取整函数1
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解：[ ] ,得
- -2 -[ ]-2=0
- -2 0
( -2)( +1) 0
于是-1 2
当0 1时，[ ]=0代入原式，得 =2（不正确）；当1 <2时，[ ]=1，代入原式，得 =3（正确）；当 =2时，代入原式，得 =4（正确），所以 =3,4
注：此题是对取整函数[x]定义的应用
2.2
和 整数部分紧密相关的是其小数部分，记为{ },定义为{ } = -[ ],由[ ] <[ ]+1不难得知0 { }<1，反过来，若 =[ ],自然有{ }=0。这些简单的事实有时很有用处，对于给定的 ，要求出{ }，先求出[ ]就可以。
(b)
以上是取整函数[ ]以及{ }的一些基本性质，取整函数是非常重要的数学概念，它的定义域是连续的，值域却是离散的，取整函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用，在极限， 导数 ，积分 ，级数等方面都有应用，也是数学竞赛中的热点，在数学竞赛中主要考察的是学生解决有关取整函数的问题用到的多种数学思想方法[3]，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。
与[ ]之间适合 -1< [ ] <[ ]+1
例如：[6]=6,[3.2]=3，[ ]=1，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4。
对于较小的 ，我们不难求[ ]。但是对较大的 ，求[ ]的基本方法还是回到定义中去，即对 作适当的估计或变形。
例题1求 以及 的整数部分，这里的n为正整数。
例题3求所有的正数 ，使得其整数部分[ ]以及小数部分{ }满足关系 。
解：设[ ]=n,{ }=t,则n 0,0 t<1,由于 ={ }+[ ],所以
（1）
如果t=0，则由上式知n=0，从而x= =0,这不合要求。
现在设 ，则 ，但由（1）知 ，所以 ，即
再从0<t<1可见0<n<2
由于n是整数，所以n=1,由（1）得到 ，解得 ，因此，所求的正数 只有一个，即为1+ =
我们可以用取整函数解决这个问题，那什么是取整函数呢？
我们在学习数学的过程中，常常看到取整函数的身影，在离散数学、微积分、数学分析中都有取整函数的应用，纵观几年的数学竞赛，发现了取整函数也是数学竞赛的热点之一。然而含有取整函数的题目往往比较困难，要解决关于取整函数的问题我们就要好好了解取整函数，什么是取整函数，它有什么性质，它的应用有哪些。
定理3若 >1, N，则从1到 的整数中， 的倍数有[ / ]个
例题5证明定理3
证：由[ ] <[ ]+1，
两边乘以m得 [ ] x< （[ ]+1）
由此可见，从1到 的整数中， 的倍数是 ，2 ， ，[ ] ，它们共有[ / ]个。
定理4设 为任一素数，在 中含 的最高乘方次数记为 ，则有：
例题6[2]证明定理4
Key words：IntegerfunctionDecimal functionNatureApplicationSample question
1
某市电信局130手机与137、138、139手机有不同是收费方式。137、138、139手机的收费方式为：月租费50元，基本通话费0.40元/分钟，不足一分钟按一分钟计算。130手机的收费方式为：没有月租费，但是基本通话费为0.54元/分钟，不足一分钟也按一分钟计算。小明今购了一部手机，他每月通话的时间大约20小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？
解：等式左边共73项，且因 都小于1，则每一项为 或 ，注意到
，故必有 。进一步有： ，所以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：
注：此题采用了分类讨论法。
例题10[5]求 的值。
解：由题意得：对于任意的
由于
注：本题采用了分组凑整的思想
例题11对任意的 ，证明：
证明：首先证明 。令 ，则
例题18求积分 ( 为有限的自然数).（积分问题）
解 = =
=
利用以上ห้องสมุดไป่ตู้分的结果很容易得到 的积分,即
=
=
=
=
注： ，这个题是含取整函数的定积分问题，根据 也可以积分 。
例题19讨论 的收敛性（级数问题）
解 因为 ，发散，所以级数非绝对收敛。
当 时， 保持定号，所以有
其中 ，显然， 。
当k充分大时 单调递减且 时， ，所以有交错级数的莱布尼兹定理知 收敛，从而原始级数条件收敛。
Abstract：[x] and {x} are the extremely important arithmetical functions, other many mathematics branch all must involve, also frequently appears in the domestic and foreign mathematics competition includes [x] and the {x} question, this kind of question novel unique, quite has the instructive.This article mainly discusses [x] as well as the {x} nature, with [x] as well as {x} in mathematical analysis application, as well as [x] as well as {x} in mathematics competition application.
解 先来求 ，为此作421的如下估计：
，推出20是不超过 的最大整数，所以[ ]=20。
求 的方法还是要先估计，我们有
，
故
由于 是整数，上面的不等式表明 介于两个相继的整数 之间，所以[ ]= 。
注：此题是根据取整函数[x]的定义分别对相对简单及相对困难的函数进行取整运算
例题2求适合 -[ ]-2=0的一切实数
例题14，解方程
解：若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 原方程即为 ；解得： ；
若 ，则 ，原方程不成立；
所以，原方程的解为： 。
注：此题采用的是分区讨论法
例题15证明：若 是大于2的质数，则 被 整除。
证明：由二项式定理知：对于任意的 是一个整数，又因为
例题13解方程
解：由取整函数的性质，得： ，即 ，令 ，在同一坐标系中画出二者的图象：
分析两者在区间 内的图象，
显然，当 时，
而 ，方程不成立；当
时， ；当
时， ；当 时， 而 ，方程不成立。
综上所述，原方程的解是： 。
注：本例为 型方程。首先由 ，求出 的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用 和 的图象进行分析才能得到正确结果。
2、[x]以及{x}的定义[1]
2.1
函数 ，称为高斯函数，又称取整函数。
给定实数 ，我们可以对它进行一种特殊的运算—取整运算，即取出不超过 的最大整数部分，通常记为[ ]，[ ]满足下面的三个条件：
(1)[ ]是整数；(2) [ ] ; (3) < [ ]+1。
这就是说，整数[ ]不超过 ，而由（3）可知，大于[ ]的整数[ ]+1，[ ]+2，……都大于 ，即[ ]是不超过 的最大整数。
5.3
例题16 （极限问题）
注： ，称A为函数 当 趋于 时的极限，此题是含有取整函数的极限问题。
例题17设 ，求 与 。
解 当 时，
当 时， 。因此 ，有 ，所以 在 内连续。
又 ，所以 在整数点k也连续。
当 时，
当 时，
类似地有 。
注:设函数 在点 的某领域内有定义，若极限 存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处可导，此题是含有取整函数的求导问题。
5
下面来讨论取整函数[ ]以及{ }的应用及推广。
5.1
例题7证明[ ]+[2 ]+ +[ ] [( +1) ]
证 ：左边= ([ ]+[2 ]+ +[ ]+[ ]+ [( -1) +[ ])
[( +1) ]
注：此题 应用了性质
例题8从1到1000的整数中有多少个事11的倍数？有多少个是121的倍数？
当 时， ，于是 ，那么
，
当 时， ， 即 ，那么 。
所以命题成立，也就是： 。故：
又：
注：本例的证明采用了“两边夹”[6]法则。若 且 ，则 ，我们把这个结论叫做“两边夹”法则。
例题12，解方程
解：令 ，则 ，带入原方程整理得： ，由取整函数的定义有 ，解得： ，则 。
若 ，则 ；若 ，则 。
注：本例中方程为 [7]型的，通常运用取整函数的定义和性质并结合换元法求解。
数学提供了有特色的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、建立模型，应用这些思考方式能使人们批判的阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。
数学是思维的工具，数学的抽象性帮助为我们抓住事物的共性和本质，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，数学是思维的体操，它能增强思维的本领，提高抽象能力、逻辑能力和辩证思维能力。
， 于是有：
,其中 是质数。因为
都能被质数 整除，所以原命题成立。
注：本题采用的是构造法，所谓构造法就是通过建立结构或体系，构造对象或指出达到某种目的的方式和途径。
以上是解决取整函数的多种数学方法，不难看出取整函数为什么成为数学竞赛中的热点，关于取整函数的题型是多种多样的，而解决的方法也很多，在解决关于取整函数的题目的过程中可以很好的体现出学生对数学的综合运用，取整函数作为一个初等函数，它非常重要，它的应用也非常广，下面我们来对它进行推广，看看它在数学中在极限 导数 积分 级数的应用。
对于函数 ,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下取整函数 的图像的基本性质和特征。
(1)由 的性质知 的图形在 的图形的下方。
(2) 由 的性质知 的图像是一组阶高为1的平行于 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形。
可见函数 是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a)
(a)
定理5设 ，则 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b)。
注：此题是含有取整函数的级数问题， 。
以上就是关于[x]以及{x}的性质与应用，从中可以看出取整函数应用的广泛性，以及它在数学领域的重要性，从而也体现出了研究取整函数的价值。
6
通过以上对取整函数定义、性质以及应用的说明，我们可以用取整函数解决引言部分提出的手机收费问题。
解决这个问题时，需要分别建立两种手机网络通话费y与通话时间x之间的函数关系式，再根据每月的通话时间，比较两种函数值的大小来决定。
解：由于[1000/11]=90,而[1000/121]=8,
所以从1到1000的整数中，11的倍数有90个，121的倍数有8个。
注：此题是定理3的应用，若 >1,m N，则从1到 的整数中，m的倍数有[ /m]个。
5.2
下面是关于解决取整函数的多种数学方法的例题：
例题9[4]若实数 使得 ，求 。
证明：由于 是素数，所有 中所含 的次方数等于 的各个因数 所含 的次方数之总和。由定理3可知，在 中，有 个 的倍数，有 个 的倍数，有 个 的倍数， ，当 时， ，所以命题成立。
由定理4得出的推论 若p是大于n的任一个素数，则 的标准分解式为 = ，其中 n< ，k
4
下面来讨论取整函数（取整函数） 的图像及 的图像和性质。
关于[x]以及{x}的性质与应用
摘要：[ ]和{ }是非常重要的数论函数,其他许多数学分支都要涉及到，在国内外的数学竞赛中也经常出现含有[ ]和{ }的问题,这类问题新颖独特,颇具启发性。本文主要讨论[ ]以及{ }的性质，和[ ]以及{ }在数学中的应用，以及[ ]以及{ }在数学竞赛中的应用。
关键词：取整函数；小数函数；性质；应用；例题
3
由取整函数的定义可以得到以下性质
定理1设 ,我们有:
(1)
(2) 若 则
(3)
(4)
(5)
(6) 或
(7)
定理2若 ，m ，则[ ]=[ ]
例题4证明定理2
证 ：由[ ] <[ ]+1，
两边乘以 得 [ ] < （[ ]+1）
由于 [ ]， （[ ]+1）都是整数，于是 [ ] [ ]< （[ ]+1）,即[ ] <[ ]+1,所以[ ]=[ ]
=20(小时)=1200（分钟）
130手机通话费用y与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：
137、138、139手机通话费用y与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：
所以小明应该选择137、138、139收费方式的网络更合算。
7
数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。
- -2 -[ ]-2=0
- -2 0
( -2)( +1) 0
于是-1 2
当0 1时，[ ]=0代入原式，得 =2（不正确）；当1 <2时，[ ]=1，代入原式，得 =3（正确）；当 =2时，代入原式，得 =4（正确），所以 =3,4
注：此题是对取整函数[x]定义的应用
2.2
和 整数部分紧密相关的是其小数部分，记为{ },定义为{ } = -[ ],由[ ] <[ ]+1不难得知0 { }<1，反过来，若 =[ ],自然有{ }=0。这些简单的事实有时很有用处，对于给定的 ，要求出{ }，先求出[ ]就可以。
(b)
以上是取整函数[ ]以及{ }的一些基本性质，取整函数是非常重要的数学概念，它的定义域是连续的，值域却是离散的，取整函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用，在极限， 导数 ，积分 ，级数等方面都有应用，也是数学竞赛中的热点，在数学竞赛中主要考察的是学生解决有关取整函数的问题用到的多种数学思想方法[3]，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。
与[ ]之间适合 -1< [ ] <[ ]+1
例如：[6]=6,[3.2]=3，[ ]=1，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4。
对于较小的 ，我们不难求[ ]。但是对较大的 ，求[ ]的基本方法还是回到定义中去，即对 作适当的估计或变形。
例题1求 以及 的整数部分，这里的n为正整数。
例题3求所有的正数 ，使得其整数部分[ ]以及小数部分{ }满足关系 。
解：设[ ]=n,{ }=t,则n 0,0 t<1,由于 ={ }+[ ],所以
（1）
如果t=0，则由上式知n=0，从而x= =0,这不合要求。
现在设 ，则 ，但由（1）知 ，所以 ，即
再从0<t<1可见0<n<2
由于n是整数，所以n=1,由（1）得到 ，解得 ，因此，所求的正数 只有一个，即为1+ =
我们可以用取整函数解决这个问题，那什么是取整函数呢？
我们在学习数学的过程中，常常看到取整函数的身影，在离散数学、微积分、数学分析中都有取整函数的应用，纵观几年的数学竞赛，发现了取整函数也是数学竞赛的热点之一。然而含有取整函数的题目往往比较困难，要解决关于取整函数的问题我们就要好好了解取整函数，什么是取整函数，它有什么性质，它的应用有哪些。
定理3若 >1, N，则从1到 的整数中， 的倍数有[ / ]个
例题5证明定理3
证：由[ ] <[ ]+1，
两边乘以m得 [ ] x< （[ ]+1）
由此可见，从1到 的整数中， 的倍数是 ，2 ， ，[ ] ，它们共有[ / ]个。
定理4设 为任一素数，在 中含 的最高乘方次数记为 ，则有：
例题6[2]证明定理4
Key words：IntegerfunctionDecimal functionNatureApplicationSample question
1
某市电信局130手机与137、138、139手机有不同是收费方式。137、138、139手机的收费方式为：月租费50元，基本通话费0.40元/分钟，不足一分钟按一分钟计算。130手机的收费方式为：没有月租费，但是基本通话费为0.54元/分钟，不足一分钟也按一分钟计算。小明今购了一部手机，他每月通话的时间大约20小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？
解：等式左边共73项，且因 都小于1，则每一项为 或 ，注意到
，故必有 。进一步有： ，所以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：
注：此题采用了分类讨论法。
例题10[5]求 的值。
解：由题意得：对于任意的
由于
注：本题采用了分组凑整的思想
例题11对任意的 ，证明：
证明：首先证明 。令 ，则
例题18求积分 ( 为有限的自然数).（积分问题）
解 = =
=
利用以上ห้องสมุดไป่ตู้分的结果很容易得到 的积分,即
=
=
=
=
注： ，这个题是含取整函数的定积分问题，根据 也可以积分 。
例题19讨论 的收敛性（级数问题）
解 因为 ，发散，所以级数非绝对收敛。
当 时， 保持定号，所以有
其中 ，显然， 。
当k充分大时 单调递减且 时， ，所以有交错级数的莱布尼兹定理知 收敛，从而原始级数条件收敛。
Abstract：[x] and {x} are the extremely important arithmetical functions, other many mathematics branch all must involve, also frequently appears in the domestic and foreign mathematics competition includes [x] and the {x} question, this kind of question novel unique, quite has the instructive.This article mainly discusses [x] as well as the {x} nature, with [x] as well as {x} in mathematical analysis application, as well as [x] as well as {x} in mathematics competition application.
解 先来求 ，为此作421的如下估计：
，推出20是不超过 的最大整数，所以[ ]=20。
求 的方法还是要先估计，我们有
，
故
由于 是整数，上面的不等式表明 介于两个相继的整数 之间，所以[ ]= 。
注：此题是根据取整函数[x]的定义分别对相对简单及相对困难的函数进行取整运算
例题2求适合 -[ ]-2=0的一切实数
例题14，解方程
解：若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 ，原方程不成立；
若 ，则 原方程即为 ；解得： ；
若 ，则 ，原方程不成立；
所以，原方程的解为： 。
注：此题采用的是分区讨论法
例题15证明：若 是大于2的质数，则 被 整除。
证明：由二项式定理知：对于任意的 是一个整数，又因为
例题13解方程
解：由取整函数的性质，得： ，即 ，令 ，在同一坐标系中画出二者的图象：
分析两者在区间 内的图象，
显然，当 时，
而 ，方程不成立；当
时， ；当
时， ；当 时， 而 ，方程不成立。
综上所述，原方程的解是： 。
注：本例为 型方程。首先由 ，求出 的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用 和 的图象进行分析才能得到正确结果。
2、[x]以及{x}的定义[1]
2.1
函数 ，称为高斯函数，又称取整函数。
给定实数 ，我们可以对它进行一种特殊的运算—取整运算，即取出不超过 的最大整数部分，通常记为[ ]，[ ]满足下面的三个条件：
(1)[ ]是整数；(2) [ ] ; (3) < [ ]+1。
这就是说，整数[ ]不超过 ，而由（3）可知，大于[ ]的整数[ ]+1，[ ]+2，……都大于 ，即[ ]是不超过 的最大整数。
5.3
例题16 （极限问题）
注： ，称A为函数 当 趋于 时的极限，此题是含有取整函数的极限问题。
例题17设 ，求 与 。
解 当 时，
当 时， 。因此 ，有 ，所以 在 内连续。
又 ，所以 在整数点k也连续。
当 时，
当 时，
类似地有 。
注:设函数 在点 的某领域内有定义，若极限 存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处可导，此题是含有取整函数的求导问题。
5
下面来讨论取整函数[ ]以及{ }的应用及推广。
5.1
例题7证明[ ]+[2 ]+ +[ ] [( +1) ]
证 ：左边= ([ ]+[2 ]+ +[ ]+[ ]+ [( -1) +[ ])
[( +1) ]
注：此题 应用了性质
例题8从1到1000的整数中有多少个事11的倍数？有多少个是121的倍数？
当 时， ，于是 ，那么
，
当 时， ， 即 ，那么 。
所以命题成立，也就是： 。故：
又：
注：本例的证明采用了“两边夹”[6]法则。若 且 ，则 ，我们把这个结论叫做“两边夹”法则。
例题12，解方程
解：令 ，则 ，带入原方程整理得： ，由取整函数的定义有 ，解得： ，则 。
若 ，则 ；若 ，则 。
注：本例中方程为 [7]型的，通常运用取整函数的定义和性质并结合换元法求解。
数学提供了有特色的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、建立模型，应用这些思考方式能使人们批判的阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。
数学是思维的工具，数学的抽象性帮助为我们抓住事物的共性和本质，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，数学是思维的体操，它能增强思维的本领，提高抽象能力、逻辑能力和辩证思维能力。
， 于是有：
,其中 是质数。因为
都能被质数 整除，所以原命题成立。
注：本题采用的是构造法，所谓构造法就是通过建立结构或体系，构造对象或指出达到某种目的的方式和途径。
以上是解决取整函数的多种数学方法，不难看出取整函数为什么成为数学竞赛中的热点，关于取整函数的题型是多种多样的，而解决的方法也很多，在解决关于取整函数的题目的过程中可以很好的体现出学生对数学的综合运用，取整函数作为一个初等函数，它非常重要，它的应用也非常广，下面我们来对它进行推广，看看它在数学中在极限 导数 积分 级数的应用。
对于函数 ,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下取整函数 的图像的基本性质和特征。
(1)由 的性质知 的图形在 的图形的下方。
(2) 由 的性质知 的图像是一组阶高为1的平行于 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形。
可见函数 是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a)
(a)
定理5设 ，则 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b)。
注：此题是含有取整函数的级数问题， 。
以上就是关于[x]以及{x}的性质与应用，从中可以看出取整函数应用的广泛性，以及它在数学领域的重要性，从而也体现出了研究取整函数的价值。
6
通过以上对取整函数定义、性质以及应用的说明，我们可以用取整函数解决引言部分提出的手机收费问题。
解决这个问题时，需要分别建立两种手机网络通话费y与通话时间x之间的函数关系式，再根据每月的通话时间，比较两种函数值的大小来决定。
解：由于[1000/11]=90,而[1000/121]=8,
所以从1到1000的整数中，11的倍数有90个，121的倍数有8个。
注：此题是定理3的应用，若 >1,m N，则从1到 的整数中，m的倍数有[ /m]个。
5.2
下面是关于解决取整函数的多种数学方法的例题：
例题9[4]若实数 使得 ，求 。
证明：由于 是素数，所有 中所含 的次方数等于 的各个因数 所含 的次方数之总和。由定理3可知，在 中，有 个 的倍数，有 个 的倍数，有 个 的倍数， ，当 时， ，所以命题成立。
由定理4得出的推论 若p是大于n的任一个素数，则 的标准分解式为 = ，其中 n< ，k
4
下面来讨论取整函数（取整函数） 的图像及 的图像和性质。
关于[x]以及{x}的性质与应用
摘要：[ ]和{ }是非常重要的数论函数,其他许多数学分支都要涉及到，在国内外的数学竞赛中也经常出现含有[ ]和{ }的问题,这类问题新颖独特,颇具启发性。本文主要讨论[ ]以及{ }的性质，和[ ]以及{ }在数学中的应用，以及[ ]以及{ }在数学竞赛中的应用。
关键词：取整函数；小数函数；性质；应用；例题
3
由取整函数的定义可以得到以下性质
定理1设 ,我们有:
(1)
(2) 若 则
(3)
(4)
(5)
(6) 或
(7)
定理2若 ，m ，则[ ]=[ ]
例题4证明定理2
证 ：由[ ] <[ ]+1，
两边乘以 得 [ ] < （[ ]+1）
由于 [ ]， （[ ]+1）都是整数，于是 [ ] [ ]< （[ ]+1）,即[ ] <[ ]+1,所以[ ]=[ ]
=20(小时)=1200（分钟）
130手机通话费用y与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：
137、138、139手机通话费用y与通话时间 （分钟）之间的函数关系为：
所以小明应该选择137、138、139收费方式的网络更合算。
7
数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。