参数方程的应用

参数方程的应用

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。（2）三角法：利用三角恒等式消去参数 （3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程

（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨

⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）

（2）圆2

2

2

r y x =+参数方程⎩⎨

⎧==θ

θsin cos r y r x

（θ为参数）

（3）圆222

00()()x x y y r -+-=参数方程为：⎩⎨

⎧+=+=θ

θsin cos 00r y y r x x

（θ为参数）

（4）椭圆12

2

22=+b

y a x 参数方程

⎩⎨

⎧==θθ

sin cos b y a x （θ为参数）

（5）抛物线Px y 22

=参数方程⎩⎨

⎧==Pt

y Pt x

222

（t 为参数）

1. 设是椭圆上的一个动点，则的最大值是

，最小值是

。P x y x y 2312222+=+

2. 求椭圆x y P 22

94

110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值

3.已知实数y x ,满足()()25212

2

=-+-y x ，求y x y x ++2,2

2的最值。

4．设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14

9:2

2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上找一点P ，使ABP ∆面积最大。

11 求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆14

22

=+y x 所得的弦长。 解：直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+=-=22

122

1代入1422

=+y x 化简得022652=++t t ()5

2

442

122121=-+=

-t t t t t t 8. 直线（为参数）被双曲线上截得的弦长为。x t

y t

t x y =+=⎧⎨

⎩-=23122

分析与解：

方法之一可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结合韦达 ()()定理，利用弦长公式可求得弦长；若不把参数方程化为普通方

程，又怎样求弦长呢？注意到直线参数方程不是标准形式，故上述方程中的不具有显而易见的几何意义，因此有必要先将其化为标准形式：

AB k x x x x t y y t t =

+-=+=+⎧⎨⎩1212200

cos sin α

α

为参数）

（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+= 1 23 21212

2

2

2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=-t t y x ，得：代入 06 4 2

=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=⋅=+t t t t ，

()()10240644 4 22122121==--=

-+=

-=t t t t t t AB 从而弦长为

17．已知点()1,2M 和双曲线12

2

2

=-y x ，求以()1,2M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程。 解：设所求的直线l 的方程为：()为参数θθ

θ⎩⎨⎧+=+=sin 1cos 2t y t x 代入1222

=-y x 化简得：

()025sin cos 4sin 21cos 222=+-+⎪⎭⎫

⎝⎛-θθθθt t ，0sin 2

1cos cos 4sin 2221=--=+∴θθθt t

4tan ==∴θk ，所求的直线l 的方程为：094=-+y x

12．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线方程是x y 21±

=．过点()4,0P -作斜率为1

4

的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2

PA PB PC ⋅=．求双曲线G 的方程；

解：由双曲线G 渐近线方程是x y 2

1

±

=，可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．

把直线l 的参数方程方程)(171

1744为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

=+-=代入双曲线方程，整理得

01617

3217122=-+-m t t ，设B A ,对应的参数为21,t t ，()0161712417322>-⨯⨯-=∆m 得346

21，()1612

1721-=⋅=⋅∴m t t PB PA 令017

44=+

-t ，得17=t ，17=∴PC ，由2

PA PB PC ⋅=得

()171612

17

=-m ，28=m 所以，双曲线的方程为

22

1287

x y -=．

19．从椭圆14

92

2=+y x 上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x 轴上截距的乘积。 解 化方程为参数方程：⎩⎨

⎧==θ

θ

sin 2cos 3y x （θ为参数）

设P 为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。于是，直线BP 的方程为：θ

θ

θθcos 3cos 3sin 22sin 2--=

--x y 直线AP 的方程为：

θ

θ

θθcos 3cos 3sin 22sin 2--=

---x y 令y=0代入AP ，BP,的方程，分别得它们在x 轴上的截距为θθsin 1cos 3-，θ

θ

sin 1cos 3+

故截距之积为：

9sin 1cos 3sin 1cos 3=-•-θ

θ

θθ

7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为

3

4，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。（2）M 点的坐标。（3）线段AB 的长AB 。

解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，4

25,8152121-==+t t t t （1）4

15

221=+=

t t PM