1.数理方程中典型方程和定解条件的推导
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数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
第一章三类典型方程和定解条件
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
u t 0 是已知。
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2) 2 t x y z
(1.4)
上式（1.4）称为齐次三维波动方程。
二、热传导方程
若函数u(x,t)关于t是可微的，关于x是二次 连续可微的，并满足：
2 u 2 u a (a为系数) 2 t x
(1.5)
aij ( x), bi ( x), c x , f ( x) 都只是 x1 , x2, 其中， 函数，与未知函数无关。
, xm 的已知
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
方程的导出、定解条件
2
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t ),
uxx uyy uzz f ( x, y, z, t ).
（2）非线性方程：
（a）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总 体来说是线性的方程。比如
ut buux uxxx ,
ut uxx f (u).
t
x x
x
[ utt ( x, t ) Tuxx ( x, t ) F ( x, t )]dxdt 0.
表示单位质量在每点处所受的外力
仍有 x, t 的任意性，知
utt auxx ( x, t ) f ( x, t ) : F ( x, t ) / .
进一步推广到高维情况：
*目标函数： 弦上质点相对于平衡位置的位移图
OL l
x
L
*物理守恒律（转化方程等式）：
牛顿第二定律：F ma.
或冲量定理：F t p mv.
教材采用
下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：
u
O
t 时刻示意图
OL l
x
x x x
*初始条件：设弦在初始时刻 t 0 时的位置和速度为
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x l ).
*边界条件（注意该提法的物理背景）： （a）第一类边界条件（狄利克雷边界条件）: 在前面的推导中，弦的两端被固定在 x 0 和 x l 两点，即 u(0, t ) u(l , t ) 0. （b）第二类边界条件（诺伊曼边界条件）: 设弦的一端 x 0 处于自由状态，即可以在垂直于 x 轴 的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在 边界右端的张力的垂直方向分量是 Tu x ，于是边界处应 有 ux x0 0 也可考虑更一般非零情况。
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t ),
uxx uyy uzz f ( x, y, z, t ).
（2）非线性方程：
（a）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总 体来说是线性的方程。比如
ut buux uxxx ,
ut uxx f (u).
t
x x
x
[ utt ( x, t ) Tuxx ( x, t ) F ( x, t )]dxdt 0.
表示单位质量在每点处所受的外力
仍有 x, t 的任意性，知
utt auxx ( x, t ) f ( x, t ) : F ( x, t ) / .
进一步推广到高维情况：
*目标函数： 弦上质点相对于平衡位置的位移图
OL l
x
L
*物理守恒律（转化方程等式）：
牛顿第二定律：F ma.
或冲量定理：F t p mv.
教材采用
下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：
u
O
t 时刻示意图
OL l
x
x x x
*初始条件：设弦在初始时刻 t 0 时的位置和速度为
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x l ).
*边界条件（注意该提法的物理背景）： （a）第一类边界条件（狄利克雷边界条件）: 在前面的推导中，弦的两端被固定在 x 0 和 x l 两点，即 u(0, t ) u(l , t ) 0. （b）第二类边界条件（诺伊曼边界条件）: 设弦的一端 x 0 处于自由状态，即可以在垂直于 x 轴 的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在 边界右端的张力的垂直方向分量是 Tu x ，于是边界处应 有 ux x0 0 也可考虑更一般非零情况。
数理方程第一章定解问题liu婧-1
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
数理方程：第2讲典型方程的定解条件
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)Байду номын сангаас
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
第一章 典型方程与定解条件
高斯公式
t2
S
n
S
M
V
热场
kux ku y kuz dV dt x y z t1 V
第一章 典型方程和定解条件的推导
[t1 ,, t2并且 ]中物体 流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 由于时间 t1 , t 2 和区域 V 都是任意选取的 u( x , y, z , t 2 ) 所需吸收热量为 u( x , y, z , t1 ) 温度从 被积函数连续 , 变化到 于是得
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴 的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂 直外力作用后的运动状态。 u
王元明. 数学物理方程与特殊函数（第四版）. 等教育出版社，2012。
高
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
方程的导出和定解问题 行波法 分离变量法 数学物理方程 基本解法 积分变换法 Green函数法 差分法
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
u
F
M
N
ds
M'
T
'
T
gds
其中 f ( x , t )
F ( x, t )
称为自由项.
t2
S
n
S
M
V
热场
kux ku y kuz dV dt x y z t1 V
第一章 典型方程和定解条件的推导
[t1 ,, t2并且 ]中物体 流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 由于时间 t1 , t 2 和区域 V 都是任意选取的 u( x , y, z , t 2 ) 所需吸收热量为 u( x , y, z , t1 ) 温度从 被积函数连续 , 变化到 于是得
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴 的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂 直外力作用后的运动状态。 u
王元明. 数学物理方程与特殊函数（第四版）. 等教育出版社，2012。
高
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
方程的导出和定解问题 行波法 分离变量法 数学物理方程 基本解法 积分变换法 Green函数法 差分法
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
u
F
M
N
ds
M'
T
'
T
gds
其中 f ( x , t )
F ( x, t )
称为自由项.
数理方程部分 第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1 波动方程及其定解条件
2）自由端点，即这个端点不受位移方向的外力 （即自由端点的定义），从而这个端点弦在位移 方向的张力为零（导出的结论），由前面的推 导可知边界条件满足： 2
T sin F u x 0
xa
u t 2
( 0, F 0) T
u x
2u [( q y ) y (q y ) y dy ]xzt k 2 xyzt. y
△t时间内沿z方向流入六面体的热量
2u [( qz ) z (qz ) z dz ]yxt k 2 xyzt. x
u k 2 u 0. t c
1.2 热传导方程及其定解条件
如果六面体没有其他热量来源，根据热量守恒定律，净流入
的热量等于介质在此时间内温度升高所需热量，
2u 2u 2u k ( 2 2 2 )xyzt xyz c u x y z
3）整理化简得方程
u k 2 u 0. t c
1）在介质内部隔离出一平行六面体（见图1.3），六个面 都和坐标面重合。
图1.3
[( q y ) y (q y ) y dy ]xzt [( k
1.2 热传导方程及其定解条件
2）分析建立等式
u u 2u ) y dy (k ) y ]xzt k 2 xyzt. y y y
2 0, cos1 1, cos 2 1,
tan 1
u sin 1 tan 1 , 2 x x 1 tan 1 u sin 2 tan 2 2 x 1 tan 2 tan 2 ,
x dx
1.1 波动方程及其定解条件
则方程可以写成
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
第1讲_数学物理方程的导出和定解条件(2015)
2u 2u 2u k 2 2 2 xyzt xyz c u x y z
F (x,y,z,t)
（14）
2u 2u 2u k 2 2 2 xyzt F ( x, y, z, t )xyzt xyz c u （17） x y z
4、小结:
物理上：
反映波动过程的波动方程 反映扩散过程的热传导方程 反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程 波动方程，在数学上属于双曲型方程 热传导方程，在数学上属于抛物型方程 Poisson方程和Laplace方程，在数学上属于椭圆型方 程
数学上：
泛定方程
例题
t
T2 2
弦中任意一小段 dx 在振动过程中
的受力情况为： 纵向（水平方向）：
1 T1
o x
x dx
T2 cos 2 T1 cos 1
横向（竖直方向）：
x
u T2 sin 2 T1 sin 1 b dx t x ~ x dx
∵弦在作横振动，∴由牛顿第二定律有
边界条件续：
当 f＝0 时的边界条件称为齐次的。前面的三类 边界条 件分别为第一、第二、第三类齐次边界 条件。 边界条件的个数：
与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量 偏导数的阶数。
边界条件的关键点：
只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整 个系统
§1.2 热传导方程与定解条件
三角函数系的正交性三角函数系的正交性1三角函数系kxkx上的积分等于零任意两个不同函数在正交cossinnxdxkx其中iiisinsinnxdxkxcoscosnxdxkx其中傅里叶系数sincos若有dxkxsincoscossincoscoskxdxnxkxdxnxsincos若有可得sinsinsincoskxdxnxkxdxnxsincos若有从而得到傅里叶系数把以上得到的系数代入三角级数该级数称为傅里叶级数sincos正弦级数和余弦级数一般说来一个函数的傅里叶级数既含有正弦项又含有余弦项
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又如： u( x dx, t ) u( x , t ) u( x , t )
u( x , t d t ) u( x , t ) u( x , t )
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
4、整理化简
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
u
T’
ds
M
M'
'
T
o N x
ds. g
N’ x+dx X
导数 — —如果差商
y 的极限 x
lim
1
导数
y f ( x1 ) f ( x ) lim x 0 x x x x1 x
u( x dx, t ) u( x , t ) T dx ut t x x
上式右边方括号内，实 际上 表示函数的增量，于是 有
u( x dx, t ) u( x, t ) u x x
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
ds dx，即长度 ds 在振动过程中不随时间 而变，所以张力不随时 间而变。
总之，张力既与x 无关，又与t 无关，它在振动过程中 是一个常数。
微分算子 d 增量 改变量
例如: d x 2 2 x dx
dy 存在，这个极限就称为 函数 f ( x ) 在 x 点的导数，记作 ，或 y x . dx
马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃” 是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy 和分母Δx 都 被扬弃了，就是说，它们都消失为 0 ，从而有限大小的 Δx 和 Δy 都被克服，差商
a ux x ut t
2
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著
T
u dx dx ut t x x
T u u 2 2 x t
2 2
上式右边方括号内的分 子，它表示 自变量 x 产生了dx 的变化，而引起 对应的函数值从 u( x , t ) 到 u( x dx, t )
令
T
a
2
，于是有：
的改变量，不妨用微分u 代替。
j 2 j 2 j RGj ( LG RC ) LC 2 0 t t x2
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v 2v 2v RGv ( LG RC ) LC 2 2 0 t t x
参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。
tg
u x
x dx
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1)
(2)
T sin T sin ds g ds ut t
于是（1）式变为： ①对于小振动：
0 ; 0
cos 1 ; cos 1
i ( i di ) Cdx v Gdx v t
P 5 (1.5)
”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+ - v ( x, t )
Ldx
i( x, t )
P
＋ ● －
i +di
C L
Cdx
●
Gdx C
– v dv
L
duC iC C dt
x
图 1 2
sin tg 1 tg 2
tg 1 tg 2
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(ut t g)
u x
u x
x
tg
T
x dx
u x
x dx
T
u x
x
ds( ut t g )
sin
三. 电磁场方程的建立
四. 热传导方程的建立 五. 举例
数学物理方程的建立： 从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、 热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其 整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。
适用范围： 这是从事科学研究的基本 方法与路径。
——
―一语道破！”
物理学中对应微分方程 建立的基本原则 ——
x
x dx
i ( x, t )
Rdx
Ldx
P
●
i di
Gdx
v ( x.t )
Cdx
●
v dv
x
x dx
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
电感元件：
di L uL L dt
u T( x
x dx
u x ) dx ut t x
左边方括号内的表述形 式， 依据微分性质，可以写 成
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) x x x
上式实际上可以明确表示为：
y
将物理学中的矢量方程 ，分别向坐标轴投影。
F ma mr
d2y m 2 Fy m y dt
0
Fx
F d2x m m x
d t2
d2y m 2 Fy m y dt
m
d2x m 2 Fx m x dt
x
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
x dx
di u L dt
L
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
j
v
j dj
v dv
d v R dx j L dx
d j G dx v
x
(Cdx v ) t
j t
流入 由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
(1.4)
流出
i ( x, t ) (C d x )
v v i (v d x ) (G d x )(v d x ) i ( x, t ) d x t x x x
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
① 对于小振动：
0 ; 0
dL uL dt L Li uL L i di dt
1 udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流
i
作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？ “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即
本课程将集中解决两个 问题
一、如何建立偏微分方 程
二、如何求解偏微分方 程
数学物理方程与特殊函数
数学物理方法
思路 第一章
一些典型方程和定解条件的推导
Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions
提要：
一. 均匀弦的横振动方程的建立 二. 传输线方程(电报方程)的建立
y 0 变成了 x 0
但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。 我们记扬弃了的（或消失了的）
x d x
那末，导数就是
y d y
dy f ( x ) , 或 是 dy f ( x )dx dx
导数
——从运动的观点看导数的定义
―只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅 表明状态，并且也表明过程：运动。”
tg
ut t g ， 将 g 略去，上式变为 ②一般说来，
T u x
x dx
T
u x
x
ds ut t
T(
u x
x dx
u x ) d x ut t x
T T
T( u x
x dx
u x ) d x ut t x
－
–
i dx x L
v dx x
x
v G dx v dx x
C
v
duC iC C dt
x 定律:
U R U L v (v
u( x , t d t ) u( x , t ) u( x , t )
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
4、整理化简
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
u
T’
ds
M
M'
'
T
o N x
ds. g
N’ x+dx X
导数 — —如果差商
y 的极限 x
lim
1
导数
y f ( x1 ) f ( x ) lim x 0 x x x x1 x
u( x dx, t ) u( x , t ) T dx ut t x x
上式右边方括号内，实 际上 表示函数的增量，于是 有
u( x dx, t ) u( x, t ) u x x
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
ds dx，即长度 ds 在振动过程中不随时间 而变，所以张力不随时 间而变。
总之，张力既与x 无关，又与t 无关，它在振动过程中 是一个常数。
微分算子 d 增量 改变量
例如: d x 2 2 x dx
dy 存在，这个极限就称为 函数 f ( x ) 在 x 点的导数，记作 ，或 y x . dx
马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃” 是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy 和分母Δx 都 被扬弃了，就是说，它们都消失为 0 ，从而有限大小的 Δx 和 Δy 都被克服，差商
a ux x ut t
2
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著
T
u dx dx ut t x x
T u u 2 2 x t
2 2
上式右边方括号内的分 子，它表示 自变量 x 产生了dx 的变化，而引起 对应的函数值从 u( x , t ) 到 u( x dx, t )
令
T
a
2
，于是有：
的改变量，不妨用微分u 代替。
j 2 j 2 j RGj ( LG RC ) LC 2 0 t t x2
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v 2v 2v RGv ( LG RC ) LC 2 2 0 t t x
参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。
tg
u x
x dx
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1)
(2)
T sin T sin ds g ds ut t
于是（1）式变为： ①对于小振动：
0 ; 0
cos 1 ; cos 1
i ( i di ) Cdx v Gdx v t
P 5 (1.5)
”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+ - v ( x, t )
Ldx
i( x, t )
P
＋ ● －
i +di
C L
Cdx
●
Gdx C
– v dv
L
duC iC C dt
x
图 1 2
sin tg 1 tg 2
tg 1 tg 2
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(ut t g)
u x
u x
x
tg
T
x dx
u x
x dx
T
u x
x
ds( ut t g )
sin
三. 电磁场方程的建立
四. 热传导方程的建立 五. 举例
数学物理方程的建立： 从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、 热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其 整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。
适用范围： 这是从事科学研究的基本 方法与路径。
——
―一语道破！”
物理学中对应微分方程 建立的基本原则 ——
x
x dx
i ( x, t )
Rdx
Ldx
P
●
i di
Gdx
v ( x.t )
Cdx
●
v dv
x
x dx
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
电感元件：
di L uL L dt
u T( x
x dx
u x ) dx ut t x
左边方括号内的表述形 式， 依据微分性质，可以写 成
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) x x x
上式实际上可以明确表示为：
y
将物理学中的矢量方程 ，分别向坐标轴投影。
F ma mr
d2y m 2 Fy m y dt
0
Fx
F d2x m m x
d t2
d2y m 2 Fy m y dt
m
d2x m 2 Fx m x dt
x
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
x dx
di u L dt
L
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
j
v
j dj
v dv
d v R dx j L dx
d j G dx v
x
(Cdx v ) t
j t
流入 由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
(1.4)
流出
i ( x, t ) (C d x )
v v i (v d x ) (G d x )(v d x ) i ( x, t ) d x t x x x
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
① 对于小振动：
0 ; 0
dL uL dt L Li uL L i di dt
1 udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流
i
作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？ “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即
本课程将集中解决两个 问题
一、如何建立偏微分方 程
二、如何求解偏微分方 程
数学物理方程与特殊函数
数学物理方法
思路 第一章
一些典型方程和定解条件的推导
Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions
提要：
一. 均匀弦的横振动方程的建立 二. 传输线方程(电报方程)的建立
y 0 变成了 x 0
但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。 我们记扬弃了的（或消失了的）
x d x
那末，导数就是
y d y
dy f ( x ) , 或 是 dy f ( x )dx dx
导数
——从运动的观点看导数的定义
―只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅 表明状态，并且也表明过程：运动。”
tg
ut t g ， 将 g 略去，上式变为 ②一般说来，
T u x
x dx
T
u x
x
ds ut t
T(
u x
x dx
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T T
T( u x
x dx
u x ) d x ut t x
－
–
i dx x L
v dx x
x
v G dx v dx x
C
v
duC iC C dt
x 定律:
U R U L v (v