高中数学平面向量知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结
在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 .我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 ,其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标.
（2）若 ， ，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
2、两个向量平行的充要条件
向量共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
∥ ＝
3、两个向量垂直的充要条件
设 ， ，则
4、平面内两点间的距离公式
（1）设 ，则 或
（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A 、B ，那么 (平面内两点间的距离公式)
5、两向量夹角的余弦（ ）cos=
9、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ，方 向是任意的
10、两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积（或内积） 规定
11、向量的投影
附：三角形的四个“心”
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
非零向量 与 有关系是： 是 方向上的单位向量
注意：（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到
（3） 不能得到 或
乘法公式成立：
6、线段的定比分点公式:设点 分有向线段 所成的比为 ，即 ＝ ，则
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC u u u r u u u r ，∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r，因此，AB DC u u u r u u u r．③ 正确．∵ a r =b r ，∴ a r ，b r的长度相等且方向相同；又b r ＝c r ，∴ b r ，c r的长度相等且方向相同，∴ a r ，c r 的长度相等且方向相同，故a r ＝c r ．④ 不正确．当a r //b r 且方向相反时，即使|a r |=|b r |，也不能得到a r =b r，故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b r =0r这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k解：∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得：c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有22a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
高中数学《平面向量》知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
高中数学平面向量知识点总结
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
4.强调几个问题： 1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2知三求一 3当夹角为 90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
λ =0
P 与 P2 重合
λ 不存在
2 中点公式是定比分点公式的特例
3
始点终点很重要，如 P 分 P1P2 的定比λ
=1 2
4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
十．平面向量的数量积及运算律
则 P 分 P2 P1 的定比λ =2
（一）平面向量数量积
1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos，
坐标。
4．实数与向量积的坐标运算：已知
a
=(x,
y)
实数λ
则λ
a
=λ
(x i +y j )=λ
x i +λ
yj
∴λ
a
=(λ
x,
λ
y)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八．向量平行的坐标表示
结论：
a
∥
b
( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
特别的 aa = |a|2 或| a | a a
4cos = a b | a || b |
5|ab| ≤ |a||b| 十一. 平面向量的数量积的运算律
1. 交换律：a b = b a 2. 结合律：( a)b = (ab) = a( b) 3. 分配律：(a + b)c = ac + bc 十二. 平面向量的数量积的坐标表示 1.设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则：ii = 1， jj = 1，ij = ji = 0 2.ab = x1x2 + y1y2 3.长度、角度、垂直的坐标表示
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高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
平面向量知识点归纳总结图
平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。
平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。
1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。
1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。
三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。
4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。
(2) 垂直若，则它们垂直。
4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。
五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。
5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。
（2）判断垂直若，则垂直。
（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。
六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。
高中数学平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳1、向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向。
有向线段的三要素是起点、方向和长度。
零向量是长度为0的向量，单位向量是长度为1的向量。
平行向量是方向相同或相反的非零向量，零向量与任何向量平行，相等向量是长度相等且方向相同的向量。
2、向量加法有三种运算法则：三角形法则，平行四边形法则和三角形不等式。
三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。
三角形不等式是a-b≤a+b≤a+b。
向量加法的运算性质包括交换律、结合律和a+0=a。
坐标运算中，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3、向量减法有两种运算法则：三角形法则和坐标运算。
三角形法则的特点是共起点，连终点，方向指向被减向量。
坐标运算中，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
设A和B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2)。
4、向量数乘是实数与向量的积，记作λa。
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.向量数乘的运算律包括分配律、结合律和数乘1的性质。
坐标运算中，设a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
5、向量共线定理：向量a和b不共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且b≠0，则当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a和b共线。
6、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底。
7、分点坐标公式：设点R是线段R1R2上的一点，R1、R2的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，则R的坐标为[(x2-x1)×(R-R1)的长度/R1R2的长度 + x1.(y2-y1)×(R- R1)的长度/R1R2的长度 + y1]。
高中数学知识点总结： 第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP baCBAa b C C -=A -A B=B时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
向量知识点总结公式高中
向量知识点总结公式高中一、向量的定义向量是具有大小和方向的有序组，可以用箭头表示，表示为a→。
向量有两种表示方法，一种是点表示法，将向量的起点放在坐标原点上，由坐标对(x,y)来确定向量的终点，另一种是分量表示法，将向量的起点放在坐标原点上，向量的终点为(x,y)，则向量a→=(a1,a2)，其中a1为横坐标，a2为纵坐标。
二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法符合三角形法则，即若有三个向量a→，b→和c→，则a→+b→=c→，其中c→为以a→和b→为两条边的三角形的第三条边的向量。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a→-b→=a→+(-b→)=c→，其中-c→为向量b→的反向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
若有向量a→和实数k，则ka→=b→，其中b→的大小为ka的绝对值，方向与a→一致。
4. 基本运算规律：(1) 结合律：a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→；(2) 交换律：a→+b→=b→+a→；(3) 数乘结合律：k(la→)=(kl)a→；(4) 分配律：k(a→+b→)=ka→+kb→。
三、向量的数量积向量的数量积，又叫点积或内积，是数学中的一种运算。
已知有向量a→=（a1，a2）和向量b→=（b1，b2），则a→·b→=a1b1+a2b2，其中a1b1和a2b2分别为向量a→和b→的横坐标和纵坐标乘积之和。
数量积的几何意义是向量a→在向量b→上的投影的长度乘以向量b→的模的长度，即a→·b→=|a→|·|b→|·cosθ，其中θ为向量a→和b→之间的夹角。
数量积还有以下几个重要的性质：1. a→·b→=b→·a→2. (ka→)·b→=k(a→·b→)=a→·(kb→)3. a→·a→=|a→|^24. a→是b→的倍数当且仅当a→·b→=|a→|·|b→|四、向量的叉积向量的叉积，又称外积或向量积，是将两个向量相乘得到一个新的向量的一种向量运算。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。
向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。
平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。
一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。
平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。
二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。
记作→AB+→BC=→AC。
向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。
记作→AB-→AC=→CB。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。
记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
记作→a×→b，其中a、b是两个向量。
五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。
2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。
3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。
六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。
投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。
记作pr→a。
2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。
单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学平面向量的公式主要涉及向量的运算和向量的性质，主要的知识点总结如下：1. 向量的加法和减法：- 向量的加法和减法满足交换律和结合律。
- 向量相加的结果可以表示成三角形法则或平行四边形法则。
2. 数乘：- 向量与实数的乘积称为数乘，数乘可以改变向量的大小和方向，满足分配律和结合律。
3. 内积：- 内积也称点积或数量积，表示两个向量的乘积的数量。
- 内积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角。
4. 外积：- 外积也称叉积或矢量积，表示两个向量的乘积的向量。
- 外积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A×B表示向量A与向量B的外积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位向量。
5. 模长和单位向量：- 向量的模长表示向量的长度，记作|A|。
- 单位向量是模长为1的向量，可以通过向量除以模长得到。
6. 平行和垂直：- 如果两个向量的夹角为0或180度，则称它们为平行向量。
- 如果向量A与向量B的内积为0，则称它们为垂直向量。
7. 向量投影：- 向量A在向量B上的投影被定义为一个向量，它的方向与向量B相同，长度为A 在B上的投影长度。
8. 向量共线：- 如果两个向量可以表示为一个非零实数乘以另一个向量，则称它们为共线的。
这些是高中数学平面向量的主要知识点和公式，掌握这些知识点可以更好地理解和运用向量的概念和性质。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义和表示
平面向量是具有大小和方向的有向线段，用箭头表示，大小用模表示。
向量可以用有序数组表示，也可以用点的坐标差表示。
2. 平面向量的加法
平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
3. 平面向量的数量积
平面向量的数量积又称点积，计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后相加。
4. 平面向量的垂直和平行性
两个非零向量垂直的条件是它们的数量积为零。
两个非零向量平行的条件是它们的差向量为零向量或其坐标成比例。
5. 平面向量的模和单位向量
平面向量的模即向量的长度，可以用勾股定理求得。
单位向量是模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
6. 平面向量的夹角
两个非零向量的夹角可以通过将它们的数量积除以它们的模的乘积来求得。
7. 平面向量的投影
向量的投影是指向量在某个方向上的投影长度。
向量在某个方向上的投影长度可以用向量在该方向上的单位向量乘以该方向的向量的数量得到。
8. 平面向量的质点和质心
n个向量的质点是它们的和向量，即各个向量对应分量相加得到的新向量。
n个向量的质心是它们坐标的算术平均值。
9. 平面向量的模长和方向角
平面向量的模长可以用勾股定理求得。
平面向量的方向角可以通过将向量的坐标差除以模长得到。
10. 平面向量的位置关系
两个向量相等的条件是它们的对应分量相等。
两个向量相反的条件是它们的坐标差相等。
以上是高中数学平面向量的重要知识点归纳总结。
希望能对你的学习有所帮助。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学中，关于平面向量的公式有很多。
以下是一些常见的知识点总结：1. 平面向量的表示：- 平面向量可以用坐标表示，即一个有序数对（a，b），其中a和b称为向量的横纵坐标。
- 平面向量也可以用有向线段表示，即在平面上用一条有方向的线段来表示向量，线段的起点为向量的始点，终点为向量的终点。
2. 向量的加法和减法：- 平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的始点相接，以它们的终点为对角线的平行四边形的对角线。
- 向量的减法可以看作是加上负向量，即将减法转化为加法。
3. 数乘：- 平面向量与一个实数或标量相乘，相当于将向量的长度（模）乘以这个实数，并改变向量的方向，若实数为负数，则改变向量的方向。
4. 向量的数量积（内积）：- 向量的数量积是一个标量，表示为向量的点乘，也可以称为内积。
- 内积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中a与b分别为两个向量，|a|和|b|为它们的长度（模），θ为它们之间的夹角。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 向量的向量积是一个向量，表示为向量的叉乘，也可以称为外积。
- 外积的计算公式：a×b = |a||b|sinθn，其中a与b分别为两个向量，|a|和|b|为它们的长度（模），θ为它们之间的夹角，n为垂直于它们所在平面的单位法向量。
6. 向量的共线和垂直：- 两个向量共线的条件是它们的夹角为0度或180度，也就是它们的数量积等于0或它们的向量积等于0。
- 两个向量垂直的条件是它们的夹角为90度，也就是它们的数量积等于0。
这些是高中数学中关于平面向量的一些常见的公式和知识点。
还有一些额外的知识点如向量在坐标系中的投影、单位向量、平面向量的判定式等，这些知识点会在更进一步的数学学习中涉及到。
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0Bb O θa数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
高中向量知识点总结
高中向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量：具有大小和方向的量，可以表示空间中的位移、速度等。
2. 向量的表示：用带箭头的线段表示，箭头方向表示向量的方向，线段长度表示向量的大小。
3. 向量的分类：有序实数对、有序三元组、复数向量等。
二、向量的运算1. 加法：两个向量相加，结果向量的模长等于原向量模长的和，方向与两个原向量相同。
2. 减法：两个向量相减，结果向量的模长等于原向量模长的差，方向与被减向量相同。
3. 数乘：向量与实数的乘积，结果向量的模长等于原向量的模长乘以实数的绝对值，方向与原向量相同。
4. 向量与向量的数量积：两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
5. 向量的几何意义：向量的模长表示向量的大小，向量的方向表示夹角。
三、平面向量1. 平面向量的基本概念：平面上的向量，包括有序实数对和有序三元组。
2. 平面向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。
3. 平面向量的应用：几何、物理、计算机图形学等领域。
四、空间向量1. 空间向量的基本概念：空间中的向量，包括有序实数对、有序三元组和复数向量。
2. 空间向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。
3. 空间向量的应用：几何、物理、计算机图形学、机器人等领域。
五、向量与解析几何1. 解析几何中的向量：用于表示点、线、面的位置和方向。
2. 向量在解析几何中的应用：求解直线、圆、椭圆等几何图形的方程。
3. 解析几何中的向量运算：向量加法、向量数乘、向量夹角、向量模长等。
六、向量与概率1. 随机向量：具有随机性和方向性的向量。
2. 概率向量：用于表示随机变量，包括离散型和连续型随机变量。
3. 向量在概率中的应用：用于表示多元随机变量、边缘分布、条件概率等。
七、向量与其他数学领域1. 向量与线性代数：向量空间、线性变换、矩阵与向量的关系等。
2. 向量与微积分：求解微分方程、积分方程等。
3. 向量与计算机科学：图形学、计算几何、机器人等。
以上为高中向量知识点总结，实际学习过程中还需注重实践操作、实验技能的培养以及解决实际问题的能力。
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平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。
一．向量的概念：1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。
2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：AB 可表示为a3.模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。
记作：|AB | 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量： 1零向量——长度（模）为0的向量，记作0。
0的方向是任意的。
注意0与0的区别 2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
二．向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a =b 规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
三．向量的加法：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
a bc注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调：1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到n 个向量连加3a a a =+=+004不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则3.加法的交换律和平行四边形法则 1向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2向量加法的交换律：a +b =b +a3向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。
四．向量的减法：1.用“相反向量”定义向量的减法1“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a =b , b = a , a + b = 0a +b AA ABBBCCC a +b a +b aabbbaa3向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：ab = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作ab3.向量减法做图：AB 表示ab 。
强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1|λa |=|λ||a |2λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③3.向量共线充要条件：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 注意几个问题：1 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2 这个定理也叫共面向量定理3λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量第二部分：向量的坐标运算 七．向量的坐标表示与坐标运算1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a=x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a的坐标 2．注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的； 2设A(x 1, y 1) B(x 2, y 2) 则AB =(x 2x 1, y 2y 1) 3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y) 实数λ 则λa=λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa=(λx, λy)结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八．向量平行的坐标表示结论：a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0注意：1消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b∴x 2, y 2中至少有一个不为0 2充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 3从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221=-=⇔y x y x ba λ九．线段的定比分点：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0(-1<λ<0)2.定比分点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 3．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+=4．注意几个问题： 1λ是关键，λ>0内分PPP222PPPλ<0外分λ-1 若P 与P 1重合， λ=0 P 与P 2重合 λ不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例 3 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 4公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一十．平面向量的数量积及运算律（一）平面向量数量积1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a ||b |cos ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
2．向量夹角的概念：范围0≤≤1803．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
2两个向量的数量积称为内积，写成ab ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
3在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0。
因为其中cos 有可能为0。
这就得性质2。
Cθ = 0︒θ = 180︒θθθ θOO O OOO A AA ABBB B B BC4已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c 。
但是 b = b c a =c如右图：ab = |a ||b |cos = |b ||OA|b c = |b ||c |cos = |b ||OA|ab =bc 但a c5在实数中，有(ab )c = a (b c )，但是(a b )c a (b c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。
（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：1．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影。
注意：1投影也是一个数量，不是向量。
2当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b |；当= 180时投影为|b |。
2．向量的数量积的几何意义： 数量积ab 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积。
Oac bα βOB O B 1Oa b θOB O1Oa b θ O O B O (B 1)Oabθ3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
1e a = a e =|a |cos 2a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |。
特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4cos =||||b a ba ⋅ 5|ab | ≤ |a ||b |十一. 平面向量的数量积的运算律1. 交换律：a b = b a2. 结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb )3. 分配律：(a + b )c = ac + b c十二. 平面向量的数量积的坐标表示1.设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：ii = 1，j j = 1，i j = j i = 0 2.a b = x 1x 2 + y 1y 23.长度、角度、垂直的坐标表示1a = (x , y ) |a|2 = x 2 + y 2 |a | =22y x +2若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则AB =221221)()(y y x x -+- 3 co s =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4∵ab a b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）十三.平移一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。
这个过程称做图形的平移。
（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量二、平移公式：设'PP = (h , k )，即：''PP OP OP +=∴(x ’, y ’) = (x , y ) + (h , k ) ∴⎩⎨⎧+=+=k y y h x x '' —— 平移公式三、注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2知二求一3这个公式是坐标系不动，点P (x , y )按向量a = (h , k )平移到点P ’(x ’, y ’)。
另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a ，即：⎩⎨⎧-=-=k y y hx x ''。
这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，这两个公式作用是一致的。