关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题

关于高考数学中的恒成

立问题与存在性问题 Last revised by LE LE in 2021

“恒成立问题”的解法

常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。 一、函数性质法

1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函

数的图象（直线）可得上述结论等价于⎩

⎨⎧

>)(0

)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()

0f x <，则有

⎩⎨

⎧((n f m f 例1.p ,求使不等式2x x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于

0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0

10

3422

x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.

2.二次函数：

①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00

a >⎧⎨∆<⎩（或0

a <⎧⎨

∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少

有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )

A ．(0，2)

B ．(0，8)

C ．(2，8)

D ．(－∞，0)

选B 。

例3.设2

()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2

()()22F x f x a x ax a =-=-+-，

（1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ∆=-+>时，由图可得以下充要条件：0(1)021,

2

f a

⎧⎪∆>⎪-≥⎨

⎪-⎪-≤-⎩ 即(1)(2)0

301,a a a a -+>⎧⎪

+≥⎨⎪≤-⎩ 32a ⇒-≤<-; 。 例4.关于x 的方程9(4)340x x

a +++=恒有解，求a 的范围。

解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。

1212

(4)040

x x a x x ∆≥⎧⎪

∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-.

3.其它函数：

()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界

≥0）；

()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界≤0）.

例5．设函数321

()(1)4243

f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。

解：（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3

1)2(23+⋅++-=a a a 24434

23++-=；a f 24)0(=

则由题意得⎪⎩

⎪

⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1

f a f a 即1,4(3)(6)03240.

a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩16a ⇒<< ∴(1,6)a ∈。

二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分

离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例6．已知函数323

()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．

（1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，

都成立，求实数x 的取值范围． 解：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，

都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，

都成立。设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。

220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。 所以对

∀(0)a ∈+∞，

，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立时参数

λ的取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，求得λ的取值范围。 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例7．当(1,2)x ∈时，240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

解: 当(1,2)x ∈时，由2

40x mx ++<得24x m x +<-.令244

()x f x x x x

+=

=+，则易知()f x 在(1,2) 上是减函数，所以4()5f x <<，所以24

5x x

+->-，∴5m ≤-. 例8.已知x R ∈

时，不等式cos 254sin a x x +<-a 的取值范围。

解：原不等式即为：214sin 2sin 5x x a +-<-45-a -a+5

大于214sin 2sin x x +-的最大值，因为214sin 2sin 3x x +-≤，

∴53a ->

2a >+2

20

54054(2)a a a a ⎧-≥⎪

⇔-≥⎨

⎪->-⎩

或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 四、数形结合（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例9．若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a

(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥

选

B 。

例10.当|(1,2)x ∈)时， 2(1)log a x x -<恒成立，求a 答案：12a <≤.

例11.已知关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一解，

求实数a 的取值范围。

解：原问题即为：方程2208630x x x a +=-->有唯一解。

令2120y x x =+，2863y x a =--,则如图所示，要使1y 和2y 在x 轴上有

唯一交点，则直线必须位于1l 和2l 之间。（包括1l 但不包括2l )。

当直线为1l 时，1636a =-

;当直线为2l 时，1

2

a =-，