【人教版】九年级数学上册：24.1.4圆周角ppt课件
合集下载
人教版九年级上册数学课件24.1.4圆周角(共29张PPT)
【设计意图】通过前面学生发现类似的“红旗”图案？这些接下来命题的证明有又有哪些启示？
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
我会运用“分类”、“化 学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）
(二) 尝试探究，解决问题
让学生仔细观察，分析思考，
我会运用“分类”、“化归”思想进行有关的证明.
２．创设问题情境
生活实践
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半
在学生认识圆周角与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆周角定理。
O·
O·
O·
B
C
B
C
C
圆心在圆周
角边上
圆心在圆周
角内部
圆心B 在圆周
角外部
在上述三种情况中你觉得哪个图形较特殊一点,你能利用该
图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小
关系吗?
证一证
O
你能发现几杆类似的“红旗”图案？
这些对该情况下命题的证明有哪些启示？
A
A 证明∵OA=OC
O
∴∠A=∠C.
转化
分类
教学得失
本节课是在圆的基本概念及四量关系定理的基础上，对圆周 角定理的探索，圆周角定理在圆的有关计算和证明中有着广 泛的应用，它为后续学习打下基础，在教材中起着承上启下 的作用．反思本节课，我有如下体会 1、抓重点、破难点、释疑点。本节课的重点是圆周角的概 念及其性质定理，其中“同弧（或等弧）所对的圆周角相等” 学生很容易掌握，但圆周角与圆心角的关系较难理解，我通 过从特殊情况引导学生分析得出一般性结论，从而化解难点。 学生在遇到复杂图形中找圆周角关系时较难识图，我引导学 生从“角—弧—角”的串联形式分析角的关系，效果较好。 2、注重知识的生成，注重思想方法的渗透。通过一系列问 题引导学生从特殊情况入手，在动手测量、自主探索，合作 交流的过程中归纳总结出一般性的结论。在学生认识圆周角 与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆 周角定理。同时渗透了“分类”、“化归”、“归纳”“从 特殊到一般”等数学思想，有效提高了学生分析问题的能力， 充分体现学生的主体地位与教师的主导作用。
新人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件(共19张PPT)
O
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
B A
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
C
B
●
O
归纳总结：
在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对 的圆周角都相等，并且都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
四回归生活实践：当球员在 B 、 D 、E三处射门时,他所处的位置对 球门 AC 分别形成三个角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC这三个角的大小有 什么关系?那么在B、D、E处射门 有没有影响？.
3.求圆中角X的度数
O A
D
C 120°
70° x
.
C A
B
O X
.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O A B
六、小结本节课主要所学内容和 上面练习题所应用的主要知识点
选做题：
1、已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
上,结果会怎样?
A
C
●
过点B作直径BD.由1可得:
当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的内部时 , 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
O
B A D O C
●
B
第三种情况：如果圆心不在圆周角的
A C
●
一边上,结果会怎样? 当圆心 O 在圆周角(∠ABC)的外部 时 ,圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC的大小 关系会怎样?
A
E
C
A E
●
B
D
O
B
D
C
五练一练： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？ D
九年级数学上册(人教版)教学PPT课件：24.1.4圆周角
即 A 1 BOC 2
新课讲解
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
BAC 1 BOC
B
2
A
O·
C D
新课讲解
（3）在圆周角的外部． 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
O
B
C
性质：圆的内接四边形的对角互补。
课堂练习
课本P88练习
课堂小结
1.关于圆周角的概念； 2.关于圆周角的定理； 3.关于圆周角的定理的推论； 4.圆内接多边形概念及定理.
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
A
O
D
F
E
新课讲解
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边
形ABCD的外接圆。
D
在圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
A
∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
在Rt△ABC 中，
A BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分 ∠ACB，
∴∠ACD= ∠BCD
∴弧AD=弧BD. ∴AD=BD. 在Rt△ABD中，
·O
B
D
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
新课讲解
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
BAC 1 BOC
B
2
A
O·
C D
新课讲解
（3）在圆周角的外部． 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
O
B
C
性质：圆的内接四边形的对角互补。
课堂练习
课本P88练习
课堂小结
1.关于圆周角的概念； 2.关于圆周角的定理； 3.关于圆周角的定理的推论； 4.圆内接多边形概念及定理.
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
A
O
D
F
E
新课讲解
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边
形ABCD的外接圆。
D
在圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
A
∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
在Rt△ABC 中，
A BC AB2 AC2 102 62 8
∵CD平分 ∠ACB，
∴∠ACD= ∠BCD
∴弧AD=弧BD. ∴AD=BD. 在Rt△ABD中，
·O
B
D
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
24.1.4圆周角-人教版九年级数学上册课件
归纳：一般地，如果题目中有直径出现时，常作辅助线得 到直径所对的圆周角---- ___.当圆中要证明垂直或得到 90°的角时，常作出___
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件(共27张PPT)
三、圆内接四边形的性质
观察图中三角形与圆的位置关系。
答：如图，我们把△ABC叫做圆内接三角形；而
圆叫做三角形的外接圆。
A
O
B
C
圆内接多边形：
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D E
B
C
C
O
A
B
A
OD
F
E
如图，四边形ABCD为圆内接四边形； ⊙O为四边形ABCD外接圆。
圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
相等。理由如下：
D
BDC 1 BOC, 2
∴∠BAC=∠BDC
知识要点
圆周角定理的推论
∠DCB的对角，我们把∠A叫做
∠DCE的内对角。
D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
圆的内接四边形性质定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何 一个外角都等于它的内对角。
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内 接四边形，已知∠BOD＝100°， 求∠BAD及∠BCD的度数。A
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2
A
A1
3
知识要点
圆周角和直径的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径.
课堂能力提升
1 ． 如 图 ， 已 知 圆 心 角 ∠BOC=76° ， 则 圆 周 角 ∠BAC的度数是__3_8_°_．
人教版数学九年级上册 24.1.4圆周角(共21张PPT)
和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
1、什么叫做圆心角？
定 义
顶点在圆心的角叫做加圆心角。如图（1）
学 习
B
B
O
O
C
（1）
C A
（2）
2、圆周角的定义：
如图（2），∠BAC的顶点在圆上，它的两边分别与圆相交，像这样的角， 叫做圆周角。
3、圆心角与圆周角的差别：
定
义
B
B
学
习
O
O
C
C
A
（1）
（2）
一是对角的顶点的位置的规定，圆心角的顶点在圆心处， 而圆周角的顶点在圆周上；
运
AP
用
连结OD，
直径AB CD
COB DOB 1 COD 2
CPD是圆周角， 对的弧是CBD
O
C
D
B
CPD 1 COD 2
CPD COB
1、本节课的主要内容是什么？
课
圆周角的定义和性质
堂
小
结
2、本节课你学到了什么数学方法来证明圆周角的性质？
分类法 ，数形结合法
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是
直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
知
识
探
探究与思考
A
O
B
索
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直
径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是_9_0_°_
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB
是180° 。点O在_A_B_上，弦AB是 直__径_
2
2
BAC 1 BOC
2
知 识 探 索
24.1.4圆周角 教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理课件(共15张PPT)
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学们完成证明．
一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧
所对的圆周角之间有什么关系？
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它
解：连接 OD，AD，BD， 所对的圆心角的一半？
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
AD2+BD2=AB2 ， 本课是在学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系．
∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
∴ AD=BD= 思想方法．
• 学习重点：
圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习 （3）理解：望哨（站岗放哨；借助相近的词语理解）
五、布置作业
教科书 88 页 练习 1． 这篇课文是一首诗歌，主要写了春雨能促使万物生长，少年儿童在春雨中植树，绿化祖国。
蒙蒙细雨雨点很细很密的小雨。这是春雨的特点。 ⑶老师后来提了什么问题，使这热烈的场面一下子变得沉默无声？完成下面练习，想像一下，他们在想什么？如果是你，你会想什么？ 课件出示： 3．复习生字表： 2、秋收的两个徒弟有什么不同？ 3、指名竞读，榜样示范。 身段 （女）素之一忽则嫌白，黛之一忽则嫌黑 四、阅读体验（谈收获引导学生自我小结） 醒：左边是“酉”，不是“西”。 【教学过程】 ２、理解词义： 三、品读感悟，明白道理 2、品读句子，从文中优美的语句中感悟琴声的美妙。 小学语文教案 篇6 ②相信你也能为我们读出这样的精美，读—— 教材分析 ３、培养学生正确、流利、有感情地朗读课文的能力。 3、理解第二段并能有感情地朗读 １、学习课文，理清课文条理，理解课文内容。 一、谈话导入课题 异口同声：形容很多人说同样的话。 2、观察生字，说说哪些地方容易写错。(在写“纪”时，要注意右边是“己”不是“已”;“旅”要和“旋”易混，“藏”和“卧”笔顺 易错，要注意区分，不要写错。)
一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧
所对的圆周角之间有什么关系？
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它
解：连接 OD，AD，BD， 所对的圆心角的一半？
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
AD2+BD2=AB2 ， 本课是在学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系．
∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的
∴ AD=BD= 思想方法．
• 学习重点：
圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习 （3）理解：望哨（站岗放哨；借助相近的词语理解）
五、布置作业
教科书 88 页 练习 1． 这篇课文是一首诗歌，主要写了春雨能促使万物生长，少年儿童在春雨中植树，绿化祖国。
蒙蒙细雨雨点很细很密的小雨。这是春雨的特点。 ⑶老师后来提了什么问题，使这热烈的场面一下子变得沉默无声？完成下面练习，想像一下，他们在想什么？如果是你，你会想什么？ 课件出示： 3．复习生字表： 2、秋收的两个徒弟有什么不同？ 3、指名竞读，榜样示范。 身段 （女）素之一忽则嫌白，黛之一忽则嫌黑 四、阅读体验（谈收获引导学生自我小结） 醒：左边是“酉”，不是“西”。 【教学过程】 ２、理解词义： 三、品读感悟，明白道理 2、品读句子，从文中优美的语句中感悟琴声的美妙。 小学语文教案 篇6 ②相信你也能为我们读出这样的精美，读—— 教材分析 ３、培养学生正确、流利、有感情地朗读课文的能力。 3、理解第二段并能有感情地朗读 １、学习课文，理清课文条理，理解课文内容。 一、谈话导入课题 异口同声：形容很多人说同样的话。 2、观察生字，说说哪些地方容易写错。(在写“纪”时，要注意右边是“己”不是“已”;“旅”要和“旋”易混，“藏”和“卧”笔顺 易错，要注意区分，不要写错。)
24.1.4圆周角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 4.90度的圆周角所对的弦是直径。
谢谢
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了圆心角、弧、弦三个
量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
圆周角
• 在射门游戏中(如图),球
员射中球门的难易程度
与他所处的位置B对球门
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
A C
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠1 AOC.
2
你能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• 同弧: 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
• 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
圆周角定理
•一条弧所对的圆周角等于它
所对圆心角的一半.
•同弧所对的圆周角相等
C E
O D
B A
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
谢谢
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了圆心角、弧、弦三个
量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
圆周角
• 在射门游戏中(如图),球
员射中球门的难易程度
与他所处的位置B对球门
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
A C
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠1 AOC.
2
你能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• 同弧: 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
• 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
圆周角定理
•一条弧所对的圆周角等于它
所对圆心角的一半.
•同弧所对的圆周角相等
C E
O D
B A
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
人教版九年级上册第24章2414圆周角课件49张
1
A
? BAD? ? BOD
2
1
O·
? DAC ? ? DOC
2
D
C B
1
? ? DAC? ? DAB? (? DOC ? ? DOB)
2
1
? ? BAC? ? BOC
2
综上所述：
我们得到：同弧所对的圆周角度数
等于这条弧所对的圆心角的一半.
即∠BAC=
1
2 ∠BOC
A O
B
C
A
ห้องสมุดไป่ตู้
O
B
C
A
O C
B
同弧所对的圆周角度数等于这 条弧所对的圆心角的一半.
6、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角
分别为(2x+100)°和(5x-30)°则x=_20°_；
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。
∠BOC =140°
2、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠BOC=84°， 求∠ A的度数。
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
? AD ? BD ? 2 AB ? 2 ? 10 ? 5 2 (cm )
2
2
3、∠A=50°， ∠AOC=60 °BD是⊙O的
直径，则∠AEB等于（ B ）
A、70° B、110° C、90° D、120° 4、如图△ABC的顶点A、B、C都在⊙上
角，这些角中哪些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A
1
2
8C
7
3 4
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∠ABC的大小.
AC
解：∵AB是☉O的直径，
O
∴∠ACB=90°（直径所对
的圆周角等于90°.）
B
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°.
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
x 60°
20° B Dx
E
30°
A FC
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. (2)连接BF， ∵同弧所对圆周角相等，
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A
3
试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、 C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= 70 º，理由 是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD
C
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
A
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
O·
B
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
知识要点
圆周角和直径的关系
u圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
典例精析
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ A 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、 C两点.
视频引入
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的 难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度 大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点 的位置射门更有利？
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例3：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O
于B, 求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°.
B
在Rt△ADC中，
D C A C 2 A D 21 0 2 6 2 8 ;
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
导入新课
24.1.4 圆周角
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
A BB C2A C21052(cm ). 22
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，则考虑构造直角三角形来求解.
例4 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P, ∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
A
C
.O
P
B
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
D
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋
70°＝100°.
三 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
u探究性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
BAC1BOC 2
n圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
B
C
D
D
BAD 1BOD 2
BAC
BADDAC
1(BODDOC) 1BOC
2
2
C
D
1 DAC DOC
2Байду номын сангаас
n圆心O在∠BAC的外部
A
OO
D
D
C
B
BACDACDAB
1(DOCDOB)1BOC
D
2
2
DAC1DOC A2
O
C
DAB1DOB A2
O
为四边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空：
∠1= ∠4. ∠2= ∠8.
78
A
1 2
34
O6
5
C
∠3= ∠6.
B
∠5= ∠7.
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一
点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对
的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，
B
要点归纳 圆周角定理
u圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
相等
BAC1BOC, 2
BDC 1BOC, 2
∴∠BAC=∠BDC
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
问题2 如图，若 CD EF， ∠A与∠B相等吗？
相等
AB
CDEF， C O D E O F .
E
A1 C O D ， B1 E O F ，
O
2
2
AB.
C
F
D
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么CD EF 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
知识要点
圆周角定理的推论
A
E
B CD
讲授新课
一 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
C （1） √ A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
O·
CC A O·
·O
B
C
顶点不在圆上
练一练
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径 所对的圆周角，构造直角三角形解题．