专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展

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探索面积认识面积的概念

探索面积认识面积的概念面积是几何学中的一个重要概念，用来描述二维图形所占据的平坦空间大小。

在几何学中，面积是计量图形的大小和形状的一种方法。

本文将探索面积的定义、计算方法以及其在不同领域的应用。

一、面积的定义和计算方法在几何学中，面积是一个二维图形所占据的平坦空间的大小。

对于不规则形状，可以将其分解成较小的部分，然后计算每个部分的面积并将它们相加，从而得到整个图形的面积。

在平面几何中，常见的图形包括正方形、矩形、圆形、三角形等。

下面将分别介绍它们的面积计算公式。

1. 正方形的面积计算公式：正方形的边长为a，则它的面积S可以通过公式S = a * a或S = a^2来计算。

2. 矩形的面积计算公式：矩形的长为l，宽为w，则它的面积S可以通过公式S = l * w计算。

3. 圆形的面积计算公式：圆形的半径为r，则它的面积S可以通过公式S = π * r^2来计算，其中π取3.14或取近似值。

4. 三角形的面积计算公式：三角形的底边长为b，高为h，则它的面积S可以通过公式S = (1/2) * b * h计算。

除了上述常见图形，其他复杂形状的面积计算通常需要使用积分、近似方法或其他数学工具来求解。

二、面积的应用领域面积的概念在现实生活中有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用领域。

1. 土地测量和房地产在土地测量和房地产领域，面积的计算是非常重要的。

通过测量土地的面积，可以确定用途、估值和开发潜力。

在房地产交易中，面积也是一项重要的参考指标。

2. 建筑和工程在建筑和工程领域，面积的计算用于设计和规划建筑物和设施。

建筑师和工程师需要计算房间、楼层和建筑物的面积，以确保设计满足需求，并能够合理利用空间。

3. 农业和农业科学在农业领域，了解土地的面积对于合理的农作物布局和灌溉计划非常重要。

农业科学家使用面积计算来研究农作物的生产效率和土壤的肥力。

4. 地理和地球科学在地理学和地球科学领域，面积的计算用于研究地球表面的变化。

中数学微课题研究性精品教程专题5.3：区域面积问题的研究与拓展.docx

高中数学学习材料唐玲出品专题5.3：区域面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中，已知平面区域()(){}0,0,1,≥≥≤+=y x y x y x A ，则平面区域()()(){}A y x y x y x B ∈-+=,,的面积为________ 1变式1：x x x f 2)(2-=，则满足条件⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点()y x ,所形成的区域面积为__________. 变式2：已知函数2)(2-=x x f ，若)()(b f a f ≥，且b a ≤≤0，则满足条件的的点()b a ,所围成的面积为______ 2π 解易知f (x )在[0,2]上为减函数，在[2,)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在(2,)+∞．若0≤a ≤b ≤2，则2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①；若0≤a ≤2≤b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π．探究2：如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 2+4π2 2 2 O a b②图7 ①探究3：直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤，(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积__________. 变式1：两个正实数b a ,满足3≤+b a ，若当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时，恒有2)()(22≥-+-b y a x ，则以b a ,为坐标的点),(b a 所形成的平面区域的面积等于________. 22π-解：两个面积为1的三角形减去两个(半径为根号2的圆的1/8）变式2： A ＝}0,2,|),{(≥≤≤y x x y y x ，B ＝}42,64|),{(≤≤≤≤y x y x ，设M ＝ ,2|),{(21x x x y x +=}),(,),(,2221121B y x A y x y y y ∈∈+=，则点集M 所形成图形的面积为．探究3：在直角坐标系平面上的点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=y x x y y x M 11),(， {}2),(22<+=y x y x N ，则集合N M ⋂所表示的图形的面积是_________________ 变式1：若将集合N 改为{}1),(22<+=y x y x N ，结论如何？变式2：若将集合N 改为{}4),(22<+=y xy x N ，结论如何？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

解析几何中有关面积计算的问题

解析几何中有关面积计算的问题
作者：肖建林
来源：《学习周报·教与学》2021年第04期
摘要：解析几何在高考卷中难度属中高档，学生得分率偏低，在遇到求面积问题时，学生的主要问题是不会灵活处理面积表达式，选择合适的面积计算公式，對题目中某个关系吃不透，计算量大，信心不足。

关键词：全国卷;理科数学;解析几何;面积问题;方法归纳
以上就是我们在解析几何如何设直线方程的常见的四种方式。

教学中，我们可以探讨一题多解，打开思路，去体会和总结各种解法的精髓。

但在真正的高考中，应遵循天下武功唯快不破，选取最佳方法解答，毕竟时间就是分数，希望本文对读者遇到该类问题有所帮助。

（广东省佛山市南海区狮山石门高级中学）。

几何模型7

变换法
04
容斥原理
05
坐标系法
精讲精练
知识点四
平面几何建系法VS纯几何法
典型例题
【例4-1】如图,正方形ABCD中,O为BD的中点,以BC为边向正方形
内作等边△BCE,连接并延长AE交CD于点F,连接BD分别交CE,AF于
3 +1
G,H,下列结论：①∠CEH=45º；②BG= 2 DG；③S△BEC:S△BGC=
1.如图,半径为2cm,圆心角为90º的扇形OAB中,分别以OA,OB为直
2
0.5π-1
径作半圆,则图中阴影部分的面积为_________cm
B
S阴=S扇形OAB-S扇形EBD-S扇形FAD+S正方形EOFD
=π-0.25π-0.25π+1=0.5π-1
E
O
D
F
A
知识点一
割补法
基础训练
2.如图,某一次函数与反比例函数的图象相交于A(1,3),B(m,1).
=S扇形CBB1-S扇形CAA1=25π/8
A
A1
B
S阴=S△ADE+S扇形ABDS△ABC
B
C
知识点三
平移法、旋转法
基础训练
4.如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将△BEC绕点B逆时
针旋转90º后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线
A
D
段AF绕点F顺时针旋转90º得线段FG,连接EF,CG.
E
´
D
A
C
B
S1-S2=S小扇形-(S正方形-S大扇形)
B
B´
C´
强化训练
面积问题的四种解法

面积的应用与拓展

面积的应用与拓展面积是几何学中的重要概念，它不仅在日常生活中有着广泛的应用，而且在数学领域中也有着丰富的拓展。

本文将探讨面积的应用以及其在数学中的拓展。

一、面积的应用1. 度量空间面积在日常生活中，我们经常需要度量某个物体的面积，比如房屋、土地、地板等。

通过计算面积，我们可以对物体的大小有一个直观的了解，从而做出相应的决策。

2. 建筑设计与规划在建筑设计与规划中，面积是一个重要的参数。

建筑物的面积决定了其使用功能、布局设计以及建筑成本等方面。

建筑师和规划师需要准确计算不同部分的面积，以便进行设计和规划的决策。

3. 农田规划与管理农田的面积计算对于农业生产的规划与管理非常重要。

农民需要计算田地的面积，以确定适宜的农作物种植方式、施肥量等，从而提高农作物的产量和质量。

4. 城市规划与土地利用在城市规划与土地利用中，面积是一个关键指标。

通过计算不同区域的面积，规划师可以确定各种用地类型的比例，从而合理规划城市的发展布局，提供可持续的城市环境。

5. 地图与导航地图和导航系统中也广泛使用面积的概念。

通过测量地图上不同区域的面积，可以提供准确的导航服务，帮助人们找到最短路径和最佳路线。

二、面积的拓展1. 计算方法的拓展在传统的几何学中，我们通常使用几何图形的形状和尺寸计算面积。

然而，在某些情况下，传统的计算方法可能不适用。

为了解决这个问题，人们发展了更加复杂的计算方法，如积分等，来计算曲线、曲面等不规则图形的面积。

2. 多维空间中的面积面积的概念并不局限于二维平面。

在更高维度的空间中，我们可以推广面积的概念，并定义多维空间中的体积、表面积等概念。

这些拓展使得面积的概念在数学中有着更广泛的应用。

3. 非欧几何中的面积在非欧几何中，面积的概念也得到了拓展。

非欧几何中的面积不满足传统的欧几里得几何中的面积定义，而是根据不同的几何模型来定义。

这种拓展使得面积的概念在几何学的研究中更加丰富和多样化。

总结起来，面积作为几何学中的重要概念，应用广泛且不断拓展。

小学数学的解析几何形的面积与周长解析

小学数学的解析几何形的面积与周长解析解析几何形是数学中的一门重要分支，通过运用坐标系和代数方法来研究几何问题。

在小学阶段，数学教育也开始引入解析几何的概念，帮助学生更好地理解几何形的性质。

本文将重点讨论小学数学中解析几何形的面积与周长的解析方法。

一、直线段的长度在解析几何中，直线段是最基本的几何元素之一。

在二维平面坐标系中，给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，AB之间的距离则可以通过如下公式计算：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，√表示平方根，(x₂ - x₁)²表示x₂ - x₁的平方。

二、矩形的面积与周长矩形是小学数学中常见的几何形。

对于一个矩形，它有四条边，分别为长方形的长和宽。

假设矩形的左上角顶点为A(x₁, y₁)，右下角顶点为B(x₂, y₂)。

那么矩形的长为|x₂ - x₁|，宽为|y₂ - y₁|。

因此，矩形的面积可以计算为：面积 = 长 ×宽 = |x₂ - x₁| × |y₂ - y₁|矩形的周长则是四条边之和，由于矩形相邻边的长度相等，因此可以计算为：周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|)三、三角形的面积与周长三角形是解析几何中另一个重要的几何形。

给定三角形的三个顶点A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，我们可以通过以下步骤计算三角形的面积和周长。

1. 计算边长通过计算AB、AC和BC的长度，可以得到三角形的边长。

根据直线段长度的计算公式，我们有：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)2. 计算周长三角形的周长为三条边之和，即：周长 = AB + AC + BC3. 计算面积对于任意给定的三角形ABC，可以利用海伦公式计算其面积。

面积的研究-王五

面积的研究-王五
引言
本文旨在探讨面积的研究，主要讨论面积的定义、计算方法以及应用领域等内容。

面积的定义
面积是指平面上某个区域所占据的空间大小。

在数学中，面积可以通过计算该区域的长度和宽度来得到。

面积的计算方法
面积的计算方法根据不同的几何形状而异。

以下为常见几何形状的面积计算方法：
1. 正方形和长方形：面积等于边长或长度乘以宽度。

2. 圆形：面积等于π乘以半径的平方。

3. 三角形：面积等于底边长度乘以高度再除以2。

4. 梯形：面积等于上底和下底长度之和乘以高度再除以2。

面积的应用领域
面积的概念在各个学科和领域中都有广泛的应用，其中一些常见的应用领域包括：
1. 建筑领域：用于测量建筑物的地板面积和房间面积，以确定其大小和布局。

2. 地理学：用于测量陆地、国家和城市的面积，以研究地理特征和人口分布。

3. 农业学：用于测量农田的面积，以帮助农民计划和管理农作物种植。

4. 统计学：用于调查和研究中收集和分析数据的单位面积。

结论
面积作为一个基本几何概念，在各个学科和领域中都有重要的应用。

通过了解不同几何形状的面积计算方法，我们能够更好地理解和应用面积的概念。

《解析几何中的面积问题》学习任务单

有 3 个学习环节，请你做好准备：（1）合作探究（通过微课与同学交流汇总任务单上已达成共识的结论，小组为单位汇报学习成果）；（2）释疑解惑（各小组提出任务单上未达成共识的问题，组间互相解决）（3）反思总结（巩固学习成果，提出困惑和建议）．二、学习任务 1.通过复习整理做过的习题，你发现求椭圆内接三角形的面积问题有哪些通性通法，又有那些其他方法呢？请列出几个?（可参考视频材料、可查阅资料）
福建省漳州市第三中学高三数学吴攀第 1 页共 4 页
2.通过观察思考,你发现求椭圆面积问题的的解题技巧和解题方法是什么？这些问题有哪些特点?用这种方法解题的优势是什么?
3.请同学们寻找试题,(或在每日自选作业中挑选)能用数形结合思想和切割思想解决面积问题的 2 个例子.
4.自我检测：设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)，B(0，1) 是它的两个顶点，直线 y kx(k 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点，求四边形 AEBF 面积的最大值．
《解析几何中的面积问题》学习任务单
一、学习导航 1．课题名称：《解析几何中的面积问题》 2．达成目标：
学生通过解析几何中的面积专题学习，观看资源包中的视频课程和课件等资源, 体会数形结合思想和面积切割法在解题中的优势；尝试独立思考、查阅资料,整理习题 ,学会用数形结合思想解决数学问题，完成《解析几何中的面积问题》的学习任务单． 3．学习形式预告：
(答案详见巩固练习第 4 题)
福建省漳州市第三中学高三数学吴攀第 2 页共 4 页
三、反思与总结
四、学习方法建议建议同学通过先思考微课内的试题，再以及解题技巧，即切割法，等面积转换法等。同学课后可收集相关资料和同类型问题强化训练，也可同学间相互出题，交流反思解题中的不足，及时总结方法，便于求解析几何面积问题的关键点突破。五、相关学习资源

2020年中考复习课件：面积法在几何问题的应用(共18张PPT)

∵S△AOP+S△ODP=S△AOD ∴PE+PF=AH=2.4
7.在Rt△ABC中，CB=3,BA=4,点D分BC为1：2，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。求BE+CF 的值是________
解S△：ABD∵= S12△AADC·D=B12E,ASD△·ACCBF=,12 AB·CB. 又S△ACD+S△ABD=S△ACB ∴AD(BE+CF)=AB·CB,
6.如图，在矩形ABCD中，AB=3, AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E, F。求PE+PF的值。
解：连接OP，过A作AH⊥BD垂足为H.
在矩形ABCD中，AB=3, AD=4，由勾股定理得：BD=5. ∵BD·AH=AB·AD, ∴AH=2.4. ∵PE⊥AO,PF⊥DO, ∴S△SA△ODA=P12O=O12D·AOA·H.PE,S△DOP=12 DO·PF,
解：根据面积法求得
PE+PF=DG
DG=
AD • CD 12 =
AC 5
∴PE+PF=
12 5
设PE=x，则PF=
12－Ｘ 5
∴PE·PF=x·( 12－Ｘ ) =－（ｘ－５６）２＋２３５６ 5
∴当x=
6 5
时，PE·PF取得最大值为
36 25
类型五、借助面积证两角相等
13.如图，C是线段AB 上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：∠AOC=∠BOC
2
2
∴AB·CN=BC·AM
BC • AM 120
即 CN=
= AB 13

【高考数学复习解析几何专题】第7讲面积问题-解析版

第7讲面积问题知识与方法面积问题的求解策略如下.1 寻底找高:通常选择能用坐标表示的底或高,直接由面积公式计算;2 面积拆分:不规则的多边形面积常拆分为多个三角形的面积和,当三角形的底和高不便于计算时,也可拆分成若干个三角形计算,常以定线段或平行线段分割三角形;3 多图形面积关系的转化:关键是“求同存异”,寻找这些图形的底和高是否存在“同底”或“等高”的特点,从而将面积关系转化为线段关系,使计算得以优化或简化;4 若在ABC 中,1122,,,ABx y AC x y ,则122112ABCSx y x y . 典型例题【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab 的离心率为2,点61,2在椭圆C 上,点P 坐标为10,3,直线:l y x m 交椭圆于,A B 两点,且PA PB .(1)求椭圆的方程; (2)求PAB 的面积.【分析】直接选择以AB 为底,以点P 到直线AB 的距离为高表示三角形的面积.对于直线AB 方程,可以直接运用“设线”表示,也可用点差法构直线.【解析】(1)由题意可得22222213,1,22c a b c aa b ,所以224,2a b .椭圆C 的方程为22142x y .(2)方法1设点22221122,,,,.342401,42yx m A x y B x y x mx m x y .由Δ0得212124246 6.,33m m m x x x x ,即AB 的中点2,33m mE . 因为PAPB ,所以PE AB .所以1112PEm k m m,故121242,33x x x x ,所以453AB . 此时,点P 到直线:10AB x y PAB . 方法2因为222211221,14242x y x y ，所以1212212121210,142x x x x y y y y y y x x ,1221042x x y y (1)因为PAPB ,则22222222112212211111,3333x y x y x x y y ,所以1221203x x y y (2)由(1)(2)两式解得122142,33x x y y .故AB 的中点21,33E ,因为点E 在直线l 上,所以1m ,易得223PE . 直线:1l yx .与椭圆方程联立,可得453AB. 所以PAB. 方法3设点1122,,,A x y B x y .由点差法得12AB OEk k ,所以12OE k . 于是由1,2,233,EE y x m x m y yx m . 又PA PB ,所以1331,123PE m k m ,所以1m .下同,略.【点睛】本题选择以AB 为底,点P 到AB 的距离为高,直接由面积公式计算.问题的基本模型是中点弦问题,所以常运用“设直联曲”,结合韦达定理求中点;也可运用点差法沟通中点坐标与弦所在直线的斜率.【例2】已知抛物线2:2(0)C x py p 的焦点为F ,且点F 与圆22:(4)1M x y 上点的距离的最小值为4. (1)求p 的值;(2)若点P 在圆M 上,,PA PB 为C 的两条切线,,A B 是切点,求PAB 面积的最大值. 【分析】(1)由点F 到圆M 上点的距离的最小值为4建立关于p 的方程,解出即可.(2)由导数的几何意义可得出直线,PA PB 的方程,进而得到点P 的坐标,再将直线AB 的方程与抛物线方程联立,可得点(2P k ,),b AB 以及点P 到直线AB 的距离,进而表示出PAB 的面积,再求出其最小值即可.【解析】(1)点0,2pF 到圆M 上点的距离的最小值为14142pFM ,解得2p .(2)方法1由(1)知,抛物线方程为24x y ,即214yx ,则12y x . 设切点1122,,,A x y B x y ,则易得221122:,:2424PA PB x x x x l yx l y x ,从而得到点1212,24x x x x P. 设:AB l ykx b ,与抛物线方程联立,得2440x kx b ,所以2Δ16160k b ,即20k b ,且12124,4x x k x x b ,所以点2,P k b .因为2222212122221411616,1PABk bABk x x x x k k b d k,所以322142PABSAB d kb (1)又点2,P k b 在圆22:(4)1M x y 上,故221(4)4b k ,代人(1)式得322121544PABbb S .而5,3py b ,所以当5b 时,max205PAB S.方法2由(1)知,拋物线方程为24x y ,即214yx ,则12y x . 设切点112200,,,,,A x y B x y P x y ,则切点弦00:2AB x x y y .2000022,2404,x x y y x x x y xy ,于是221201200002,4,44x x x x x y AB x x y ,且220041x y .23300222200002411,41215224PABPABx y d Sx y yy x,当05y 时,max205PAB S.【点睛】本题面积求解,直接选择以AB 为底,点P 到直线AB 的距离为高.对直线AB有两种表示方式:一是直接设线,二是设切点写出切点弦方程,都是处理切线问题的常用方法.【例3】已知0m ，抛物线22C y mx ：的焦点到直线:40l mx y 的(1)求m 的值;(2)如图,已知抛物线C的动弦AB 的中点M 在直线l 上,过点M 且平行于x 轴的直线与抛物线C 相交于点N ,求NAB 面积的最大值.【分析】由AB 的中点M 在直线l 上,故可由点差法用中点M 的坐标表示直线l ,利用水平线段MN 分割NAB ,于是12ANBA B SMN y y .【解析】(1)抛物线C 的焦点,02mF .255,所以24m ,所以2m .（2）方法1设直线AB 的方程为x ty n ,代人抛物线方程24y x ,得2440y ty n ,所以2Δ16160t n . 设点112200,,,,,A x y B x y M x y ,所以212004,2,2y y t y t x ty nt n .因为002x y ,所以242n t t ,所以Δ004t .所以点2,2N t t .思路一(直接求):则点N 到直线l 的距离2241t t d t,22441ABt t t所以33222242416NABSt t,当2t 时取得等号,所以max16NAB S .思路二:322221212112241622ANMSMN y y t n t y y t t.方法2设点11220030,,,,,,,A x y B x y M x y N x y .224,80240,y x y y x y ,得交点为0,0,16,8，因此008y .点,A B 在抛物线上,则2221112122224,44,y x y y x x y x ,即121212042ABy y k x x y y y . 则0002:AB yx x y y ,即200022y y xy x .2222000004224022y x y y y y x y y xy x222120000242424y y y y x xy .2220000222200120034,,..44,14282441.4ABNy x y y N y MNx yy y y SMN y y x x yy y y 点则因为008y ,当04y 时,max4,则ABN 面积的最大值为16.【点睛】本题以水平线段MN 分割NAB ,继而以线段MN 为底,以纵向距12y y 为高,得到面积的函数关系.涉及三角形面积求解问题,利用直线过定点或与坐标轴平行的线段,对三角形进行分割转化求面积.【例4】如图,椭圆22221(0)xy a b a b 的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于,A B两点,AF 的最大值为,M BF 的最小值为m ,满足234M ma . (1)若线段AB 垂直于x 轴时,32AB,求椭圆的方程; (2)线段AB 的中点为,G AB 的垂直平分线分别与x 轴、y 轴交于点,D E ,点O 是坐标原点,记GFD 的面积为1,S OED 的面积为2S ,求12SS 的取值范围.【分析】对于(1),由焦半径公式直接得,M m ,代入234M ma ,结合32AB ,解出,a b .对于(2),从几何图形分析知2122||||SFG S OE ,于是设直线AB 的斜率为k ,将线段,FG OG 表示为k 的函数式,从而得到12S f k S ,求出取值范围.【解析】(1)223344M m a a c a ca ,所以12c e a ,所以32b a . 又因为2232b a,所以31,2a b . 所以椭圆的方程为22413y x .(2)点,0Fc .设:AB x ky c ,点1122,,,A x y B x y .注意到GE 不能垂直于y 轴,故0k,2222242222,201,x ky c a b k x b cky b x y a b ,所以2412122222222,b ckb y y y y a b k a b k . 所以2122222G y y b ck y a b k ,所以2222G G a cx ky c a b k ,所以AB 中垂线GE 的直线方程为22222222a c b ck yk x a b k a b k .令0x 可得点32220,c kE a b k.因为co DFG DE ,所以2122||||SFG S OE . 因为232222222211,GFEb ckc k FG ky y kOE y a b ka b k ,所以422212421||919||b k S FG k S OE c.综上所述,12S S 的取值范围为9,.【点睛】对于面积之比,常转化为线段之比.在解题过程中,尤其要注意平面几何知识的运用,如本题的两个三角形相似.๔【例5】已知椭圆221:12x C y 和抛物线22:2(0),C y px pF 为椭圆1C 的左焦点,E 为抛物线2C 的焦点.(1)过点F 的直线与抛物线2C 相切于点P ,若5PF ,求抛物线2C 的方程;(2)过点E 的直线l 交抛物线2C 于,P Q 两点,点M 满足4OQ OM (O 为坐标原点),且点M 在线段22122xy上.记PQM 的面积为1,S EFP 的面积为2S ,求12S S 的取值范围. 【分析】对于(1),设切线1y k x ,运用Δ0求出切点P ,结合5PF 即可求抛物线方程.对于(2),注意到直线PQ 过定点E ,有4OQ OM ,所以将PQM 的面积转化为OPQ 的面积,即154OPQS S ,而212P S FE y ,代入12SS 即可.【解析】(1)方法1由题设可知点1,0F .设直线l 的方程为1y k x .222221,2202,y k x k x k p x k ypx .则22422Δ224840kpk k p p ,故22pk .且221pk px k,即点1,2P p .故2(11)25PFp,所以12p. 抛物线2C 的方程为2y x .方法2设点22,2P pt pt ,则抛物线2C 在点P 处的切线方程为22222pt x ptyp ,即222typt x .由于该切线经过点1,0F ,故2021pt ,即212t p, 故点21,2,(11)25P p PFp.(2)方法1设点200,2y Q y p,直线PQ 的方程为2px ty . 222,2022,p x ty y ptx p y px .故22,P Q P Q y y pt y y p ,从而22PQ p p y y y . 又4QOOM ,则2001111,4844M Q MQ y x x y y y p, 从而28y p ,且2222My ,则01p .从而2210055155844221616OPQPQpp p p S S y y p y p y y . 222111122224P pp p S FE y p y y .由此可得2012258165856151,514242424p p p y S p p S p p p y . 方法2设点1,,4M t OQ OM ,所以点224,422Q tt. 故由,,Q E P 三点共线得222,16EP Q P P Q p xx x x y y p .所以24Pp y t. 即点22,164p p P t. 所以2222416p p p t,所以220,1p t .21551544422164OPQPQpp p S S y y t t.所以22221122416p p p p S tt.所以212585856151,54242424p p p SS p p p p . 【点睛】运用4OQOM 得到54PQMOPQSS 是面积求解的关键,也是等分点背景下面积转换的常用策略.【例6】如图,已知抛物线2Γ:2(0)y px p 的焦点为F ,准线为,l O 为坐标原点,A 为抛物线Γ上一点,直线AO 与l 交于点D ,直线AF 与抛物线Γ的另一个交点为B ,过点B 作抛物线的切线交x 轴于点E ,与直线AO 交于点G ,连结DE .(1)证明:直线//BD x 轴;(2)记,ABG DEG 的面积分别为12,S S ,当122S S 时,求点A 的横坐标.【分析】对于1,由焦点弦的性质可得2A By y p ,于是联立准线的方程与直线OA的方程解出D y 即可.对于(2),有122S S ,所以12111221120G G G G G Gy y y y S y y AG BG S GD GE y y y y y ,得1G y y ,利用点G 在BE 上求出点A 的横坐标;由切线BE 求出点E 坐标,进而确认//AB DE ,千是采用“算两次”的思想,将22122BABSy y AB S DEy ,结合2A By y p 可得点A 的横坐标.【解析】(1)方法1(1)设点22,2A pa pa ),则直线1:OA yx a .所以2D p y a.22244122AFpa ak p a pa ,所以直线241:42a p AF x y a, 与22ypx 联立,得2224102a ypy p a,由韦达定理得2A By y p ,所以2BD p y y a,从而直线//BD x 轴.方法2证明:由题设可知点,0,:22ppF l x.设点221212,,,22y y Ay B y p p,则直线12:pAO yx y ,故点D 的纵坐标为21D p y y . 设直线222,:20222,p x my p AB x myy pmyp y px ,所以212y y p ,从而221p y y .从而2D y y ,即直线//BD x 轴.(2)方法1设点22,2B pb pb ,则有22ppb a ,即41ab (1)抛物线Γ在点B 处的切线方程为222x by pb ,所以点22,0Epb .又点,22p p Da,所以220112422DEpa k pa ab a bpb .又因为2222122ABDE pa pb k k pa pb a b,所以//DE AB ,所以ABG DEG ∽,所以122AB S DE S ,所以2A BD E y y y y ,即2222p pa pba. 又41ab,解得2124a ,所以22122Ax pa p ,即点A 的横坐标为12p . 方法112211112222G G S BD y y BD y y BD y y ,222111.222G G S BD y BD y y BD y因为122S S ,所以12G G y y y ,即1G y y ,即点11,G x y .点B 处的切线方程为22:2B y p l yx y ,所以21122y p y x y . 把221121,2y p x y py 代人上式得42241120y y p p,解得22121y p ,所以211122p y x p.方法3抛物线Γ在点B 处的切线方程为22:2B y p l yx y . 与直线AO 方程联立,得24232211122Gy p y y y y p y . 因为122S S ,所以121122120G G G GGy y y y S y AG BG S GD GEy y y y ,解得1G y y .所以4132112p y y p y ,解得22121y p .于是211122p y x p.方法4由(1)可知点2,2pD y ,抛物线Γ在点B 处的切线方程为22:2B y p l y x y ,所以点22,02y Ep, 所以2222222222DEy py k y p y p p. 又222220y pmy p ,所以222221py y p m,所以//AB DE . 因为122S S ,所以22121222Sy y AB S DEy ,所以1212y y .由(1)可知,212y y p,所以2211212yppx ,解得211122p y x p.【点睛】本题是一道典型的面积比值问题,面积比的转换方式要充分分析几何结构,挖掘其背后的数量关系,从所得的数量关系中发现其隐藏的几何位置,如//AB DE ,这为面积的运算求解打开了新的通道,可谓豁然开朗！“设点”是处理这类问题的通法. 【例7】过焦点1,0F 的直线与抛物线22(0)y px p 交于,A B 两点,点C 在抛物线上,ABC 的重心P 在x 轴上,AC 交x 轴于点Q (点Q 在点P 的右侧). （1）求抛物线方程及准线方程; (2)记,AFP PCQ 的面积分别为12,S S ,求12S S 的最小值及此时点P 的坐标.【分析】从目标角度看应将所求的面积比值转化为相应的线段之比,注意到点P 是ABC 的重心,可得1122APBAPC S AF CQ S S S S AB CA S .于是可从设点或设线的角度,将比值坐标化或和斜参表示. 【解析】(1)因为12p,所以2p ,所以抛物线方程为24y x ,准线方程为1x .(2)方法1设点222,2,,2,,2,,0A a a B b b C c c Q t . 由,,A F B 三点共线有22222211a b a ab a b a.因为P 为ABC 的重心,则222003P a b cy a b c .由,,A Q C 三点共线有222222a c a tac a c a t,所以点,0Q ac .所以2223Pa b c x ac ,所以222212a a a .因为ABPAPCSS,所以,CPQ AFPABP ACP S AF CQS S AB S CA,所以2221222222211222a a a b AF CA a a c S a ac a S ABCQa bc ac bca b a ba a , 所以422144222211S a a a S a a . 令22(0)a m m ,所以12113221322344S S m m. 当且仅当3m 时取得等号,此时22223,23,2a b c ,点2,0P .方法2设点,,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ,重心,P P P x y . 令2,0Ay t t,则2Ax t .由于直线AB 过点F ,故直线AB 的方程为2112t xy t, 代人24y x 得222140t y y t,故24B ty ,即2By t,所以点212,B t t .又由于11,33PA B C P A B C x x x x y y y y 及重心P 在x 轴上,故220C t y t ,得点242211222,2,,03t t Ct tP ttt. 所以直线AC 的方程为222y t t x t ,得点21,0Q t .由于点Q 在焦点F 的右侧,故22t .从而422422144422222221123222211122221223A C t t t FP y t S t t t S t t t t QP y tt t t.令22m t ,则1221130,222134323424S m m S m m m m m m. 当3m 时,12S S 取得最小值312,此时点2,0P . 【点睛】结合重心的性质,将二维的面积之比转化为一维的线段之比,是面积比值问题求解的常用策略,进而运用弦长公式将线段之比转化为横或纵的坐标差之比.【例8】已知椭圆222:1x C y m(m 1)的左、右焦点分别为12,F F ,过右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于1122,,,A x y B x y 两点,其中1212120,0,,y y AF F BF F 的重心分别为12,G G . (1)若点1G 坐标为11,36,求椭圆C 的方程;(2)设11BF G 和2ABG 的面积为1S 和2S ,且124533S S ,求实数m 的取值范围. 【分析】由重心的性质知,1121211,333AOB BOF AOF AOBS S S S S S ,将相应的面积用坐标表示即可.此外,对于1S 也可转化为11111112233ABF AG F ABG ABF AOF AOB S S S S S S S.【解析】(1)由重心的性质可知点11,2A ,代人椭圆方程可得243m ,故椭圆C 的方程为22314x y .(2)方法1设点12,0,,0F c F c ,则221m c .1111221211212,33333BOF AOF AOBAOBcS SS S y y S S c y y .则112212245,33S y y S y y ,得1212,2y y .设222222,:.2101,x ty c l x ty c t m y tcy x y m .得1212222221,tcy y y y t m t m ,则22212222122221125412,2,0,8922y y y y t c m t m y y y y t m 对t 恒成立,故232890,14m m. 方法2设点12,0,,0F c F c ,则221m c .因为11111112233ABF AG F ABG ABF AOF AOBS SSS SS S ,所以111224223333AOBAOF AOBAOBAOF S SS S S S .223AOBS S所以1112124522,33AOF AOBS S y S Sy y ,得1212,2y y , 方法1112223,33BF Q AOBS S S S .11221212121222Q BFQ AOBy y c y y S S S Sc y y y y .下同,略.【点睛】本题以重心为背景,利用重心分中线长之比为2:1进行面积转换是本题一大亮点.寻底找高、割补转化使得问题的解决精彩纷呈! 【例9】如图，O 为坐标原点，F 为抛物线21:2(0)C x py p的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y 相切于点Q . (1)当直线PQ的方程为20x y时,求抛物线1C 的方程;(2)当正数p 变化时,记12,S S 分别为,FPQ FOQ 的面积,求12S S的最小值.【分析】对于(1),设切点200,2x P x p,求导得切线方程即可;对于(2),需将12SS 转化为相应的线段之比,于是可以设切点20,2x P x p或切点00,P x y 来表示切线方程,求出对应的点的坐标,从而构建12S S 的目标函数. 【解析】解法1(1)设点200,2x P x p.由22(0)x py p 得22x y p.求导得xy p.因为直线PQ 的斜率为1,所以01xp且200202x x p,解得22p,所以抛物线1C 的方程为242x y .(2)因为点P 处的切线方程为20002x x yx x pp,即200220x x py x ,所以OQ 的方程为0py x x .根据切线与圆相切dr ,得201x ,化简得4220044x x p .200220,,x x py x p y x x 得点20042,2x Q x p. 注:对于点Q 坐标,也可按如下方式思考.思路一:如图,由直线PQ 的方程200220x x py x可得点200,2x M p过点Q 作QH y 轴,则22||12Qx OQ OH OM y p,所以202Q p y x .而OQ 的方程为0pyx x ,所以02Q x x .故点20022,p Qx x . 22220200022211,P Qp x x x PQ kx x x p x px 2122Q p S OF x x ,而由4220044x x p 知,2420440p x x ,得02x ,所以22224222220000000012422002442224224x p x x x x x x x p x SS p x ppxx2220002224432232424x x x xx,当且仅当2024424xx,即2422x 时取得等号,此时222p,所以12S S 的最小值为3. 思路二:若设点00,Q x y ,所以00:1PQ x x y y ,于是点010,M y .所以021224px pS x . 又00P PQx x k py ,所以20020,P P px y px x y y y ,从而有220202221PPy x py px y py , 所以01001122px pS x y y ,所以2122200121211p p y y y S S py y . 令211,2t y ,所以12113222123223S t S t tt t.解法2(2)设直线:PQ y kx m .22,2202,y kx m x pkx pm xpy .点1122,,,P x y Q x y .所以22Δ420p k mp.所以2122.m mpk x pkk. 22222,12101,y kx m k x kmx m xy ,所以2222Δ01.1km k m k x k m. 所以222222m k m k k PQk m km km-+=-+==. 所以()()222122121,422p m p k k k p k S S km km m -+++===⋅-.所以()()22212221223322k k S k S k k ++==+++.【例10】已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=.如图,经过抛物线1C 的焦点F 的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于,,,A B C D 四点,抛物线1C 在点,A B 处的切线交于点P .(1)求点P 的纵坐标;(2)设M 为线段AB 的中点,PM 交抛物线1C 于点,Q BQ 的延长线交AP 于点T .记,TCD QBP 的面积分别为12,S S . (i)求证:Q 为线段PM 的中点;(ii)若1287S S =,求直线l 的方程. 【分析】对于(1),由双切线形成了一个阿基米德三角形,设点221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直接写出切线,PA PB 的方程,解出交点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭后,运用韦达定理即得.对于(2),因为,M Q 分别为线段,AB PM 的中点,所以2AT TP =,于是12883338TCD TCD TAB TABCDS S S S S AB S ==⋅=⋅即可解.【解析】(1)设点221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线l 的方程为1y kx =+.抛物线1C 在点,A B处的切线方程分别为221122,2424x x x x y x y x =-=-.联立两个切线方程,解得点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭.221,4404,y kx x kx x y =+⎧⇒--=⎨=⎩,所以12124,4x x k x x +==-. 故点()2,1P k -,即点P 的纵坐标为1-.(2)(i)证明:由(1)得点()()()222,1,2,21,2,P k M k k Q k k -+. 因为()()222112k k ++-=,所以Q 是线段PM 的中点. (ii)因为,M Q 分别为线段,AB PM 的中点,所以2AT TP =, 所以23TABPAB SS =,所以2113248QBPMBPPABTABS SS S S ====,所以12883338TCD TCD TAB TAB CD S S S S S ABS ==⋅=⋅. 设点,C D 的横坐标分别为()2234221,,4388034120,y kx x x k x kx x y =+⎧⋅⇒++-=⎨+-=⎩, 所以34342288,4343k x xx x k k +=-=-++,所以CD==.由(1)得()241ABk==+,所以128333CD S S AB =⋅==.令()()221(0)(43)1x f x x x x +=>++,则()232162050(43)(1)x x f x x x '---=<++, 所以()f x 在[)0,∞+上单调递减.因为1287S S ==,所以()2142f k =,所以21k =,即1k =±.经检验,符合条件.所以直线l 的方程为1y x =±+.【点睛】本题面积转化仍是将面积之比转化为线段之比,转化的难点在于探寻点T的分点位置,可有如下方式. 方式一:三点共线记BQ BT λ=.因为11112242BQ BM BP BA BP =+=+,所以11112242BT BM BP BA BP λ=+=+,所以1142BT BA BP λλ=+,则1131,424λλλ+==.所以1233BT BA BP =+,即2AT TP =,所以2AT TP =.1.方式二:梅涅劳斯定理预备定理1(塞瓦定理):若ABC ≡线交于一点,则有以下关系:1AF BD CEFB DCEA⋅⋅=证明:1GCA GAB GBC GCBGCAGABSS S AF BD CE FB DC EA SSS⋅⋅=⋅⋅=.预备定理2(梅涅劳昔斯定理):过ABC 一边上的点作一条直线,分别被其余两边或其延长线所截,则满足以下关系:1AF BD CEFB DC EA ⋅⋅=; 证明:1CED AED BED BEDCEDAEDS SS AF BD CE FB DC EA SSS⋅⋅=⋅⋅=.于是,回到原问题:选APM ,则111112PQ MB AT AT QM BA TP TP ⋅⋅=⇔⋅⋅=,所以2ATTP=.。

几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)

几何图形的面积问题（与函数值域转化）一、考情分析圆锥曲线中几何图形的面积问题，是近几年高考命题的重点和难点。

在2018年的全国卷和2019年的全国卷中，都有圆锥曲线的大题压轴的第二问出现。

题目的难度是可想而知的，这其中涉及到：距离，斜率，切线，直线与圆，三角形的面积，四边形的面积等。

此专题，从这个出发点出发，梳理了最近的高考题和诊断性考试题，得出曲径通幽的解题之法。

归根结底，最终都是转换到函数值域。

二、经验分享圆锥曲线中的几何图形的面积问题，以及围绕与几何图形的面积问题关键是：其一，选取合适的变量，第二，建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题（也就是转化成函数值域问题），第三，构造函数，用导数的方法求其最大值与最小值。

其求解策略一般有以下几种：①几何法：根据题目上传达的几何图形以及几何关系，建立目标函数，若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法: 若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.三、题型分析（一）角的最值问题例1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【变式训练1】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（） A. 13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B. 32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 13,43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【变式训练2】【2019届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.【变式训练3】【2019届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且0120(AOB O ∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为（） A.31 B. 2 C. 21 D. 51【答案】A【解析】由题意得，当()22222424c a b cx y a-=-⇒= ，则 ()()2222222244,,2424ca b ca b c cA B aa⎛⎛-- -- ⎝⎝，又因为120AOB ∠=︒， ()22242242244244tan 384084032ca b c c a c a c a a aπ-==-+=⇒-+=4222840423(4231,)331e e e e e ∴-+=⇒=±-<⇒=⇒=舍去.（二）距离的最值问题例2.【2019届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2 3 2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】B【解析】当过点(23,2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2|232|21k k -=+,求得0k =或3k =,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.【变式训练1】【2020届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．（三）几何图形的面积的范围问题例3.在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为11422255O l d -=⨯=,圆C 面积的最小值为1．【变式训练1】【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ， B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时， PAB ∆面积的最大值是 A. 22 B. 2 C.223 D. 23【答案】A【变式训练2】【吉林省普通中学2020届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（）A ．73 B ． 6 C ． 132D ． 3【答案】B【变式训练3】【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.（四）函数转化例4.【2019届成都一诊】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a b y a x C ：，2202220)(ax a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22ab mn -=原式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222所以设1>=b a t ，函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到：2t =时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。

小学三年级下册数学知识拓展面积的实际应用和几何形的变换

小学三年级下册数学知识拓展面积的实际应用和几何形的变换在小学三年级下册的数学学习中，学生们将继续学习面积的概念，并且开始了解如何将数学知识应用于实际生活中，以及探索几何形的变换。

本文将通过介绍几个具体的例子来展示面积的实际应用和几何形的变换。

1. 面积的实际应用在日常生活中，面积的概念得到了广泛应用。

举例来说，当我们买瓷砖铺地时，需要计算地面的面积以确定需要购买多少瓷砖。

此时，我们可以将地面划分为多个简单的几何形状，如正方形和矩形，并计算每个几何形状的面积，最后将它们相加以得到整个地面的面积。

同样地，在购买家具时，我们也需要计算房间的面积以确定适合的家具尺寸。

此时，我们可以将房间划分为不同的几何形状，如长方形和三角形，计算每个几何形状的面积，并将它们相加以得到整个房间的面积。

除了日常生活，面积的概念也在建筑、农业等领域中得到广泛应用。

通过学习和应用面积的知识，小学三年级的学生们可以更好地理解和解决实际生活中的问题。

2. 几何形的变换除了学习面积的实际应用，小学三年级的学生们还将开始学习几何形的变换。

几何形的变换包括平移、旋转和翻转等操作。

在几何形的平移中，几何形状被沿着直线移动，而形状和大小保持不变。

例如，当我们将一个正方形沿着直线向右平移3个单位时，每个点都将移动3个单位的距离，但正方形的形状和大小不会改变。

在几何形的旋转中，几何形状围绕一个中心点旋转一定的角度。

例如，当我们将一个正三角形以一个顶点为中心点顺时针旋转90度时，正三角形的每个顶点都将按照相同的角度进行旋转。

在几何形的翻转中，几何形状沿着一条线对称翻转，即形状相对于翻转轴呈镜像关系。

例如，当我们将一个长方形沿着垂直中心线进行翻转时，翻转后的长方形将与原始长方形形成镜像关系。

通过学习几何形的变换，小学三年级的学生们可以更好地理解不同几何形状之间的关系，并且为进一步的数学学习打下坚实的基础。

总结起来，小学三年级下册的数学学习涉及到了面积的实际应用和几何形的变换。

解析几何面积新高度

解析几何面积新高度在解析几何的奇妙世界里呀，面积这个概念可真是有着独特的魅力呢。

一、基础回顾。

咱们先来说说解析几何里那些和面积有关的基本元素。

比如说三角形，在平面直角坐标系里，三角形的顶点坐标要是知道了，那求它的面积就有好多有趣的办法。

最常见的一种就是用行列式来求啦。

假如有个三角形，三个顶点坐标分别是(x_1,y_1)，(x_2,y_2)，(x_3,y_3)，那它的面积S就可以用这个行列式的绝对值的一半来表示：S = (1)/(2)begin{vmatrix}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{vmatrix}。

这个方法就像是一把神奇的小钥匙，一下子就把三角形的面积和坐标联系起来了。

还有一种就是用向量的叉乘来求三角形面积。

如果有两个向量→AB和→AC，那三角形ABC的面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|。

这感觉就像是在向量的海洋里找到了一片和面积有关的小岛屿呢。

二、曲线围成的面积。

再说说曲线围成的面积。

像椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1，要求它的面积，咱们就得用积分这个厉害的工具啦。

根据椭圆的对称性，咱们只需要算出第一象限的面积，然后乘以4就好啦。

通过定积分S = 4∫_0^ay dx，把y = b√(1 - frac{x^2){a^2}}代进去，经过一番计算，就能得到椭圆的面积是π ab。

这个过程就像是一场小冒险，在积分的道路上一步步探索，最后找到宝藏——椭圆的面积。

还有抛物线y = ax^2+bx + c 和直线围成的面积，也是用定积分来求解。

先求出它们的交点坐标，然后确定积分的上下限，再对(ax^2+bx + c - mx - n)（这里y = mx + n是直线方程）进行积分，就能算出面积啦。

这就像是在曲线和直线交织的迷宫里找到出口一样，算出面积的时候可开心啦。

三、面积的拓展应用。

在实际的问题里，解析几何中的面积问题也是超有用的呢。

比如说在建筑设计里，如果要设计一个特殊形状的建筑，这个建筑的平面图可能是由一些曲线和直线组成的不规则图形。

高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展.docx

专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：如图，设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率；（2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．解：（1）232=e ；（2）设),(),,(0000y x D y x C --,（0,000>>y x ）abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t += 1：三角换元：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ)，当且仅当2=t 时（此时4πθ=时等号成立），21S S 可取得最大值223- 2：基本不等式的应用：222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行；且在该交点处，此时21,S S ,21S S 都是最大的. 探究2：如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于C 1的长半轴长（1）求C 1，C 2的方程；（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C 1相交与D,E ．（I ）证明：MD ⊥ME;（II ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732S S =？请说明理由. 解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而故C 1，C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或，则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k 于是221111111111111||||1||1|222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或，则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和探究3：如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（1）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（2）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =解：（1）21±=k （2）不存在，计算可得892-=k 探究4：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．（1）求直线OP 的方程；（2）求1PQQA 的值；Py NA解：（1）连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =，又122A A a =，所以1260A A P ∠=o . 所以260POA ∠=o ，所以直线OP 的方程为3y =.⑵由⑴知，直线2A P 的方程为3()y x a =--，1A P 的方程为3)y x a =+，解得2P ax =. 因为3e ，即3c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由22223),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y a a =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22()1414B k k ++，所以22114k OB a k +=+ 用1k -代替上面的k ，得2214k OC a k +=+．同理可得，21OM k =+，21ON k=+．所以4122214(14)(4)S S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=++．因为22221115(14)(4)4()17k k k k++++，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a探究5：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-，离心率为63（1）求椭圆C 的方程；（2）设点B 是点A 关于原点O 的对称点，P 是椭圆C 上的动点（不同于A ，B ），直线AP ，BP 分别与直线3x =交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由题意得22222111,,6,a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分解得2244,3a b ==． ………………… 4分 ∴椭圆C 的方程为223144x y +=． ………………… 5分（2）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 00(,)x y ，则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，探究6：已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u ur u u u u r =0，动点N 的轨迹为曲线E 。

高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题

高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题平面几何作为高考数学中的重点考点，其涉及的知识点十分广泛，其中面积和体积相关问题也是不可避免的。

不少同学在平面几何的学习中常常会遇到很多不理解的问题，如何理解面积和体积相关问题就成为了他们面临的一大难题。

本文将从理论和实际的角度出发，结合具体的例子，详细探讨高考数学中如何理解平面几何中的面积和体积相关问题。

一、面积问题平面图形的面积是平面几何中最为基本和核心的概念之一，其在高中数学中占据了至关重要的地位。

我们可以通过几何学的方法来计算图形的面积，也可以通过重心的概念来计算一些简单形状的面积。

但对于一些复杂的图形，就需要运用积分的方法求解。

例如，对于弧形图形的面积，我们可以通过将其分割成若干条扇形弧来进行积分，即：$$S= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^{2} d\theta $$其中，$S$为弧形的面积，$\alpha$和$\beta$分别为弧形的起始角度和终止角度，$r$为弧形所在的圆的半径，$\theta$为弧形的角度。

此外，还有一些特殊的图形，如三角形、矩形等，它们的面积计算比较简单。

对于三角形而言，其面积可以通过底边长度和高的乘积除以二来计算，即：$$S=\frac{1}{2}bh$$其中，$S$为三角形的面积，$b$为三角形的底边长度，$h$为三角形的高。

对于矩形而言，其面积可以通过长和宽的乘积来计算，即：$$S=lw$$其中，$S$为矩形的面积，$l$为矩形的长，$w$为矩形的宽。

总的来说，在高考数学中，我们需要掌握各种平面图形的面积计算方法，并灵活运用它们，以便对各种类型的题目进行解答。

二、体积问题在立体几何中，体积问题是最为基础和核心的概念之一。

一个立体图形的体积是指这个图形内部的空间大小，其计算方法也是非常繁琐的。

通常情况下，我们可以通过截断法、旋转法、切片法等方法来解决这个问题，对于一些简单的图形，我们也可以直接计算其体积。

解析几何中的三角形面积问题

1解析几何中的三角形面积问题【例1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆（O为坐标原点）的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【分析】 (1)由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值. 【解析】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x，(,N x ， ∵OMN ∆的面积为∴=2x =，∴M，(2,N ，由已知得22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b =，2c =，2∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+，点O 到直线20kx y k--=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭= ∵()()()()22222222211211k k k k kk k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k kk k +=+，又221k k ≠+，所以等号不成立. ∴ABC S ∆=<3综上，ABC面积的最大值为.【例2】已知抛物线C:x 2=2py(p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . （Ⅰ）求p 的值；（Ⅰ）若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值.【分析】 (Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅰ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到x 1x 2=−4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【解析】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：(0,p 2)，准线方程为：y =−p2焦点到准线的距离为2，即p =2.(Ⅰ)抛物线的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，所以y ′=12x设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， l 1:y −x 124=x 12(x −x 1) l 2:y −x 224=x 22(x −x 2)由于l 1⊥l 2，所以x12⋅x 22=−1，即x 1x 2=−4设直线l 方程为y =kx +m ，与抛物线方程联立，得 {y =kx +m x 2=4y所以x 2−4kx −4m =0 Δ=16k 2+16m >0，x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4m =−4，所以m =1 即l:y =kx +1联立方程{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224 得：{x =2k y =−1 ，即：M (2k,−1) M 点到直线l 的距离d =√1+k 2=2√1+k 2|AB |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=4(1+k 2)所以S =12×4(1+k 2)×2√1+k 2=4(1+k 2)32≥4当k =0时，ΔMAB 面积取得最小值44【例3】已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (−1,0)，且过点A(1,√22)，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）点B 为椭圆E 上的动点，过点F 作平行于OB 的直线l 交椭圆于C ，D 两点，求ΔBCD 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意可得，c =1，且|AF |+|AF ′|=2√2=2a ，从而得到椭圆E 的方程；（Ⅰ）讨论直线CD 的斜率，当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)．联立方程利用韦达定理表示S ΔACD =12×|CD |d ，求出函数的值域，即可得到 ΔBCD 面积的取值范围．【解析】解法一：（Ⅰ）依题意得，左焦点F(−1,0)，则右焦点F ′(1,0) 即c =1，且|AF|+|AF ′|=2√2=2a 则a =√2得b 2=a 2−c 2=1 椭圆方程为x 22+y 2=1（Ⅰ）当直线CD 的斜率不存在时，|CD|=√2，此时S ΔBCD =12×√2×1=√22．当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)．由{y =k(x +1),x 2+2y 2=1,消去y 得： (1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0．显然Δ>0，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−4k 21+2k 2,x 1·x 2=2k 2−21+2k 2, 故|CD|=√1+k 2⋅|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√−4k 21+2k 22−4×2k 2−21+2k 2=√1+k 2⋅√8k 2+8(1+2k 2)2，=2√2(1+k 2)1+2k 2．5因为CD //AB ，所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD 的距离d =√1+k 2，所以S ΔACD =12×|CD |d =√2(1+k 2)1+2k 2×2=√2|k|⋅√1+k 21+2k 2=√2√(1+k 2)k 2(1+2k 2)2=√22√4k 4+4k 24k 4+4k 2+1， =√22√1−1(1+2k 2)2，因为1+2k 2>1，所以0<1(1+2k 2)2<1，所以0<S ΔACD <√22．综上，S ΔACD ∈(0,√22] ．【例4】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，抛物线C 在,A B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C 的方程；(2)设,M N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，求OMN ∆面积的取值范围.【分析】（1）求出,A B 坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ，从而可得结果；（2）计算4OA OB k k ⋅=-，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得M N y y -，得出OMN ∆面积S 关于t 的函数，从而可得函数的最值. 【解析】 (1)依题意得，由，得，∴抛物线在处的切线斜率为，由抛物线的对称性，知抛物线在处的切线斜率为，6抛物线在A 处的切线方程为,令y=0,得, ∴S=，解得.∴抛物线的方程为. (2)由已知可得，设则，∴.令直线的方程为，联立方程组消去得，则，∵，∴.∴直线MN 过定点（1，0）, ∴.∵，∴.综上所示，面积的取值范围是.【例5】已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆的离心率为12,过椭圆1C 的左焦点1F ,且斜率为1的直线l ,与以右焦点2F 为圆心,的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程;（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦,且22MF F N λ=,求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.7【分析】（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >,可得:直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=,直线l 与圆2C 相切,圆心2F 到直线l的距离为d ==解得1c =,结合已知,即可求得答案.（2）将直线MN 的方程与椭圆方程联立,求得1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-,结合导数知识,即可求得答案. 【解析】（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >, 直线l 斜率为1,且过椭圆1C 的左焦点1F .∴直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=.直线l 与圆2C 相切,∴圆心2F 到直线l的距离为d ==解得1c =.椭圆1C 的离心率为12,即112e e a a ===, 解得:2a =,根据:222413b a c =-=-=∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）得()11,0F -,()21,0F ,22MF F N λ=∴直线MN 的斜率不为0,∴设直线MN 的方程为:()1x ty t R =+∈,将直线MN 的方程与椭圆方程联立可得:221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y可得:()2243690tyty ++-=,8()223636430t t ∆=++>恒成立,设()11,M x y ,()22,N x y , 则1y ,2y 是上述方程的两个不等根, 根据韦达定理可得:122643t y y t-∴+=+,122943y y t -=+. 1MF N ∴∆的面积:1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-1212122y y y y =⨯⨯-=-===m =,则m 1≥,221t m =-,∴223431t m +=+可得:121231MF NmSm =⨯+.令()()2131mf m m m =≥+ ∴()()22213031m f m m-'=<+恒成立,∴函数()f m 在[)1,+∞上为减函数,故()f m 的最大值为:()114f =, ∴1MF N ∆的面积的最大值为11234⨯=, 当且仅当1m =,即0t =时取最大值,此时直线MN 的方程为1x =,即直线MN 垂直于x 轴, 此时22MF F N =,即1λ=.综上所述,1MF N ∆的面积的最大值3,1λ=时1MF N ∆的面积的最大.【例6】设曲线C: x 2=2py(p >0)，点F 为C 的焦点，过点F 作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A，B的横坐标的倒数和为-1.（1）求曲线C的标准方程；（2）过焦点F作斜率为k的直线l′交曲线C于M，N两点，分别以点M，N为切点作曲线C的切线相交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，求三角形MNQ面积的最小值.【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立，由点A，B的横坐标的倒数和为-1，结合韦达定理代入求值即可；（2）设l′的方程为y=kx+1，与抛物线联立求得|MN|,求过M,N的切线方程求得Q(2k,0),利用点到线的距离求点Q到直线/的距离为d Q=2√k2+1，利用SΔQMN=12|MN|⋅d Q=12×4(1+k2)×2√k2+1=2(2k2+1)√k2+1求解即可【解析】（1）由题意可知：F(0,p2)，故可设直线l的方程为y−p2=x−0即x−y+p2=0联立方程{x2=2pyx−y+p2=0可得x2−2px−p2=0∴{Δ=4p2+4p2>0x A+x B=2px A⋅x B=−p2由题意知：1x A +1x B=−1，即x A+x Bx A⋅x B=−1，即2p−p2=−1，得p=2.∴曲线C的标准方程为x2=4y.（2）由题意知直线l′的斜率是存在的，故设l′的方程为y=kx+1，设l′与曲线C相交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)联立方程{x2=4yy=kx+1可得x 2−4kx−4=0∴{Δ=16k2+16>0x1+x2=4kx1⋅x2=−4∴|MN|=√(1+k2)(16k2+16)=4(k2+1).由x2=4y，得y=14x2. ∴y′=12x.∴k MP=12x1，∴l MP:y−y1=12x1(x−x1)……①∴k NP=12x2，∴l NP:y−y2=12x2(x−x2)……②上述两式相减得：x P=x1+x22=2k，∴x Q=2k.∴点Q坐标为(2k,0).∴点Q到直线l的距离为d Q=2√k2+1.∴SΔQMN=12|MN|⋅d Q=12×4(1+k2)2√k2+1=2(2k2+1)√k2+1910又∵k ∈R ，∴k 2⩾0.易知当k 2=0时，S ΔQMN 的面积最小，且为2，即(S ΔQMN )min =2.【例7】在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【分析】（1）由题意，设(),C x y ，得到12y k x =+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线:MN x my =1212,y y y y +，再由2MABNABS S=，得到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解．【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22yk x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =联立方程组22142x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MABNABSS=，故122y y =，即122y y =-，11从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+，解得227m =，即7m =，所以直线MN的方程为07x y -+=或07x y ++=．【例8】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点,A B 在C 上，F 为线段AB 的中点，4AB =.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 交于,M N 两点.若C 上仅存在三个点(1,2,3)i K i =，使得i MNK △的面积等于16，求l 的方程.【分析】 (1)利用对称性或者中点得出方程.(2) 设l 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程利用韦达定理得出弦长,利用导数求出切点坐标,求出点线距3,利用面积是16确定直线.或者建立所以关于m 的方程()22114111624k m ⨯+=-+=恰有三个不同实根，即2114m km --=恰有三个不同实根，求出直线方程. 【解析】解法1：（1）由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且,A B 的坐标分别为2,,2,22p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以422p p =⨯，解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）如图，作与l 平行且与C 相切的直线'l ，切点为K .由题意，可知MNK 的面积等于16.12设l 的方程为1y kx =+，方程24x y =可化为214y x =，则1'2y x =，令'y k =，解得2x k =，将2x k =代入24x y =，得2y k =，故()22,K k k，所以K 到l的距离d ==由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，从而12124,4x x k x x +==-，所以()241MN k ==+，故MNK的面积(21212MN d k ⋅=+从而(22116k +=，解得k =k =所以l 的方程为1y=+或1y =+.解法2：（1）设()()0000,,','A x y B x y ，则2002x py =，200'2'x py =，因为F 为AB 的中点，所以00'0x x +=，00'y y p +=，故00'2py y ==，从而02AB x =，故02x =，所以422pp =⨯，解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）直线l 斜率显然存在，设直线l 的方程为1y kx =+.由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，设()()1122,,,M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==-，所以()241MN k ==+，13点K 在C 上，设点21,4K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点K 到直线l的距离d = MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程()22114111624k m ⨯+=-+=恰有三个不同实根，即2114m km --=恰有三个不同实根，所以2m k =，()22122114k k k k -⋅-=+=，解得k =k =所以l的方程为1y =+或1y =+.【巩固练习】1. 已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2. （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【分析】 (1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为x my n =+ ，与抛物线联立将4OA OB坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||2MNF S MF y =△ 【解析】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，14由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为22143x y +=（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440y my n --= 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>.设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩ 所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因为4OA OB，所以12124x x y y +=-，所以244n n -=-，所以2n =，所以直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M 33(,)N x y，3y ，且3y ≠0，所以31||||22MNF S MF y =△≤，当且仅当3y =max ()MNF S =△ 2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；15（Ⅰ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程．【分析】（Ⅰ）列a,b,c 的方程组求解即可求得方程；（Ⅰ）当1l 的斜率k=0时符合题意；当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立，求得P ，Q 坐标，进而求得PO ，设直线1l 的中垂线方程：1y x k=-,求其与2l 的交点M,由 MPQ 为等边三角形,得到MO =解方程求得k 值即可【解析】（Ⅰ）由题22222411a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得a=,∴椭圆C 的方程为22182x y+=（Ⅰ）由题，当1l 的斜率k=0时，此时直线2l :x y 0-+=与y 轴的交点（0，满足题意；当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2214k x +=8,22814x k =+,设P （00x y ，）,则Q （00x y --，）,222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++又PQ 的垂直平分线方程为1y x k =-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得1x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩, M ⎛∴ ⎝⎭,MO ∴=, ∵MPQ 为等边三角形,MO ∴==解得k=0(舍去)，k=23, ∴直线1l 的方程为y=23x 综上可知，直线1l 的方程为y=0或y=23x163. 已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-。

高中数学解析几何的应用与拓展

高中数学解析几何的应用与拓展在高中数学学科中，解析几何是一个重要的章节。

它主要研究平面几何和空间几何中，利用代数方法研究几何图形的性质与关系。

本文将介绍解析几何的应用与拓展，帮助读者更好地理解和应用解析几何的知识。

一、向量与直线的应用1.1 向量的平移与旋转解析几何中，向量的平移和旋转是常见的操作。

通过研究向量的平移和旋转性质，我们可以解决许多与平面几何有关的问题。

例如，给定一个向量v，我们可以通过将点P(x,y)平移v个单位得到新的点P'(x',y')，其中x' = x + v_x，y' = y + v_y。

这种方法可以简化计算，提高问题求解的效率。

1.2 直线的方程与性质解析几何中，直线的方程是研究直线性质与应用的基础。

常见的直线方程有一般式、斜截式和点斜式等形式。

通过直线的方程，我们可以求解直线的交点、确定直线的方向和斜率等信息，进而应用到实际问题中。

例如，在工程测量中，我们可以利用直线的方程求解两条直线的交点，确定建筑物的位置和方向。

二、曲线与圆的应用2.1 曲线的性质与方程在解析几何中，曲线是指平面上满足特定条件的点的集合。

常见的曲线有抛物线、椭圆、双曲线等。

通过研究曲线的性质和方程，我们可以解决与曲线相关的问题。

例如，给定一个曲线的方程，我们可以求解曲线与坐标轴的交点、判断曲线的类型以及确定曲线的几何特征等。

2.2 圆的方程与应用圆是解析几何中的一个重要概念，它由平面上到一个定点的距离等于常数构成。

圆的方程常用一般式表示，即(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)表示圆心坐标，r表示半径。

通过圆的方程，我们可以求解圆与直线的交点、判断圆的位置关系以及解决与圆相关的实际问题。

例如，利用圆的方程可以求解电路中的电阻分布，或者计算机图像中的特定形状的边界。

三、空间解析几何的拓展3.1 空间直线的方程与性质空间解析几何是解析几何的拓展内容，主要研究空间中的点、直线和平面等。

解析几何长度、面积

解析几何中的长度、面积问题近几年解析几何中的“长度与面积问题”在全国各地的高考试卷中频频出现，此类问题有综合性强、运算量大、思想方法多、思维能力要求高等特点.对这类问题，要采取恰当的处理方法，才能快速、有效地找到解题，少走弯路。

那么如何计算和处理线段长度(包括弦长、两点间的距离)，我总结了以下几条途径：一、与圆相关的线段长度的计算和处理，应借助于圆心和半径．必要时利用平面几何的某些结论，比如大家熟悉的圆的弦长、切线长的计算。

例 (2016·淮阴中学)已知圆M ：x 2+y -4 2=4，点P 是直线l ：x -2y =0上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)当切线P A 的长度为23 时，求点P 的坐标.(2)若△P AM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB 长度的最小值.【解答】(1) P (0，0)或P 165 ,85 .(2)定点(0，4)，85 ,45 .(3)因为圆N 方程为x -b 2+y -b +42 =4b 2+(b -4)24，即x 2+y 2-2bx -(b +4)y +4b =0， ①圆M ：x 2+(y -4)2=4，即x 2+y 2-8y +12=0， ②，②-①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在的直线方程为2bx +(b -4)y +12-4b =0，点M 到直线AB 的距离d =45b 2-8b +16 ，相交弦长即AB =24-d 2 =41-45b 2-8b +16 =41-45b -45 2+645，当b =45 时，AB 有最小值11 .练1、已知在平面直角坐标系中，点A (2，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有___3__条．2、若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ax +2ay -9=0(a >0)相交，公共弦的长为2，则a =102 .3、已知圆C 1：(x -2)2+(y -3)2=1，圆C 2：(x -3)2+(y -4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM +PN 的最小值为52 -4．二、圆锥曲线上涉及到焦点的距离，可以考虑圆锥曲线的定义和统一定义，从而实现从难到易、化繁为简的目的．21．（重庆2015理，21）如图，椭圆x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点，且PQ ⊥PF 1（1）若PF 1 =2+2 ,PF 2 =2-2 ，求椭圆的标准方程（2）若PF 1 =PQ ,求椭圆的离心率e .(2)解法一:如图(21)图，设点P (xo ,yo )在椭圆上，且PF 1⏊PF 2，则x 02a 2 +y 02b 2 =1,x 02+y 02=c 2求得x 0=±c a a 2-2b 2 ,y 0=±b 2c由PF 2>PF 2 ,得x 0>0,从而PF 1 2=c a a 2-2b 2 +c 2+b 2c=2(a 2-b 2)+2a a 2-2b 2 =(a +a 2-2b 2 )2由椭圆的定义，PF 1 +PF 2 =2a ,QF 1 +QF 2 =2a ,从而由PF 1 =PQ =PF 2 +QF 2 ,QF 1 =4a -2PF 1又由PF 1⏊PF 2,PF 1 =PQ 1 知QF 1 =2 PF 1 , 因此2+2 PF 1 =4a 于是2+2 (a +a 2-2b 2 )=4a 解得e =12 1+42+2 -12 =6 -3 解法二：如图（21）图由椭圆的定义，PF 1 +PF 2 =2a ,QF 1 +QF 2 =2a ,从而由PF 1 =PQ =PF 2 +QF 2 ,有QF 1 =4a -2PF 1又由PF 1⏊PF 2,PF 1 =PQ 知 QF 1 =2 PF 1 ,因此4a -2PF 1 =2 PF 1 ,PF 1 =2(2-2 )a ,从而PF 2 =2a -PF 1 =2a -(2-2 )a =2(2 -1)a由PF 1⏊PF 2,知PF 1 2+PF 2 2=(2c )2=4c 2,因此e =c a =PF 1 2+PF 2 2 2a =(2-2 )2+(2 -1)2 =9-62 =6 -3 练（1）(2016·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 13 ,+∞ .(2)已知双曲线x 2a 2 -y 2b2 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且BC =CF 2，则双曲线的渐近线方程为y =±(3+1)x ．（3）已知定点A (1,-1),F 为椭圆x 24 +y 23=1的右焦点，点P 为椭圆上的动点，则P A +2PF 的最小值为 3三、分量法水平线段和竖直线段的长度计算，比起一般线段长度的计算要简单的多，因此，设法把斜线段的长转化为水平(或竖直)线段的长可以起到从难到易、化繁为简的效果，特别对于线段长度的比例运算，更是有立竿见影的作用．例：(2016·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2 +y 2b2 =1(a >b >0)的离心率e =12 ，左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .(1)求椭圆C 的方程.(2)已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD +AE OM的最小值. 【解答】(1) x 216 +y 212=1.(2) Q 的坐标为(-3，0)(3)因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y =kx ，由x 216 +y 212 =1y =kx得点M 的横坐标为x M =±43 4k 2+3 ，由OM ∥l ，得AD +AE OM =x D -x A +x B -x A x M =x D -2x A x M =-16k 2+124k 2+3 +843 4k 2+3 =13 ⋅4k 2+94k 2+3 =13 (4k 2+3 +64k 2+3 )≥22 ，当且仅当4k 2+3 =64k 2+3 ，即k =±3 2 时取等号，所以当k =±3 2 时，AD +AE OM 取得最小值为22 .例：（四川2015理，20）如图，椭圆E ：x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率是2 2 ，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22 .(1)求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =P A PB恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 24 +y 22=1；（2）存在，Q 点的坐标为Q (0,2).(2)当直线ι与x 轴平行时，设直线ι与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则QC QD =PC PD=1,即QC =QD 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,n ),当直线1与x 轴垂直时，设直线1与椭圆相交于M 、N 两点则QM QN =PM PN ,有y 0-2 y 0+2=2 -12 +1 ,解得y 0=1,或y 0=2所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,,2)下面证明:对任意的直线ι，均有QA QB =P A PB当直线ι的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线ι的斜率存在时，可设直线ι的方程为y =kx +1, A B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2联立x 24 +y 22 =1y =kx +1,得 2k 2+1 x 2+4kx -2=0其判别式△16k 2+8(2k 2+1)>0所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1 ,x 1x 2=-22k 2+1 因此1x 1 +1x 2=x 1+x 2x 1x 2 =2k 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2)又kQA =kQB ,即Q ,A ,B 三点共线所以QA QB =QA QB =x 1 x 2 =P A PB 故存在与P 不同的定点Q (0,2),使得QA QB =P A PB恒成立四、向量法，解析几何的“长度问题”如果能与向量结合，利用向量知识与方法可将长度问题向量化，就能收到事半功倍的解题效果。

专题解析几何中面积问题的研究与拓展样本

专题7.22: 解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1: 如图, 设A ,B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点, 过原点O 作直线交线段AB 于点M ( 异于点A , B ) , 交椭圆于C , D 两点( 点C 在第一象限内) , ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．( 1) 若M 是线段AB 的中点, 直线OM 的方程为13y x =, 求椭圆的离心率; ( 2) 当点M 在线段AB 上运动时, 求12S S 的最大值．解: ( 1) 232=e ; (2)设),(),,(0000y x D y x C --,( 0,000>>y x )abay bx abab ay bx ab ay bx ab ay bx ab ay bx S S ++-=++-+=----+=00000000002121令00ay bx t +=1: 三角换元: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθt ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0(πθ),当且仅当2=t 时( 此时4πθ=时等号成立) ,21S S 可取得最大值223-2: 基本不等式的应用: 222202021)()(t b a ay bx ≥=+,同理可得结果椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行; 且在该交点处, 此时21,S S ,21S S 都是最大的.探究2: 如图, 椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32, x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C 1的长半轴长 ( 1) 求C 1, C 2的方程;( 2) 设C 2与y 轴的焦点为M, 过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C 1相交与D,E ．( I) 证明: MD ⊥ME;( II) 记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问: 是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.解: ( 1) 由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a a c e 解得又从而故C 1, C 2的方程分别为.1,14222-==+x y y x( 2) ( i) 由题意知, 直线l 的斜率存在, 设为k, 则直线l 的方程为kx y =.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x . 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根, 于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为( 0, —1) , 因此2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k 故MA ⊥MB, 即MD ⊥ME.( ii) 设直线MA 的斜率为k 1, 则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或, 则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -,同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k 解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或, 则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为k1-, 同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++由题意知,2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、 B 的坐标可知,21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在, 且有两条, 其方程分别为.2323x y x y -==和探究3: 如图, 已知椭圆22143x y +=的左焦点为F , 过点F 的直线交椭圆于,A B 两点, 线段AB 的中点为G , AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点． ( 1) 若点G 的横坐标为14-, 求直线AB( 2) 记△GFD 的面积为1S , △OED ( O 积为2S ．试问: 是否存在直线AB , 使得1S =解: ( 1) 21±=k ( 2) 不存在, 计算可得892-=k探究4: 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =, 12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点, 圆2A 的半径为a , 过点1A 作圆2A 的切线, 切点为P , 在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ( 1) 求直线OP 的方程; ( 2) 求1PQ QA 的值;Py xNMBAO解: ( 1) 连结2A P , 则21A P A P ⊥, 且2A P a =, 又122A A a =, 因此1260A A P ∠=. 因此260POA ∠=, 因此直线OP 的方程为3y =.⑵由⑴知, 直线2A P 的方程为3()y x a =--, 1A P 的方程为3)y x a +, 解得2P ax =. 因为3e , 即3c a =因此2234c a =, 2214b a =, 故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由22223),341,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-, 因此1()3274()7a aPQ a QA a --==---．⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>,联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22()1414B k k ++, 因此22114k OB a k +=+用1k -代替上面的k , 得2214k OC ak +=+．同理可得, 21OM k=+, 21ON k=+．因此4122214(14)(4)S S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=++．因为22221115(14)(4)4()17k k k k++++,当且仅当1k =时等号成立, 因此12S S ⋅的最大值为45a探究5: 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C : 22221x y a b+=(0)a b >>过点A (1,1)-, 6( 1) 求椭圆C的方程;( 2) 设点B是点A关于原点O的对称点, P是椭圆C上的动点( 不同于A, B) , 直线AP, BP分别与直线3x=交于点M, N, 问: 是否存在点P使得PAB∆和PMN∆的面积相等? 若存在, 求出点P的坐标, 若不存在, 说明理由．解: ( 1) 由题意得22222 111,,6,a ba b ccea⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩………………… 2分解得2244,3a b==．………………… 4分∴椭圆C的方程为223144x y+=．………………… 5分( 2) 如图, B点坐标为(1,1)-, 假设存在这样的点P00(,)x y,则直线AP的方程为011(1)1yy xx--=++,探究6: 已知点M是圆C: 22(1)8x y++=上的动点, 定点D( 1, 0) , 点P在直线DM 上, 点N在直线CM上, 且满足2DM DP=, NP DM⋅=0, 动点N的轨迹为曲线E。