一个位置，移动的距离和方向保持不变。
平移变化可以用向量表示，向量的起点和终点分别对应于图形的起点和终点。
例如，将一个正方形向右平移3个单位，可以表示为向量(3,0)。
在平移变化中，图形的形状和大小都保持不变，只是位置发生了改变。
对于平移变化的理解和掌握，我们可以通过练习一些具体的例题来加深理解。
例如，如图1所示，将一个三角形ABC向右平移4个单位，得到三角形A'B'C'。
那么A'B'C'的坐标分别是多少呢？[插入图片1：图形平移变化示例]解答：由于向右平移4个单位，所以新的顶点A'，B'，C'分别是旧顶点A，B，C坐标分别加上4。
因此，A'(4,2)，B'(7,1)，C'(6,4)。
二、旋转变化旋转变化是指围绕一个固定点，按照一定的角度将图形旋转到另一个位置。
旋转变化可以通过指定旋转中心和旋转角度来完成。
旋转变化常用的角度有90°、180°和270°等。
对于旋转变化，我们可以利用一些几何图形的性质来简化计算。
例如，一个图形绕一个点旋转180°后，每个顶点的坐标的x值和y值都取负值。
例如，如图2所示，将一个矩形绕点O逆时针旋转90°，得到矩形A'B'C'D'。
那么A'B'C'D'的坐标分别是多少呢？[插入图片2：图形旋转变化示例]解答：根据旋转变化的性质，我们可以将旧的顶点通过选取合适的角度来得到新的顶点的坐标。
以顶点A为例，旧坐标为(2,1)，绕点O逆时针旋转90°后，新坐标为(-1,2)。
《图形变化规律》课件
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工程制图
在工程制图中，图形的缩放和对称变化 被广泛应用于各种图纸的绘制。例如， 在机械制图中，通过缩放变化可以方便 地表示不同比例的零件；在建筑制图中 ，利用对称变化可以简化复杂的建筑结 构表示。
05
图形的组合和分解变化
组合变化的概念和性质
组合变化定义
两个或两个以上的图形通 过叠加、拼接等方式组合 成一个新的图形的过程。
04
图形的缩放和对称变化
缩放变化的概念和性质
缩放变化定义
图形在平面内按比例放大或缩小，形 状不变，仅大小发生变化的现象。
缩放中心
缩放比例
图形缩放前后的对应边长之比，用比例系 数表示。当比例系数大于1时，图形放大 ；当比例系数小于1时，图形缩小。
缩放变化时，图形围绕一个固定点进 行放大或缩小，该点称为缩放中心。
学习图形变化规律的意义和价值
提高空间想象能力
01
学习图形变化规律有助于提高学生的空间想象能力，更好地理
解三维空间中的物体和现象。
培养创新思维
02
通过对图形变化规律的探究和应用，可以培养学生的创新思维
和实践能力。
为后续学习打下基础
03
图形变化规律是数学、物理等学科的重要基础，掌握这些规律
有助于学生在后续学习中更好地理解和应用相关知识。
图形变化规律课件
目录
• 引言 • 图形的基本要素和分类 • 图形的平移和旋转变化 • 图形的缩放和对称变化 • 图形的组合和分解变化 • 图形变化规律的总结和拓展
01
引言
目的和背景
掌握图形变化规律
通过学习图形变化规律，培养学生的观察、 分析和推理能力，为后续学习奠定基础。
适应新课程改革
二年级上册数学教案《图形的变化》教学设计北师版
二年级上册数学教案《图形的变化》教学设计北师版教案：《图形的变化》教学设计作为北师版二年级上册数学教案的一部分，本节课的主要内容是图形的变化。
通过本节课的学习，让学生能够理解和掌握图形的变换方法，并能够运用这些方法进行创意性的图形设计。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中关于图形变换的章节。
具体内容包括图形的平移、旋转和翻转等变换方法。
在教学过程中，我将通过具体的例题和练习，让学生理解和掌握这些变换方法，并能够运用到实际问题中。
二、教学目标1. 理解图形的平移、旋转和翻转等变换方法，并能够运用这些方法进行图形设计。
2. 培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，提高学生的数学思维水平。
3. 培养学生的合作意识和创新能力，使学生在实际问题中能够灵活运用图形变换方法。
三、教学难点与重点本节课的教学难点是让学生理解和掌握图形的变换方法，并能够运用到实际问题中。
教学重点是让学生通过观察和操作，体验图形变换的过程，并能够用自己的语言描述这些变换方法。
四、教具与学具准备为了更好地进行教学，我准备了一些教具和学具，包括PPT、图形卡片、色块等。
这些教具和学具可以帮助学生更好地理解和掌握图形变换方法。
五、教学过程1. 引入：通过展示一些变换后的图形，引发学生的兴趣，让学生思考这些图形是如何变换的。
2. 讲解：通过PPT和图形卡片，详细讲解图形的平移、旋转和翻转等变换方法，让学生理解和掌握这些方法。
3. 练习：通过一些随堂练习，让学生运用所学的变换方法进行图形设计，巩固所学知识。
4. 合作：让学生分组进行合作，共同完成一些创意性的图形设计任务，培养学生的合作意识和创新能力。
六、板书设计板书设计主要包括图形的平移、旋转和翻转等变换方法，以及一些关键的步骤和注意事项。
通过板书，帮助学生更好地理解和掌握图形变换方法。
七、作业设计1. 请学生运用所学的图形变换方法，设计一个有趣的图形作品，并写下一段关于自己设计的文字说明。
图形的变化原理和应用实例
图形的变化原理和应用实例一、图形变化原理在计算机中，图形的变化可以通过不同的算法和技术实现。
下面列举了一些常用的图形变化原理：•平移：通过改变图形的位置实现平移效果。
平移可以分别沿着x轴和y轴进行，也可以同时进行平移。
可以通过改变图形的坐标或者矩阵的变换来实现平移。
•缩放：通过改变图形的尺寸实现缩放效果。
缩放可以按照固定比例进行，也可以按照不同比例在x轴和y轴上进行。
可以通过改变图形的坐标或者矩阵的变换来实现缩放。
•旋转：通过改变图形的方向实现旋转效果。
旋转可以按照固定角度进行，也可以按照不同角度旋转。
可以通过改变图形的坐标或者矩阵的变换来实现旋转。
•翻转：通过改变图形的方向实现翻转效果。
翻转可以沿着x轴进行，也可以沿着y轴进行。
可以通过改变图形的坐标或者矩阵的变换来实现翻转。
•裁剪：通过改变图形的大小和形状实现裁剪效果。
裁剪可以按照指定的区域进行，也可以按照固定的尺寸进行。
可以通过改变图形的坐标或者矩阵的变换来实现裁剪。
二、图形变化的应用实例图形的变化在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些图形变化的应用实例：1. 图形编辑软件图形编辑软件是使用图形变化来实现各种绘图功能的软件。
用户可以通过平移、缩放、旋转等操作来改变图形的位置、大小和形状等。
图形编辑软件广泛应用于艺术设计、工程制图和动画制作等领域。
2. 动画制作动画制作中常常使用图形变化来实现图像的运动效果。
通过改变图形的位置、大小和形状等，可以制作出各种各样的动画效果，如平移的飞行动画、缩放的变形动画和旋转的旋转动画等。
3. 游戏开发在游戏开发中，图形变化经常用于实现游戏中的动态效果。
通过改变游戏角色的位置、大小和形状等，可以实现角色的移动、攻击和受伤等动作效果。
图形变化还可以用于实现游戏中的特效和场景切换等。
4. 数据可视化数据可视化是将数据以图形的形式呈现出来，帮助人们更好地理解数据。
图形变化可以用来展示数据的变化趋势和关系等。
通过改变图形的属性，如颜色、大小和形状等，可以使数据更加直观、生动地呈现出来。
图形的变化与旋转
图形的变化与旋转一、图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
旋转不改变图形的形状和大小。
二、图形变换的性质1.平移的性质：平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。
平移不改变图形的长度和角度。
2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。
旋转不改变图形的长度和角度。
三、图形的变换与坐标1.平移与坐标：在坐标系中，平移图形时，图形上的点坐标按照平移的方向和距离进行变化。
2.旋转与坐标：在坐标系中，旋转图形时，图形上的点坐标按照旋转的角度和中心点进行变化。
四、图形的变换与应用1.图形的变换在实际生活中的应用：图形的变换在建筑设计、艺术设计、计算机图形学等领域有广泛的应用。
2.图形的变换在学习过程中的应用：通过图形的变换，可以更好地理解图形的性质和特点，提高解决问题的能力。
1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。
旋转不改变图形的长度和角度。
3.旋转的类型：(1)顺时针旋转：图形按照顺时针方向旋转。
(2)逆时针旋转：图形按照逆时针方向旋转。
(3)旋转角度：旋转的角度可以是任意实数，单位通常是度或弧度。
4.旋转的应用：(1)在生活中，旋转现象广泛存在于机械、建筑、艺术等领域。
(2)在数学中，旋转是几何变换的一种，可以用来解决各种问题。
六、图形的旋转1.图形旋转的定义：将一个图形绕一个点旋转一个角度，得到另一个图形，这个过程称为图形旋转。
2.图形旋转的性质：图形旋转时，旋转前后的图形全等，即形状、大小、位置不变，只是位置发生了变化。
3.图形旋转的类型：(1)中心旋转：图形绕一个点旋转。
(2)轴旋转：图形绕一条直线旋转。
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图形的变化案例
一、教材介绍及设计结构1．本课例研究选取人教版五年级数学下册第一章第
三课时《旋转》的内容，本节教材让学生明确旋转的含义，探索图形的旋转特征。
2．设计结构第一部分：创设情境，导入新课。
用生活中的几种旋转：时
钟的指针、风车的风叶和电风扇的叶片的运动的共同特点来引入新课。
第二部分：师生互动，探求新知。
从引入的三个事例中的共同特征得出旋转的概念，并通过游戏活动：学生为点的图形的旋转来得出旋转的性质。
第三部分：自主探究，合作交流。
用典型习题：观察判断、动手操作来理解旋转的概念与性质。
第四部分：应用新知，巩固提高。
利用旋转的性质来作下直角三角形的旋转图形，培养学生的动手实践能力，以及寻找在生活中有关的旋转实例。
二、第一次
教学1．新课导入：冷老师用现实生活中的三个实例时钟的指针、风车的风叶、电风扇的叶片的图片展示生活中的运动，给学生一个直观的形象，从而引入新授。
2．探求新知：通过三个实例，老师说：“这三种运动的共同特征是什么？”学生讨论后得出：“转动、绕固定点转动” 。
从而揭示出旋转的本质特征，得出旋转的概念。
3．运用新知：老师设计了三个问题来运用知识：一个是选择
题；一个是用给定一个图形寻找用基本图形旋转方式的操作题；一个是学生动手实践题。
第一、三个问题学生参与积极性较高，但第二个问题由于没有一个直观的实物，学生不能形成具体的图形，因而老师只能包办，学生听的迷糊，导致学生不理解，教学效果不显著。
且由于前面用时过多，教学任务不能按时完成。
反思：由于设计的不周全，思维方式的不紧密，导致课堂教学不理想。
原因分析有：（1）引入部分图片不直观。
学生不能很快的得出结论为后面的教学服务；（2）在用游戏探讨旋转的性质时，人多难以组织，学生不知如何进行组图和进行旋转，导致组织混乱，学生不能从游戏中得出结论，影响了课堂的教学效果，延误了教学时间；（3）在用给定一个图形寻找用基本图形
旋转方式的操作题，学生没有看到实物，难以理解，不知所云，学生学习没有主动性与积极性。
课后，课题人员对本次教学进行了探讨，认为应优化游戏活动的形式，增强操作题的
直观性。
讨论研究后，决定在探索旋转的性质时，把学生参与者的人员上减少，只留一组，其余同学找其中的相等线段、相等的角与其中的能相互重合的图形。
从而紧缩活动的时间，也便于老师组织游戏，又能让学生找出性质所包含的数学式，有利于性质的得出。