组合数学第一章习题解答

m 2
( m 1 ) C ( n ,m ) n 2
n
n 1
1
习题：1.14六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两 排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。 解： ⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙
第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法； 第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法； 第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法； 剩下的每边1个取法固定。所以共有 C(3,1)· C(2,1)· C(2,1)=12种方案。
解：
(n+1)!-1,迭代。 1.7,试证(n+1)(n+2)...(2n)能被2n除尽。 解： =(2n)!!(2n-1)!!/n!=2nn!(2n-1)!!/n! =2n(2n-1)!!
1.8、求1040和2030的公因数数目。 解： 等价于求(2×5)40和(2×2×5)30 的公因数数目。 C(40,1)+C(40,1)C(30,1)+C(30,1)+1=40+1200+30=1271 C(41,1)C(31,1)=1271
1.23、令s={1,2,...,n+1},n≥2,
T {( x ,y ,z )x ,y ,z s ,x z ,y z }, 试证 :
2 T k C ( n 1 , 2 ) 2 C ( n 1 , 3 ) k 1 n
1、z可选2,3,4,...,n+1,相对应的x,y都有1,2,3,...,n种选 择，因此共有：
i 1
先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k· k! 由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑ai· i!，其中ak≤k-1, n=∑ai· i!+k!，命题成立。
再证表示的唯一性： 设n=∑ai· i!=∑bi· i!,
1、C(10,2)+(10,1)C(5,1)+1 2、C(10,3)+C(10,2)C(5,1)+C(10,1)C(5,2)
1.26 S={1,2,...,1000},a,b∈S,使ab=0mod5,求数偶{a,b} 的数目。 解：偶数有500个，200个5的倍数，100个10的倍数。 单独是5的倍数不是10的倍数有100个，偶数中除去10的倍 数有400个， C(100,1)C(400,1)+C(100,1)(900,1) 1.27 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐。 女宾不相邻有多少种方案？ 所有女宾在一起有多少种方案？ 一女宾A和两位男宾相邻又有多少种方案？
n r 1 ( b ) C ( n , r ) C ( n , r 1 ), 1 r n r
n ! ( n r 1 ) n ! C ( n ,r ) ( n r )! r ! ( n r 1 )( n r )! r ( r 1 )! n r 1 n ! n C ( n ,r 1 ) r ( n r 1 )! ( r 1 )! r
1.20、甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同 志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单 位占4人，面且7人中男同志5位，试问有多少种方案？ 按甲单位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3) 1.22、(a)C(5,2)C(8,3),(b) C(5,2)C(7,3), (c)C(5,2)C(4,1)C(4,2),(d)C(13,5)- C(5,2)C(7,3)
1.16、n个完全一样的球放到r个有标志的盒中，无一空盒， 试问有多少种方案？ 取r个球每盒放一个，然后n-r个放入r个不同盒中，同充许空盒 的放法。 C(r+n-r-1,n-r)=C(n-1,n-r)=C(n-1,r-1)
1.18、8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒 最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？ 5!×6×5×4
T
2 k k 1 n
2、可分成x与y相同与不相同两种情况来处理 a、相同时与从n+1中选2个，大的作为z,小的作为x与y, b、不相同时与从n+1个中选3个，最大的作为z两个小的排列 作为x与y,排列数为2，两种方式结果相同：
2 T k C ( n 1 , 2 ) 2 C ( n 1 , 3 ) k 1 n
组合意义： 从n个不同的球中取出的r+1个，要求指定第一个球，有两 种方式： 1、等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n1个中取r个； 2、等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中 任意一个为第一个。 显然两种方案数相同。
1.12 试证等式：
n 1 kC ( n , k ) n 2 k 1 n
(b)把n个女生作为一个整体来看待。n!(m+1)!
(c)男生A与B作为一个整体，(m+n-1)!*2
1.5,求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解： C(5,1)C(10,1)C(10,1)C(5,1)=2500 C(3,1)C(4,1)C(8,1)C(7,1)+ C(2,1)C(5,1)C(8,1)C(7,1) =672+560=1232 1.6,计算1×1!+2×2!+3×3!+n×n!
1.3,m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若 (a)男生不相邻（m≤n+1)； (b)n个女生形成一个整体； (c)男生A与女生B排在一起。
解：
(a)首先女生的全排列有n!个，那么第一个男生有n+1个位置 可选第二个男生有n个位置，...，第m个男生有n-m+2个位置可选。 男生不相邻的排列数有n!(n+1)!/(n-m+1)!
用多项式(1+x)n证明，求导
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最 小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,而要求第一组数中最小 数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从 大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 总的方案数为
1.31 试证任意r个相邻数的连乘 (n+1)(n+2)...(n+r)=(n+C(n+r,r)=(n+r)!/n!r! 1.32 在a,b,c,d,e,f,x,x,x,y,y的排列中，要求y必须夹在 两个x之间，问这样的排列数等于多少？ 7！把xyxyx看作一个元素来看待。 1.33 已知r,n,k都是正整数，r≥nk,将r个无区别的球放在 n个有标志的盒子里，每盒至少k个球，试问有多少种方案？ C(n+r-nk-1,r-nk)
1.9、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p p 1 p 2 ... m
2 n p 1 2 a 1
a 1
a 2
am
2 am
p 2
2 a 2
... p m
所有的组合数都是偶数，最后再加上1，偶数加1是奇数
1.10 证明任一正整数n可惟一地表示成：
n a i ! , 0 ai i , i 1 1
1.24、
A {( a , b ) a , b z , 0 a 9 , 0 b 5 }
(a)求x,y平面上以A作顶点的长方形的数目。 (b)求x,y平面上以A作顶点的正方形的数目。
1.25、平面上有15个点p1,p2,...,p15,其中p1,p2,...,p5,共线， 此外不存在三点共线。 1、求至少过15个点中两点的直线的数目。 2、求由15个点中3点组成的三角形的数目。
第一章习题 1.1,从{1,2,...,50}中找一双数{a,b},使其满足：
(1), a b 5 ( 2 ), a b 5
求这样的一对数的组合数。
解：1
分三部分，1-5，6-45，46-50 [C(5,1)+C(40,1)×2+C(5,1)]/2 解：2 分三部分，1-5，6-45，46-50 [5+6+7+8+9+C(40,1)×10+9+8+7+6+5]/ 2
1.30 试证下列等式
n ( a ) C ( n , r ) C ( n 1 , r 1 ), 1 r n r
n ! n ( n 1 )! C ( n ,r ) ( n r )! r ! ( n r )! r ( r 1 )! n ( n 1 )! n C ( n 1 ,r 1 ) r( n r )! ( r 1 )! r
1.19、n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试 问 不存在两个1相邻的符号串的数目？ (m+1)*m*...*(m-n+2)/n!=C(m+1,n) 1.20、甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同 志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单 位占4人，面且7人中男同志5位，试问有多少种方案？ 按甲单位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3)
5!*6*5*4*3*2 6!5! P(6,2)8!
1.28 k和n都是正整数，kn位来宾围着k张桌子而坐，试求其 方案数。
k [( n 1 )! ] [ C ( kn , n ) C ( kn n , n ) ... C ( n , n )]