小波的分解与重构-去噪

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•
由重d构k,算0 法b0ck1,0
b1ck 1,1

1 2
ck 1,0 ck 1,1
k代表分解水平
ck 1,n (ck ,l pn2l dk ,l qn2l )
得
l
ck 1,0 ck ,0 p0 dk,0q0 ck ,0 dk,0
• % 由第1层的高频系数估计噪声标准差 • sigma=wnoisest(c,l,1); alpha=2; • % 产生阈值 • thr=wbmpen(c,l,sigma,alpha); • % 使用软阈值和保存的低频信号，对第4层逼近信号(a4)进行信号降噪 • keepapp=1; • xd=wdencmp('gbl',c,l,'haar',4,thr,'s',keepapp); • % 对原噪声信号'x'进行降噪处理 • xd_1=wden(x,'minimaxi','s','one',4,'haar'); • % 画出原始信号和降噪后的信号 • figure(4); • subplot(411);plot(a4);title('第4层逼近信号'); • subplot(412);plot(xd);title('用haar小波对第4层逼近信号降噪后的信号'); • subplot(413);plot(x);title('原噪声信号'); • subplot(414);plot(xd_1); title('对原噪声信号进行降噪后的信号');
8
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• 正弦波信号体现在逼近信号部分，而白噪声体现 在细节信号部分。在细节信号部分中，从d1 到 d4，噪声幅值赿来赿小。逼近信号部分从a1到 a4，噪声含量赿来赿少。小波的有效分析还有：
• 噪声处理；信号未来发展趋势的检测；分离信号； 识别信号的频率。
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去噪
2、对含噪原信号与逼近信号a4分别去噪并比较
1
z

1 2
1

z


G(z) : Q(z) 1 z1 1 det M (z) 2
即
gn


g1
g0


1 1
H (z) : P(z) 1 1 z1 det M (z) 2
hn

h1

h0


1
• % 一维小波分解，使用'haar'进行4层分解
• [c,l]=wavedec(x,4,'haar');
• % 重构第1-4层逼近信号
• a4=wrcoef('a',c,l,'haar',4);
• a3=wrcoef('a',c,l,'haar',3);
• a2=wrcoef('a',c,l,'haar',2);
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小波对含不同频率的信号的分离
• 在小波分解下，不同的尺度具有不同的时间和 频率分辨率，因而利用小波分解可以将信号的 不同频率区间所包含的信号分离出来。
• 利用小波对信号进行分解时，它将信号分解为 低频部分(近似信号)和高频部分(细节信号)。
• 由仿真图可以看出，周期最小2(高频)的正弦 信号位于细节信号d1层，在细节信号d4层中包 含周期为20 (中频)的正弦波，而周期为200 (低频)的正弦信号则出现在近似信号a4中。
1.任务的提出
• 对含噪的信号去噪，实现信噪分离。
• 含噪的正弦信号：st sin0.03t bt
• 需要对信号进行分解，从分解中得出高频 与低频系数。高频系数对应细节信号，低 频系数对应逼近信号。由高频系数中检测 噪声，低频系数中识别各分量信号的不同 频率。然后，再从去噪的高频信号与逼近 的低频信号重构目标信号。
• 2、轴承的故障检测。
1
两尺度关系与分解关系
•

(t)
与

(t)的两尺度关系

(t)


n
pn
(2t

n)
•

(t
)
与
(t
)的分解关系


(t)

qn
n
(2t

n)
(2t l) {al2n(t n) bl2n (t n)} l 0,1,2,
(t) (2t) (2t 1) （2）
求P z、Q z、gn 、hn 、an 、bn
Gz Hz
3
• 由 Q z 1 1 z
2
P z 1 1 z
• 则有
2
得
M
(z)
:


1 2
1
z

1 2
1
z




1 2
其中 n
an
:
1 2
gn
bn
:
1 2
hn
2
2、小波(包)进行分解、重构 则尺度函数的两尺度关系是
(t) (2t) (2t 1) （1）
由两尺度关系，得序列 p0 1, p1 1
再由 qn (1)n pn1, ，得 q0 1, q1 1
则有小波函数的两尺度关系是
(2t

l)

1 2

{g2nl (t
n

n)

h2 n l
(t

n)},
lZ
得 n 0, l 0 或 l 1
• 进一步，得分解关系
(2t) 1 (t) (t)
2
(2t 1) 1 (t) (t)
2
• 实际这个分解关系，也可由(1) 、(2)两式推

1

1
an

a0

a1



2 1

2
1
bn

b0

b1



2
1

2 4

• 由分解关系 (2t l) {al2n(t n) bl2n (t n)}
Fra Baidu bibliotek
n
或
• % 重构第1-4层细节信号 • d4=wrcoef('d',c,l,'haar',4); • d3=wrcoef('d',c,l,'haar',3); • d2=wrcoef('d',c,l,'haar',2); • d1=wrcoef('d',c,l,'haar',1); • % 显示各层细节信号 • figure(3); • subplot(411);plot(d4);ylabel('d4'); • subplot(412);plot(d3);ylabel('d3'); • subplot(413);plot(d2);ylabel('d2'); • subplot(414);plot(d1);ylabel('d1');
ck 1,1 ck ,0 p1 dk ,0q1 ck ,0 dk ,0
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2、仿真验证去噪效果
1、含噪信号的分解与重构
• % 生成含噪正弦信号 • N=1024; • t=1:N; • sig=sin(0.03*t); • figure(1);subplot(211);plot(t,sig); title('正弦信号'); • % 叠加噪声 • x=sig+randn(1,N); • subplot(212);plot(t,x); title('含噪正弦信号');
得。但上面这种解法，主要说明由一般的正
交尺度函数怎样求分解与重构关系。
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• 由分解算法
ck,n dk,n
l l
a c l 2n k 1,l b c l 2n k 1,l
得
ck ,0

a0ck 1,0

a1ck 1,1

1 2
ck 1,0 ck 1,1
• a1=wrcoef('a',c,l,'haar',1);
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• % 显示各层逼近信号 • figure(2); • subplot(411);plot(a4);ylabel('a4'); • subplot(412);plot(a3);ylabel('a3'); • subplot(413);plot(a2);ylabel('a2'); • subplot(414);plot(a1);ylabel('a1');