第十章无穷级数4

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无穷级数

第十章无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散（6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性（6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛（逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。

无穷级数的概念与性质

无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。

一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。

一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。

无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。

二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。

它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。

等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。

等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。

3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。

例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。

三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。

如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。

无穷级数知识点总结

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。

高等数学第十章无穷级数教案

第1次课的教学整体安排n a +越大，则近似程度越好。

如果内接正多边形的边数无限增加，即n a +的极限就是所要求的圆面积。

这时和数中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数依次相加得式子。

将上面面积问题抽象出来，就得到无穷级数的一般概念。

,,n u ，那末表达式3n u u ++++（常数项）级数，记为1nn u∞=∑，即n u ++，一般项或通项．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个相加呢？联系到我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数n u + ，时，级数的部分和就构成一个新的数列：，1n n s u u u =++，根据这部分和数列有没有极限，我们引进无穷级数（1-1）的收敛与发散的概念。

n u ++，发散，这时级数（1-1）没有和是级数和s 的近似n k u ++++发散；级数发散，但(11)(1-+-在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性n收敛，则对这个级数的各项间任意加括号所得的级数112111)()()k k n n n n n u u u u u -+++++++++++(1-4)仍收敛，且其和不变。

）性质4推论：如果加括号后所成的数列发散，那么原来级数也发散。

）收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛．例如，级数 (11)(11)-+-+收敛于零，但级数1n++但是它是发散的。

（这是一个常用级数，能否既表示级数又表示级数的和？n u ++。

不论级数收敛还表示，当且仅当级数收敛时，记号1nn u∞=∑才表示这级数的1,2,），这种级数称为n u ++，由于0n u ，其部分和=1k u ∑ （1,2,n =）2,)，即正项级数1n n u ∞=∑的部分和数列增加数列，于是有下列两种可能情形：2,)，故10=≤∑n k k u 的部分和数列有界，由定理1知级数。

1n u∞=∑收敛。

．根据极限定义，存在正整数)，且级数1 (1,2,)n n n b +=，因此即根据正项级数1nn b∞=∑收敛，11a b ≤，于是2,)，又级数1na∞=∑收敛。

无穷级数知识点总结简短

无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。

2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。

如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。

3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。

这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。

4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。

这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。

5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。

例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。

总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。

高等数学课件第十章无穷级数4

第十章无穷级数
§4 函数项级数
函数项级数：设un(x),(n=1, 2, 3, )是定义在集合D 上的函数序列,则称和式
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n1
为定义在集合D上的函数项级数。
例1. xn1 1 x x2 xn1 n1 为定义在 R 上的幂级数.
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散. 收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
sin nx
例2.
n1
n2
为定义在(–, + )上的三角级数.
§4 函数项级数
收敛点、发散点和收敛域：若对x0∈D,数项
级数 un (x0) 收敛（发散），则称x0为该函数项 n1
级数的收敛点（发散点）。收敛点的全体X称为收敛域，发散点全体称为发散域。
使得当n N时，对x [a,b],均有
| fn (x) f (x) | .
y f (x)
y f (x)
y fn (x)
y f (x)
fn (x) xn (1 xn ) 0, 当0 x 1时.
在(0,1)上fn (x)
1
不一致收敛； 4
fn (x)
在(0, a（) 0 a 1)上fn (x) 一致收敛。
解由达朗贝尔判别法
un1( x) un ( x)
n 1 n1 1 x
1 1 x
(n )
(1) 当 1 1, 1 x 1,即 x 0或x 2时,
1 x 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 即 2 x 0时, 原级数发散. 1 x
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x
1
f1(x) x f2(x) x2

无穷级数重要知识点总结

无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。

它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。

无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。

当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。

通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。

通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。

即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。

即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。

这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。

无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。

2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。

无穷级数(全)

无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。

(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数

第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，．如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±．（3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑．解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ．解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ．解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ．解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ．解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ．解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑．解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑．解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ．解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑，故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。

第十章无穷级数

a geometric demonstration:
1 1 1 2 2 3 1 ( x x )dx ( x x )dx 0 2 0

( x n 1 x n )dx
0
1
1 1 1 2 2 3 3 4 1 n(n 1)
上的函数族 {un ( x)}
n1
n 1

与数项级数类似，若定义在相同区间 I [a, b] ，称和式
u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
为函数项级数。
简单地说，无穷级数就是无穷多项数或函数相加的理论，它是高等数学的重要内容之一。无穷级数在数学的各个分支中都有重要应用，如：近似计算公式：
为级数的余项. 显然
例1 判别级数
n 的敛散性。
n 1

n 1 例2 判别级数 ln 的敛散性。 n n 1
例3 讨论等比级数 (又称几何级数 geometric series)
( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q 1 则部分和

a lim S q 1 时，n n 1q a 因此级数收敛 , 其和为 1 q lim S n , q 1 时，
证: 令 S n
n
n 1
k 1
uk ,
n
则 n c uk c S n ,
cS
lim n
这说明
c un 收敛 , 其和为 cS .
注: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
3 1 例6 求级数 ( n ) 的和。 2 n 1 n( n 1)
回顾：广义积分

1
p 1 时，收敛。 p 1 时，发散。

（完整版）无穷级数总结

（完整版）⽆穷级数总结⽆穷级数总结⼀、概念与性质1. 定义：对数列12,,,n u u u L L ，1n n u ∞=∑称为⽆穷级数，n u 称为⼀般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响⼀个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①⼀个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②⼀个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常⽤判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成⽴．⼆、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法①定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.②审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）⽐较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=L ，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成⽴，则①收敛；若②发散，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成⽴，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=L ，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n ≥=L ，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常⽤的⽐较级数：①⼏何级数：∑∞=-??≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③调和级数：∑∞=++++=112111n nn ΛΛ发散．（iii ）⽐值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞n n a 发散．注：若1lim1=++∞→nn n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，⽽∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，⽽)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，⼀般不⽤⽐值法与根值法，⼀般会使⽤⽐较判别法．正项级数的⽐（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分⾮必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=L ，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：⽐较n u 与1+n u 的⼤⼩的⽅法有三种：①⽐值法，即考察nn u u 1+是否⼩于1；②差值法，即考察1+-n n u u 是否⼤于0；③由n u 找出⼀个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),(Λ==n n f u n 考察)(x f '是否⼩于0． 3.⼀般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若⽤⽐值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性①阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满⾜0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满⾜1x x >的所有x 处发散．②收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在⼀个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满⾜条件l a a nn n =++∞→1lim，或l a nn n =+∞→lim，则当+∞<R 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的⽅法却有很⼤的差异．前⼀个可直接⽤公式，后⼀个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能⽤求半径的公式直接求，须⽤求函数项级数收敛性的⽅法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为⼀点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为⼀个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即??∑+∞===x xn dt t a dt t S 0)()(∑?+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n Λ)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈?=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ；（ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ；（iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x αααααΛ；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从⽽得到新级数的和函数；注：系数为若⼲项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i ）利⽤级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121Λ．根据n s 的求法⼜可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适⽤于∑∞=1k ku为等差或等⽐数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除⾸尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅⾥叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅⽴叶系数．②定义2：以)(x f 的傅⽴叶系数为系数的三⾓级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ? -==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1Λπ， ?-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1Λπ为系数的三⾓级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x l n b x l n a a ππ称为)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为 ∑∞=++10)sin cos(21)(n n n x ln b x l n a a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄⾥赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满⾜条件①除有限个第⼀类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅⽴叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第⼀类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅⽒级数①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos Λ=n nxdx ，1=),2,1(sin Λ=n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 2()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ll n x f la )(1),2,1,0(cos Λ=n xdx l n π，?-=l l n x f l b )(1),2,1(sin Λ=n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 02()sin l n n b f x xdx l l π=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n . ②⾮周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；B. )(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，则令?<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=?),2,1(Λ=n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，0()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n .B.)(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=?),2,1,0(Λ=n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄⽒条件．画图易于验证狄⽒条件，易看出奇偶性；②求出傅⽒系数；③写出傅⽒级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。