第一章:弹塑性本构关系简介
合集下载
弹塑性本构关系简介

松比)。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关(可称为历 史相关性或路径相关性),本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性(塑性)金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型,目前广 泛采用的有:等向强化;随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变,只是作均匀
称后继屈服面,f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态,如
果
f (,ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k,关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j,klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量,形式上仍可表为
Dt ijkl
[工学]第1章 岩土弹塑性力学
![[工学]第1章 岩土弹塑性力学](https://img.taocdn.com/s3/m/e84c57aedd88d0d233d46ae4.png)
试验表明,在压力不太大的情况,体积应变实际上与静水压 力成线性关系;对于一般金属材料,可以认为体积变化基本上 是弹性的,除去静水压力后体积变形可以完全恢复,没有残余 的体积变形。因此,在传统塑性理论中常假定不产生塑性体积 变形.而且在塑性变形过程中,体积变形与塑性变形相比往往 是可以忽略的 。 Bridgman和其他研究人员的实验结果确认:在静水压力不大条 件下、静水压力对材料屈服极限的影响完全可以忽略。因此在 传统塑性力学中,完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。
(9)传统塑性理论中,材料的弹性系数与塑性变形无关,称为弹塑 性不耦合。而岩土塑性理论中,有时要考虑弹塑性耦合,即弹性 系数随塑性变形发展而减少
岩土塑性力学的基本内容
(1)岩土类材料的塑性本构关系理论与模型 (2)岩土类材料的极限分析理论 (3)它们在岩土工程设计和施工中的应用
弹性本构关系的基本特征
岩石力学性质
弹性 塑性 粘性
体力和面 力Fi,Ti
位移ui
平衡
本构关系
相容性 (几何)
应力ij
应变ij
固体力学问题解法中各种变量的相互关系
§1-2 应力状态
1 应力张量
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz 21 22 23
塑性阶段:研究材料在塑性阶段内的受力与变形,这阶 段内的应力应变关系要受到加载状态、应力水平、应力 历史与应力路径的影响。 差别:在应力与应变之间的物理关系不同,即本构关系 不同。 本质差别:在于材料是否存在不可逆的塑性变形
弹性阶段:应力与应变之间的关系是一一对应的,这种应力和 应变之间能建上一一对应关系的称全量关系
第一章 岩土弹塑性力学
(9)传统塑性理论中,材料的弹性系数与塑性变形无关,称为弹塑 性不耦合。而岩土塑性理论中,有时要考虑弹塑性耦合,即弹性 系数随塑性变形发展而减少
岩土塑性力学的基本内容
(1)岩土类材料的塑性本构关系理论与模型 (2)岩土类材料的极限分析理论 (3)它们在岩土工程设计和施工中的应用
弹性本构关系的基本特征
岩石力学性质
弹性 塑性 粘性
体力和面 力Fi,Ti
位移ui
平衡
本构关系
相容性 (几何)
应力ij
应变ij
固体力学问题解法中各种变量的相互关系
§1-2 应力状态
1 应力张量
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz 21 22 23
塑性阶段:研究材料在塑性阶段内的受力与变形,这阶 段内的应力应变关系要受到加载状态、应力水平、应力 历史与应力路径的影响。 差别:在应力与应变之间的物理关系不同,即本构关系 不同。 本质差别:在于材料是否存在不可逆的塑性变形
弹性阶段:应力与应变之间的关系是一一对应的,这种应力和 应变之间能建上一一对应关系的称全量关系
第一章 岩土弹塑性力学
弹塑性力学讲义—本构关系

例2-1 对Mises屈服条件,证明
f J 2 sij ij ij
证: Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=,y=0,且x,y,z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性,Poisson比<1/2,单轴拉伸屈服极限为s,试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0,屈服
后加载使得x=0+d,求z方向的应力增量dz。
解:屈服处于弹性阶段,对于平面应变状态,因此根据虎克定律,有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2),sy= (1+),sz= (12),sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序,Tresca屈服条件可写成
例2-4: 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒,内半径为r,壁 厚为t,若圆筒保持直径不变,只产生轴向伸长,假设材料是不可压缩的,
在忽略弹性变形的情况下,试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0,轴向伸长靠筒壁变薄实现,各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
f J 2 sij ij ij
证: Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=,y=0,且x,y,z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性,Poisson比<1/2,单轴拉伸屈服极限为s,试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0,屈服
后加载使得x=0+d,求z方向的应力增量dz。
解:屈服处于弹性阶段,对于平面应变状态,因此根据虎克定律,有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2),sy= (1+),sz= (12),sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序,Tresca屈服条件可写成
例2-4: 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒,内半径为r,壁 厚为t,若圆筒保持直径不变,只产生轴向伸长,假设材料是不可压缩的,
在忽略弹性变形的情况下,试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0,轴向伸长靠筒壁变薄实现,各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
弹塑性本构模型理论课件

。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值,反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大,材料抵抗塑性变形的能力越强,进入塑性阶段所需 的应力水平越高,材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内,应力与应变之比,反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大,材料的刚度越大,相同应力作用下产生的弹性
变形越小,进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为,应 力与应变呈线性关系,卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时,材料进入塑 性阶段,应力不再增加但应变继续增 加,卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ,随着塑性应变的增加,屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型,屈服后应 力保持恒定,应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数,为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型,进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比,验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二:混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点,选择合适 的弹塑性损伤本构模型,如塑性损伤模
07 塑性本构关系j

用偏张量形式表示:
e xx e yy ezz e xy e yz ezx 1 = = = = = = sxx s yy szz sxy s yz szx 2G
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 2G
哈工大 土木工程学院
07
第3节
塑性本构关系
加载、卸载准则
加载是塑性加载的简称,指材料产生新的塑性变形,即从 一个塑性状态进入另一塑性状态的情形; 卸载则指材料从塑性状态回到弹性状态的情形。
理想弹塑性材料的加载、卸载准则
由于理想弹塑性材料的屈服面不能扩大,所以,当一点应 力达到屈服面上,应力增量向量不能指向屈服面外,塑性 加载只能是应力点沿着屈服面移动。
i 如果
塑性本构关系
1 0 当 dij 为小量时,积分出来 W D ( ij d ij ij )d ijp 0 2
0 0 0 ij 处在加载面内部,即 ( ij , h ) 0 ij ij 0 ( ij ij )d ijp 0
在忽略小量时得出
哈工大 土木工程学院
5 / 58
07
偏张量形式自乘:
塑性本构关系
1 eij sij 2G
2
1 1 1 1 1 1 eijeij sij sij sij sij 2 2 2G 2G 2G 2
J2
1 J2 I2 2G
uur r f df d ij 0 等价于 d n 0 ij
哈工大 土木工程学院
卸载状态
17 / 58
弹塑性力学本构关系1资料.

在
平面上任取一点,坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态,对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量,即
ij m ij sij sij
上式表明,与此应力状态相应的应力球张量为零,应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面,此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时,代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时,代表塑性状态。因此,屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4.2.3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中,过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服,所以如果P点在屈服曲面上, 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面,并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹塑性力学-弹塑性本构关系

此式限制了屈服面的形状: 对于任意应力状态,应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合,否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关;
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义,并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件:
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时,德鲁克公设成立;
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系,可得:
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得:
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M,必有
一塑性位势等势面存在,其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系:
dipj Ddipj
式中,D为弹性矩阵。 根据依留申公设,在 完成上述应变循环中, 外部功不为负,即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时,上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合,否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关;
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义,并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件:
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时,德鲁克公设成立;
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系,可得:
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得:
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M,必有
一塑性位势等势面存在,其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系:
dipj Ddipj
式中,D为弹性矩阵。 根据依留申公设,在 完成上述应变循环中, 外部功不为负,即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时,上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
第1章 岩土弹塑性力学

应力球形张量 应力偏斜张量
1 平均正应力: m ( x y z ) 3
1 Kronecker 符号: ij 0
在弹性理论和经典塑性理论中:
i j i j
应力球张量只产生体应变,即受力体只发生体积变化而不发生 形状变化; 应力偏张量则产生剪变形,即只引起物体形状变化而不发生体 积大小的变化。
法则,即塑性应变增量方向沿着屈服 面的梯度或外法线方向
粘性本构关系
材料的应力或应变随时间而变化
常常和弹性或塑性性质同时发生,因此,材料的粘性本构 方程分为 粘弹性
粘塑性
粘弹塑性 在工程中,常称材料的粘性性质为流变 常称应力下变形随时间的不断变化为材料的蠕变 常称应变下应力随时坏 破坏力学
2 1 22
2 J 2 3 8
与应力偏张量有关
Lode 角及其参数:
Lode 角及其参数:
平面上应力在x、y轴上的投影为:
x OP cos 30 P P cos 30 ( 1 3 ) 1 2 2 3 3 2
1 2
( 1 3 )
斜面上的剪应力
2 2 2 v px p2 p y z N
2 主应力与应力主方向
斜面ABC为主微分面,面上只有正应力σ 投影到坐标轴上
p y m
p x l
p z n
p x xl yx m zx n p y xy l y m zy n p z xz l yz m z n
弹性
岩石力学性质 塑性 粘性
体力和面 力Fi,Ti
平衡
位移ui 相容性 (几何)
本构关系
应力ij 应变ij
1 平均正应力: m ( x y z ) 3
1 Kronecker 符号: ij 0
在弹性理论和经典塑性理论中:
i j i j
应力球张量只产生体应变,即受力体只发生体积变化而不发生 形状变化; 应力偏张量则产生剪变形,即只引起物体形状变化而不发生体 积大小的变化。
法则,即塑性应变增量方向沿着屈服 面的梯度或外法线方向
粘性本构关系
材料的应力或应变随时间而变化
常常和弹性或塑性性质同时发生,因此,材料的粘性本构 方程分为 粘弹性
粘塑性
粘弹塑性 在工程中,常称材料的粘性性质为流变 常称应力下变形随时间的不断变化为材料的蠕变 常称应变下应力随时坏 破坏力学
2 1 22
2 J 2 3 8
与应力偏张量有关
Lode 角及其参数:
Lode 角及其参数:
平面上应力在x、y轴上的投影为:
x OP cos 30 P P cos 30 ( 1 3 ) 1 2 2 3 3 2
1 2
( 1 3 )
斜面上的剪应力
2 2 2 v px p2 p y z N
2 主应力与应力主方向
斜面ABC为主微分面,面上只有正应力σ 投影到坐标轴上
p y m
p x l
p z n
p x xl yx m zx n p y xy l y m zy n p z xz l yz m z n
弹性
岩石力学性质 塑性 粘性
体力和面 力Fi,Ti
平衡
位移ui 相容性 (几何)
本构关系
应力ij 应变ij
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
Re k e Re k e y Re T k e Re k T e T k e k T e
y
x
0
T k k T
坐标转换矩阵
k T k T 1
非线性代数方程组的数值解法
1 直接迭代法 2 牛顿法和修正牛顿法 3 拟牛顿法 4 增量方法 5 增量弧长法
材料非线性有限元分析
弹塑性问题的有限单元法
大变形问题的有限单元法
1. 弹性大变形问题的有限元法
2. 物质描述大变形增量问题的T.L 、
U.L法
非线性弹性小变形 非线性弹性介质的本构关系,一般是根据材 料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材 料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为 n k( ) E E 式中k和n为拟合的实验参数,E为初始弹性模 量。一般情况下本构关系可表为 ij f ij ( kl )
但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数,它们是应 变或应力的函数,分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力(或应变)水平对应的 割线常数(割线剪切模量和割线泊松比)。
例如对混凝土,Andenaes等依据实验给出, 八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应 变间关系为 oct 3 K s oct oct G s oct octσoct m 并有 Gtt K oct Gs 1 a B G c Ks s G K s G s ( c oct ) p εoct e oct K G 其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量, cB 为混凝土单轴抗压强度,a、m、c和p为由试验 确定的常数。
简单来说,势能原理等价平衡,表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
余能原理等价于协调,表达为 VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS = min 利用格林公式,可证明 Ve+ VC=0
平面问题3结点三角形单元的有限元格式
x
转图
五、边界条件(应力,位移)
2.4、 3D问题的基本方程(分量形式,指标形式) 可将2D问题的基本方程推广到3D问题,下图为3D情形 下的应力分量。
微单元体的几种平衡关系
1. 沿x、 y 、z方向上 的所有合力的平衡
2. 沿绕x、 y 、z方向 上的所有合力矩的 平衡
本构关系
对线弹性介质在小变形情况下只有两个独立 的弹性常数,但应力应变(本构)关系有多种 表示形式: 用G和μ表示 1 2G ( ij ij kk ) ij ij kk 2G ij ij 2G 1 1 2 用G和体积模量K表示 1 ij 2Geij ij m K kk ij 2Geij 3 1 1 ij kk ij sij 9K 2G
2 2 2
1.2.2 增量形式本构关系 增量本构关系的表达形式为 t d ij f ij , kl d kl Dijkl d kl t Dijkl 为切线弹性张量,形式上仍可表为 式中
D
t ijkl
解的广义坐标β1~β3为:
(a)
(5-2)
其中:
把(5-2)式写成矩阵形式有:
收敛准则 1、位移模式必须包含单元的刚体位移 2、位移模式必须能包含单元的常应变 3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调 满足条件1、2的单元为完备单元 满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选 几何各向同性:位移模式应与局部坐标系的方位无关 多项式应有偏惠的坐标方向,多项式项数等于单元边界结点的自由度总 数。 帕斯卡三角形
在有限元分析中有两种应用形式:全量形和增 量形本构关系。
全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相 同,也即 s ij Dijkl kl s Dijkl 为割线弹性张量,形式上它仍可表为 式中
D
s ijkl
2Gs s ij kl 2Gs ik lj 1 2 s
12 0
22 1
12 D121212 2G12
E 2(1 ) G 12 12 2(1 ) E
虚位移原理与虚力原理
1. 虚位移原理和最小势能原理
1) 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
体积力虚功
表面力虚功
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
1、结构离散
2、确定单元位移模式及插值函数
在有限单元法中单元的位移模式一般采用多项式作为近视函数,因 此多项式运算简便,并且随着项数的增多,可以逼近任何一段光滑的 函数曲线。多项式的选取由低次到高次。 3结点三角形单元位移模式选取一次多项式:
单元内的位移是坐标x,y的线性函数。β1~β6是待定系数,称之 为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。把上式代 入代入单元3个结点i、j、m在x方向的位移ui,可得: (5-1)
利用上述关系,只要已知两个弹性常数就可 写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。 例如,当以G和μ表示时,以张量形式表示的 本构关系为
2G ij Dijkl kl ( ij kl 2G ik lj ) kl 1 2 由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。
弹性张量Dijkl
vi ui sin vi cos ,
0 0 1
x
0 t
ui ui cos vi sin ,
cos t sin 0 sin cos 0
i i
i t i
t T 0
单元应力可以根据物理方程求得: 其中:
S称为应力矩阵,
4 利用最小势能原理建立有限元方程
最小势能原理的泛函总位能Ⅱp的表达式,在平面问题中采用矩阵表达形式为:
对于离散模型,系统势能是各单元势能之和,利用单元的位移表达式代入上式有:
将以上各式代入泛函表达式,离散形式的总位能可表示为:
所以有: 这样我们得到有限 元的求解方程是:
5 引入位移边界条件
单元刚度矩阵的坐标变换
Re , e , [k ]表示单元在局部坐标系oxy的结点力, 结点位移, 刚度矩阵
Re , e , [k ]表示单元在整体坐标系oxy的结点力, 结点位移, 刚度矩阵
Re T Re e T e T 坐标转换矩阵
式中应力和应变偏张量分别为
sij 2Geij
1 1 ij eij kk ij eij v ij 3 3
如果用拉梅(Lame)常数表示,则有 kk ij 2G ij kk ij kk 3 2G ij ij kk ij 2G 2G 弹性常数间有如下关系
2 虚力原理
1)虚力原理的表述 给定位移状态协调的充分必要条件为:对 一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成 立(矩阵) ∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
虚余变形功 虚反力功 表面给定位移
虚功方程——张量表达
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
2) 余能原理
1 2 2 2 POCT X OCT YOCT Z OCT 1 2 3 3 1 OCT X OCT l YOCT m Z OCT n ( 1 2 3 ) 3 2 2 2 2 2 2 OCT POCT OCT 12 23 31 8 3
和由虚位移原理导出势能原理一样,由虚力 原理 ∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS 可得 δ(1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS)=0 记VC如下所示,并称为变形体的总余能 VC=1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS 则由δVC=0可得 余能原理 在一切可能的静力平衡状态中,某应力状态 为真实应力的充要条件是,变形体的总余能取 驻值。对线弹性体,此驻值为最小值。
同济大学土木学院桥梁工程系
有限单元法II
——2004级硕士生课程
主讲教师:周志勇
(副教授)
同济大学土木工程桥梁工程系
2.2 弹性体的基本假设
基本假定 (1)物体内的物质连续性假定:物质无空隙,可用连续 函数来描述 (2)物体内的物质均匀性假定:物体内各个位置的物质 具有相同特性; (3)物体内的物质(力学)特性各向同性假定:物体内 同一位置的物质在各个方向上具有相同特性; (4)线性弹性假定:物体的变形与外力作用的关系是线 性的,外力去除后,物体可恢复原状; (5)小变形假定:物体变形远小于物体的几何尺寸,在 建立方程时,可以高阶小量(二阶以上)。
有限元(二)的具体内容
材料(非线性)本构关系 固体力学大变形基础 非线性方程组的解法 材料非线性有限元分析 大变形有限元分析 边界元法-流体计算
弹塑性本构关系简介
1 弹塑性力学有关内容简介
2 几种常用弹塑性材料模型简介
3 弹塑性矩阵的建立步骤
固体力学大变形基本知识
1. 2. 3. 4. 物体运动的物质描述 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 大变形时平衡方程和虚位移原理 大变形本构关系
x
1
y
常数项 线性项
x5
x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy3 y 4 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5
对称轴
二次项 三次项 四次项 五次项
3、应变矩阵和应力矩阵
确定了单元位移后,可以方便地利用几何方程和物理方程求得 单元的应变和应力,因此有: