图乘法专题

B A
xdω
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第七章 静定结构位移计算
第3页
式中， dω = M Pdx 为 M P 图中有阴影线的微面积，故
xdω 为微面积对 y 轴的面积矩。
∫ xdω 即为整个M P 图的面积对 y 轴的面积矩。
根据合力矩定理，它应等于M P 图的面积 ω 乘以其形心c到
y轴的距离 xc ，即
MP图
第17页
y5 y4 y3
y1 y2
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第七章 静定结构位移计算
第18页
∑ ΔCy =
ω ⋅ yc
EI
= 1 [(1×4×20)(2×4)−(2×4×4)(1×4)]
EI 2
33
2
+ 1 [(1×4×20)(2×4+1×8)+(1×4×72)(2×8+1×4)
4EI 2
33 2
33
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第七章 静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段
以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐
标原点，tanα 沿AB杆段为
常数
M = x ⋅ tanα
∫ ∫ B
A
M M Pds EI
=
1 EI
B
M M Pdx
A
∫ ∫ =
tan α
EI
B A
xM Pdx
=
tan α
EI
这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
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第七章 静定结构位移计算
第5页
根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各
点：
（1）必须符合上述三个条件；
（（23））ω纵距与
yc yc
只能取自直线图形； 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号
位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置
第七章 静定结构位移计算
ql2
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8
ω1
∑ ΔCy =
ω ⋅ yc
EI
ql 2
8
l/2
y3 y2 y1
= 1 [(1 × ql 2 × l ) 3l 1 EI 3 8 2 8
+ (1 × ql 2 × l) 2 ⋅ l 2 8 32
− ( 2 × ql 2 × l) l ] 38 4
= ql 4
(↓)
128 EI
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第七章 静定结构位移计算
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例2 图示变截面杆AB 段的弯曲刚度为4EI，BC段的弯曲刚 度为EI，试求C点的竖向位移 Δ Cy 。
ΔCy
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第七章 静定结构位移计算
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 × 16 = 4
8
20
2 × 16 = 4 8
−(2×4×4)(8+4)]
3
2
= 1088 (↓) 3EI
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第七章 静定结构位移计算
例3 试求图示结构D点的竖向位移 Δ Dy 。
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第七章 静定结构位移计算
解 此结构为一组合，作实际状态的 M P、NP 图。
第20页
NP NP 图
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第七章 静定结构位移计算
第23页
∑∫ ∑ ΔDP =
MMPds + F NFNPl
EI
EA
=
1 EI
⎢⎣⎡( 12
⋅
2
⋅8)
⋅
4 3
+
(1 2
⋅
2
⋅
2)
⋅
2 3
−
(
2 3
⋅
2
⋅
0.5)
⋅1⎥⎦⎤
+
1 2EI
⎢⎣⎡( 12
⋅
4
⋅8)
⋅
4 3
−
(1 2
⋅
4
⋅8)
⋅
2 3
−
(
2 3
⋅
4⋅
2)
⋅1⎥⎦⎤
[ ] + 1 (−10 2)(−1.5 2)⋅ 4 2 = 98.84 (↓)
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第七章 静定结构位移计算
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对于在均布荷载作用下的任何一直杆段AB，其弯矩图
均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
MB
MA
qa 2
8
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在图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是若干段 直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。
ω = 1l⋅h
2
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h
ω2
第七章 静定结构位移计算
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ω = 2l⋅h
3
顶点
在抛物线图形中，注意顶
点是指该点的切线平行于底 边的点。
ω1
ω1
=
2 3
l
⋅
h
顶点
ω2
=
1 3
l
⋅h
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第七章 静定结构位移计算
第7页
二．图形分解成和图乘的分段叠加
在实际计算中，可将复杂的图形分解成几个简单的图 形，然后分别将简单的图形相乘后再叠加。
B
∫ xdω = ω ⋅ xc
A
∫B
A
M M Pds EI
=
tgα
EI
ω
⋅
xc
=
ω ⋅ yc
EI
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第七章 静定结构位移计算
第4页
∫B
A
M M Pds EI
=
tgα
EI
ω
⋅
xc
= ω ⋅ yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 ω 乘以其形
心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 yc ，再除以EI。
a ω1
c y1
ω ⋅ yC
EI
=
1 EI
(ω1
⋅
y1 +ω2 ⋅ y2)
ω2
b
=
1 EI
⎡al ⎢⎣ 2
(2 3
c
+
1d) 3
+
bl 2
(1 c 3
+
2 3
d)⎥⎦⎤
y2
d
=
1 EI
⎡l ⎢⎣6
(2ac+
2bd
+
ad
+bc)⎥⎦⎤
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a ω1
c y1
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第8页
ω2 b
三．图乘法位移计算举例
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例1 试求图a 所示刚架C 点的竖向位移 ΔCy 。
解 （1）作实际状态的 M P 。
ql 2 8
ql 2 8
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（2）建立虚拟状态，并作 M 图。
l/2 1
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（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 ΔCy。
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ω3 ω2
ω ⋅ yc
EI
=
1 EI
(ω1
⋅
y1
+ω2
⋅
y2
+ω3
⋅
y3 )
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第七章 静定结构位移计算
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在图乘法中，当各杆段的截面不相等时，应分段图
乘，再进行叠加。
ω ⋅ yc
EI
= ω1 ⋅ y1 + ω 2 ⋅ y2 + ω 3 ⋅ y3
EI1
EI 2
EI 3
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第七章 静定结构位移计算
d y2
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。
处理原则也和上面一
样，可分解为位于基线两侧 的两个三角形，分别与另一 图形相乘，然后叠加。
ω⋅ yc
EI
=
1 EI
(ω1
⋅
y1 +ω2
⋅
y2)
=
1 EI
⎢⎣⎡a2l (−
2 3
c+
1d) 3
+
bl 2
(1 c − 3
2 3
d)⎥⎦⎤
=
1 EI
⎢⎣⎡6l (−2ac−2bd+ad+bc)⎥⎦⎤
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第七章 静定结构位移计算
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§7－4 图 乘 法
一．图乘法的计算公式
梁和刚架在荷载作用下的位移式
∑ ∫ 1⋅ Δ KP =
M M P ds EI
当结构的各杆段符合下列条件时：
（1）杆轴为直线； （2）EI＝常数； （3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。
作虚拟状态的 M 1 、 N 1 图。
1
N1
N1 图
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第七章 静定结构位移计算
第22页
计算D点竖向位移。图乘时可将CD 段的 M P 图分解成一 个梯形和一个二次标准抛物线。AC段的 M P 图同样分解成
两部分。BC 杆为轴力杆，由此可得
1
NP
N1
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第七章 静定结构位移计算
EA
EI
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第七章 静定结构位移计算
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
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y5 y4 y3
y1 y2