讲义_第4章_隶属函数的确定方法

显然，0 ≤ f (x/y) ≤ 1，∀ x, y∈U。 3° 以 f (x/y) 为元素构造一个矩阵 G，称为相对优先矩阵：
⎜⎛ f (x / x)
G
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
f f
(y/ (z /
M
x) x)
f (x / y) f (y / y) f (z / y)
M
f (x / z) L⎟⎞ f ( y / z) L⎟
4.3 模糊统计试验法
由 Bernoulli 大数定律我们知道：在 n 次重复独立试验中，如果事件 A 发生的频数为 nA，则对于
任意的 ε > 0 有
lim
P⎨⎧|
nA
−
p
|<
ε
⎫ ⎬
=1
n→∞ ⎩ n
⎭
其中 p 是事件 A 发生的概率。这一结论说明，在次数足够多的重复独立随机试验中，随机事件的频
如果对相对优先矩阵 G 的每一行取平均值，则得 A 的隶属函数为
A(x) = 1，A(y) = 5/7 ≈ 0.7143，A(z) = 13/24 ≈ 0.5417
例 4 某汽车研究所拟对 4 种车型 a、b、c、d 的乘坐舒适性进行评估。为此，令 U = {a, b, c, d}，A =
{乘坐舒适性}，并挑选 10 名长期从事汽车道路试验的技术人员和司机，通过实际乘坐进行评估，评估方
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第4章
第 4 章 • 隶属函数的确定方法
隶属函数的确定方法
在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说， 隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。 因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊数学理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊 数学方法解决各种实际问题的关键。
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第 4 章 • 隶属函数的确定方法
f (x / y) =
f y (x)
, ∀x, y ∈U
(4.1)
max{ f x ( y), f y (x)}
或
f (x / y) = f y (x) , ∀x, y ∈U
(4.2)
fx ( y) + f y (x)
中速
快速
0
35
55
75
95
图 2 汽车行驶速度的隶属函数
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包
含了对这些知识的语言学描述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全
相同的隶属函数。例如，对于模糊集 A = {高个子}，如果论域是“成年男性”，则可构造隶属函数如图 3(a)
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。其原因就在于， 一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映。隶属函数的形成过程基本上是人 的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前 为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
所示；而如果论域是“初中一年级男生”，则可构造隶属函数如图 3(b) 所示。
T (x)
1
1 T (x)
0.5
0.5
0Fra Baidu bibliotek
140
170 185 200 x
0 140 155 170
200 x
(a)
(b)
图 3 不同论域下“高个子”的隶属函数
4.2 二元对比排序法
有些模糊概念不仅外延是模糊的，其内涵也不十分清晰，如“舒适性”、“满意度”等。对于这样的 模糊集建立隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于这个模糊概念的程度进行比较、排序。 但一般来讲，人们对多个对象的同时比较存在着度量上的困难，为此 Saaty 教授在设计层次分析法时提出 了两两比较的策略。借鉴两两比较排序的思想，人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。
率总是稳定在它发生的概率值附近，即事件发生的概率可以通过大量的统计试验来近似确定。
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第 4 章 • 隶属函数的确定方法
借用概率论的思想，人们设计了一种称之为模糊统计试验的方法来获得隶属函数：为了确定论域 X 中 的某个元素 u0 对描述某个模糊概念的模糊集 A 的隶属关系(即隶属度)，进行 n 次重复独立统计试验。由于 每次试验的条件不同(带有模糊性)，那么每次试验中论域中哪些元素被判定为隶属于 A 是不大明确的。如 果将每次试验中被判定隶属于 A 的元素构成的集合均记为 A*，显然 A* 是论域 X 上的分明子集，并且是边 界可变的、可移动的，我们通常将 A* 作为模糊集 A 的弹性疆域。由于每次试验中或者 u0∈A* 或者 u0∉A*， 因而令 u0∈A* 的次数为 m，并称 m/n 为 u0 对 A 的隶属频率。随着 n 的增大，隶属频率会呈现稳定性，这种 稳定性找到了一把度量“隶属程度”的“尺子”。于是，就可以将隶属频率稳定所在的数值，定为 u0 对 A 的隶属度 A(u0)。
于 ∀x, y∈U，按照下面表 1 中给出的方法进行两两比较来计算 fy(x)、fx(y) 的值。
表 1 两两比较评分表
元素 x，y 相比较 x 比 y 隶属于 A 的程度相同 x 比 y 隶属于 A 的程度稍微大 x 比 y 隶属于 A 的程度明显大 x 比 y 隶属于 A 的程度突出大 x 比 y 隶属于 A 的程度绝对大 介于上述某两个判断之间
A(a) = 1，A(b) = 37/63 ≈ 0.5873，A(c) = 30/70 ≈ 0.4286，A(d) = 21/79 ≈ 0.2658
若对相对优先矩阵 G 的每一行取平均值，则得 A 的隶属函数为
A(a) = 1，A(b) = 113/126 ≈ 0.8968，A(c) = 345/476 ≈ 0.7248，A(d) = 793/1535 ≈ 0.5166
法为：任取两辆车编成一组进行对比，以先乘坐的一辆车为基准，以后乘坐的一辆车为对象作相对比较评
分，评分标准如表 2 所示。
表 2 相对舒适性评分表
乘坐感觉 很好
好
稍好
相同
稍差
差
很差
分值
10
9
7
5
3
1
0
例如，先乘 b 车再乘 a 车，相对于 b 车 10 人对 a 车评分的总和为 83 分，则取 fb(a) = 0.83，fa(b) = 0.17。 如此得到的所有评分结果，如表 3 所示。
f (z / z) M
LM ⎟⎟⎟⎠
4° 对相对优先矩阵 G 的每一行取最小值或平均值，即得 A 的隶属函数为
A(x) = min{ f (x / y)}, ∀x ∈U y∈U
或
∑ A( x)
=
1 |U
|
y∈U
f y (x),
∀x ∈U
例 3 设 U = {x, y, z} 表示三种服装款式构成的论域，A 表示按照某人的标准对服装款式“满意”。对
很冷 1
冷
凉爽
适宜
热
0.5
0
5
10
15
20
25
30
图 1 空气温度的隶属函数
例 2 根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描 述这三个概念的模糊集的隶属函数如图 2 所示。
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慢速 1
0.5
第 4 章 • 隶属函数的确定方法
二元对比排序方法就是通过对多个对象进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些对象 对该特征的隶属程度。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过多 名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施，是一种比较实用的确定隶属函数的方法。
设 U = {x, y, z, …} 为给定的论域，A 是某一模糊概念。二元对比排序法的实施步骤为： 1° 对任取的一对元素 x, y∈U 进行比较，得到以 y 为标准 x 隶属于 A 的程度值 fy(x)，以及以 x 为标准 y 隶属于 A 的程度值 fx(y)。 2° 计算相对优先度函数：
可求得相应的相对优先矩阵为
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第 4 章 • 隶属函数的确定方法
⎜⎛ 1
1
1 1⎟⎞
G
=
⎜37 / ⎜⎜⎜⎝ 3201//
63 70 79
1 32 / 68 31/ 69
1 1 26 / 74
1⎟ 11⎟⎟⎟⎠
于是
若对相对优先矩阵 G 的每一行取最小值，则得 A 的隶属函数为
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视， 至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章 将选择 4 种具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模 糊度法。
4.1 直觉方法
表 3 相对舒适性得分表
基准 y
fy(x)
a
b
c
d
a
0.50
0.63
0.70
0.79
对
b
0.37
0.50
0.68
0.69
象
x
c
0.30
0.32
0.50
0.74
d
0.21
0.31
0.26
0.50
(1) 如果采用相对优先度函数公式 (4.1)，则有： f (a/a) = 1，f (a/b) = 1，f (a/c) = 1，f (a/d) = 1 f (b/a) = 37/63，f (b/b) = 1，f (b/c) = 1，f (b/d) = 1 f (c/a) = 30/70，f (c/b) = 32/68，f (c/c) = 1，f (c/d) = 1 f (d/a) = 21/79，f (d/b) = 31/69，f (d/c) = 26/74，f (d/d) = 1
直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函 数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共识的客观模糊现象，或者用于难于采集数据的情形。
例 1 考虑描述空气温度的模糊变量或语言变量。如果将描述变量取为“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适 宜”和“热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理解， 可以规定这些模糊集的隶属函数曲线如图 1 所示。
fx (y) 的取值 1 1 1 1 1 1
fy (x) 的取值 1 3 5 7 9
2、4、6、8 之一
假设经过二元对比得到：fy(x) = 7，fx(y) = 1；fz(y) = 2，fy(z) = 1；fz(x) = 8，fx(z) = 1，则根据相对优先度 函数公式 (4.1) 有：
f (x/x) = 1，f (x/y) = 1，f (x/z) = 1 f (y/x) = 1/7，f (y/y) = 1，f (y/z) = 1 f (z/x) = 1/8，f (z/y) = 1/2，f (z/z) = 1 于是可以求得相对优先矩阵：
f (d/a) = 0.21，f (d/b) = 0.31，f (d/c) = 0.26，f (d/d) = 0.50
可求得相应的相对优先矩阵为
⎜⎛ 0.50 0.63 0.70 0.79⎟⎞
G
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0.37 0.30 0.21
0.50 0.32 0.31
0.68 0.50 0.26
0.69 ⎟ 00..5704 ⎟⎟⎟⎠
于是
若对相对优先矩阵 G 的每一行取最小值，则得 A 的隶属函数为
A(a) = 0.50，A(b) = 0.37，A(c) = 0.30，A(d) = 0.21
若对相对优先矩阵 G 的每一行取平均值，则得 A 的隶属函数为
A(a) = 0.655，A(b) = 0.56，A(c) = 0.465，A(d) = 0.32
归纳起来，模糊统计试验方法的基本步骤是：
① 在每一次试验下，要对论域中固定的元素 u0 是否属于一个可变动的分明集合 A* (A* 作为模糊集 A
(2) 如果采用相对优先度函数公式 (4.2)，则有：
f (a/a) = 0.50，f (a/b) = 0.63，f (a/c) = 0.70，f (a/d) = 0.79
f (b/a) = 0.37，f (b/b) = 0.50，f (b/c) = 0.68，f (b/d) = 0.69
f (c/a) = 0.30，f (c/b) = 0.32，f (c/c) = 0.50，f (c/d) = 0.74
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第 4 章 • 隶属函数的确定方法
⎡ 1 1 1⎤ G = ⎢⎢1/ 7 1 1⎥⎥
⎢⎣1/ 8 1/ 2 1⎥⎦
如果对相对优先矩阵 G 的每一行取最小值，则得 A 的隶属函数为
A(x) = 1，A(y) = 1/7 ≈ 0.1429，A(z) = 1/8 = 0.125