圆 优秀教学设计(教案)

圆

【教学目标】

1．知识与技能：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动

发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力，利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度及方法。

【教学重点】

圆心角、弧、弦之间关系定理。

【教学难点】

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。【教学设计】

一、预习检测

1．______________________________________________________是中心对称图形，对称中心是_______________________。

2．圆是________________，它的对称中心是________________。

3．已知：如图，AB．CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB．CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：。

　（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；

　（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；

　（3）如果= ，那么______，______，______；

　（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______。

（目的：巩固基础知识）

4． 90°的圆心角所对的弧的度数为_____________。

度数为60°的弧所对的圆心角的度数为_____________。

二、讲授新课

同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？

（大小一样。）

现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定。 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？

通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称图形。对称中心为圆心。

尝试与交流。

按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下。

2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定。注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合。

3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合。

教师叙述步骤，同学们一起动手操作。

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由。

（结论可能有：

1．由已知条件可知∠AOB=∠A ′O ′B ′。

2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O ′B ′A ′=∠OAB 和∠O ′A ′B ′。

3．由△AOB ≌△A ′O ′B ′可得到AB ＝A ′B ′。

4

．由旋转法可知ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。）刚才到的ＡＢ＝Ａ′Ｂ′理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法。我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，A

A'

由于∠AOB=∠A′O′B′。这样便得到半径OB与O′B′重合。因为点A和点A′重合，点B 和点B′重合，所以AB和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′。

在上述操作过程中，你会得出什么结论？

在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

上面的结论，在同圆中也成立。于是得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提。否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论。

(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图。

如下图示。虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′

ＡＢ≠Ａ′Ｂ′，

下面我们共同想一想。

在同圆或等圆中

弧相等

相等的圆心角弦相等

如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中。如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：

(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

（2）此定理中的“弧”一般指劣弧。

（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义。否则易错用此关系。

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分。如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等。

探索圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系

探索圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

例题讲解

通过例题教学巩固所学的定理

拓展延伸

如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A．B和C．D，求证：AB=CD．

拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）

三、课时小结

通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)

利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理

【作业布置】