第四章 模拟信号数字处理

t nT e jt dt

n
xa nT e jnT
12
ˆ X a
j
X e j


n
xa nT e jnT
x(n) xa nT
采样序列信号 x n 的傅里叶变换：
n
T
离散傅里叶变换DFT
定义
X (k ) x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
k 0,1,2,, N 1
存在快速算法FFT,使用计算机进行计算非 常方便
17
寻找合适的方法,使得DFT可以对连续 时间信号进行频谱分析
• 找到该方法
• 通过实例演示这一方法的效果 • 对误差进行分析
u (t ) U cm cos ct
1 1 maU cm cos(c )t maU cm cos(c )t 2 2
28
29
Matlab程序
clear; fs=1024;%采样频率 f=1;%基带信号频率 fc=64;%载波信号频率 t=0:1/fs:2-0.5/fs; x=(1+0.3*cos(2*pi*f*t)).*cos(2*pi*fc*t); figure(1) plot(t,x); grid y=fft(x); N=length(x); figure(2);
11
ˆa t 进行傅里叶变换: 对理想采样信号 x
ˆ j X a




ˆa t e jt dt x
xa nT t nT e jt dt n
n



xa nT
n
x t t nT x nT t nT
a n a


5
它们的频域表示:
P
式中

2 j T
m
m
s

s 2 T 2 Fs
1 ˆ ˆa t X a j FT j x 2 X a j P 1 2 X a j ms 2 T m 1 T
x n e
j n
理想采样信号频谱和采样序列频谱之间的关系：
ˆ ( j) X e jT X a
则有X e
jT
1 T
k j
X

a
( j jk s )
也可写成： X e
1 T
k
X

a
(j
2 k
T
)
此式即为采样序列频谱和模拟信号频谱之间的关系式
xa (t )
t
p (t )
ˆa (t ) x
S
xa (t )
t
p (t )
T
p (t )

T
t
(t ) ˆa x
t
ˆa (t ) x
t
t
图4.2.1 对模拟信号进行采样
4
单位冲激串:
p
理想采样信号:
t t nT
n

ˆa t xa t p t x
T x(n)e jn
n 0
20
N 1
频域有限化和离散化
• 频域有限化 时域上对xa(t)进行了抽样，频域 上相当于对Xa(j)进行周期延拓，延拓周期为 fs=1/T 或 s＝2fs＝2/T 在频率轴上取一个周期的频率区间[0, s] = T 而的区间[0, s] 可以得到 的区间为[0,2 ] • 频域 离散化 对一个周期内的频谱进行抽 样，同样选取N点 k=0, •••,N-1 = 2k/N 代入前面公式可以得到所需结果
（1）最小记录时间是多少？
（2） 最大采样间隔是多少？
（3） 最少的采样点数是多少？
1 1 解 （1） 最小记录时间：Tp min 0.01s F 100 1 1 （2）最大采样间隔：Tmax 0.5ms 2 fr 2 1000 (3)最少的采样点数: N min f s min 2 fr 2 1000 20 F F 100
0
s

ˆ ( j ) X a
s
s
c s
2

因 s 2c ， 故造成理想采样信 号中的频谱混叠现 象,此时不可能无失 真恢复出原来的模 拟信号.
9
采样定理总结如下: • (1) 对模拟信号进行等间隔采样形成理想采样 信号，理想采样信号的频谱是原模拟信号的频 谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的， 用公式(4.2.5)表示。
k
fs
1 T
22
用DFT进行频谱分析的步骤
• 以采样频率fs=1/T对连续时间信号xa(t)采样N点， 得到x[n]=xa(nT) n=0,···,N-1
• 对x[n]作DFT • 根据以下公式确定第k(k= 0,···,N-1)根谱 线对应的模拟频率
k 2f s N

23
频率分辨率（谱分辨率）是用DFT分析频谱时，能够分 辨的两个频率分量最小的间隔。
13
结论：
从模拟信号到时域离散信号的采样频率仍要 按照理想采样定理确定，即采样频率必须大 于等于模拟信号最高频率的２倍以上。
14
注意： 采样频率过高带来的副作用是数据量太大,运算时 间加长,设备昂贵。 为防止频谱混叠,选择 s 3 ~ 4 c 预滤波器的作用－－抗混叠
15
26
在本次DFT分析中k=720的谱线和k等于多少的谱线幅值一定相等？ 因为N=2400 N-k=2400-720=1680 所以，k=720的谱线和k等于1680的谱线幅值一定相等
第k (k 0, , N 1)根谱线对应的模拟频率 k 2 f s N N k 谱线对应的模拟角频率 (N k) k 2 f s 2 f s 2 f s s N N
用DFT对连续信号进行频谱分析
连续时间傅里叶变换CTFT
定义
X a ( j) CTFT[ xa (t )] xa (t )e


jt
dt
可以进行频谱分析 但是不便于用计算机进 行数值计算 1.积分区间为 (,) 2.x a (t )和X a ( j)均为连续函数
16
频率分辨率（谱分辨率）F fs 1 N NT
对信号的观察时间Tp=NT
1 1 F NT TP 最小记录时间Tp min f s min 2 f c 最少采样点数N min f s min / F 1 F
24
习题4.6 用FFT对其进行谱分析，试问：
自学例4.5.1
设模拟信号的最高频率为f r 1kHz , 要求分辨率F=100Hz,
25
补充例题
设模拟信号xa (t ) cos(2 f1t 1 ) 0.5cos(2 f 2t 2 ),
式中f1 2kHz, f 2 3kHz, 1 , 2是常数。 （）为将该模拟信号 1 xa (t )转换成时域离散信号x(n)，最小采样频率f s min 应取多少？ （2）如果采样频率fs 10kHz，问x(n)中最高数字频率是多少？ (3) 设采样频率f s 10kHz，写出x(n)的表达式。如果从x(n)中截取2400点计算 2400点DFT，结果用X(k)表示，和f1 2kHz相对应的k是多少？ （ 1） 按照采样定理，f s min 2f 2 2 3kHz=6kHz。 （2） x(n)的最高频率是max 2 f 2 / f s 2 3000 /10000 0.6 rad。 （3） T=1/f s =1/10000=10-4s x(n)=xa (t ) |t nT cos(2 f1nT 1 ) 0.5cos(2 f 2 nT 2 ) = cos(2 2000n 10-4 1 ) 0.5cos(2 3000n 10-4 2 ) = cos(0.4 n 1 ) 0.5cos(0.6 n 2 ) 2kHz 和f1 2kHz相对应的k= 2400 480 10kHz
stem((0:N-1)*fs/N,abs(y)) grid for n=1:N if x(n)<0 x(n)=0; end end figure(3) y=fft(x); stem((0:N-1)*fs/N,abs(y)) grid
30
调幅信号 1.5
1
X a ( j ) T
n


xa ( nT )e jnT T
n N 1 n 0


xa ( nT )e jnT
T xa ( nT )e jnT
根据以前所学 = T
X a ( j) T xa (nT )e
n 0 N 1 jn
10
4.2.2 由模拟信号到时域离散信号 采样频率的确定
xa (t )
t
ˆa (t ) x
t
x ( n)
n
ˆa t x
n
x nT t nT
a

x(n) xa (t ) t nT xa (nT )
ˆa t 模拟信号 xa t 、理想采样信号 x 和采样序列的波形 x n
ˆ ( j ) X a
s 2
G ( j) 是低通滤波器
s
s
c c
G ( j )

T G ( j) 0
s s
2 2

X a ( j )
c
c

8
采样信号频谱中的频谱混叠现象
X a ( j )
c
0
c
P ) ( j

s
第四章 模拟信号数字处理
4.1 模拟信号数字处理原理方框图
xa(t)
预滤波
ADC
数字信号处理
DAC
平滑滤波
ya(t)
2
4.2 模拟信号与数字信号的相互转换
4.2.1 时域采样定理 4.2.2 由模拟信号到时域离散信号采样频率的确定
3
4.2.1 时域采样定理
xa (t )
(t ) xa
xa (t )
• (2) 设模拟信号 xa(t) 属带限信号，最高角频率 为 Ω c ，如果采样角频率 Ω s≥2Ω c ，那么让理 想采样信号通过一个增益为T，截止频率为 Ω s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原 模拟信号xa(t)。否则Ω s<2Ω c会造成理想采样 信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复 原模拟信号。
21
用DFT计算DTFT（频谱分析）
• 公式
X a ( j) T x(n)e jn T x(n)e
n 0 n 0 N 1 N 1 jn 2 k N
T DFT [ x(n)]
• 数字频率与模拟频率 对应公式
T
2 N 2 1 k k 2f s T N T N
27
Matlab仿真实例
普通调幅波AM的频谱，大信号包络检波频谱分析 u(t)=Ucm(1+macos t)cos ct ma称为调幅系数 它的频谱由载波，上下边频组成 c， c+ ， c- 包络检波中二极管截去负半周再用电容低通滤波， 可以得到基带信号，那么，截去负半周后的AM信号必 定包含基带信号的频谱
m


X a j jms
(4.2.5)
6
频域表示变换如下图:
X a ( j )
c
0
c
P ) ( j

理想采样信号的频 谱是原模拟信号的 频谱周期性（周期 为 s）延拓。
s
0
X a ( j )
s 2
s

s
来自百度文库
c c
s

7
采样原信号的恢复过程
18
时域离散化处理 CTFT

X a ( j) CTFT[ xa (t )] xa (t )e

jt
dt
对连续信号xa(t)进行抽样定积分转变为 求和 t=nT ，dt用T代替
X a ( j)
n


xa (nT )e jnT T
19
时域有限化处理
对xa(t)在时间t上截取有限长，采样后的信号取N点，n=0, •••,N-1