第十章无穷级数4
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§10.4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定理1
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n 1)阶的导数,则当 x
在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个n次多 项式与一个余项 Rn( x)之和:
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
n(n2)
n0 (n1)!
(n1)!
从 而 lim
xn1
0,
n(n1)!
则 R n (x ) 0(n ).
ex 1 x1x 2 1x n x (, )
2 !
n !
例2 将 f(x)sixn 展开 x的成 幂 . 级数
解 f(n)(x)sin x(n),f(n)(0)sinn,
2
2
f(2n)(0)0, f(2n 1)(0)( 1)n,(n0,1,2,)
23
n
x(1,1]
例4 将 f(x) x54x4展开 x的 成 幂 . 级数
解 1x11x1x213x3 ( 1 )n(2 n 3 )!!xn
2 24 246
(2 n )!!
f(x)2x2(1x)12 4
[ 1 ,1 ]
2 x 2 11 24 xn 2( 1 )n 1(2 (n 2 n )3 !)!! !4 x n
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 )
令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )
泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
定义 如 果f(x)在 点 x0处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
f( n )( 0 ) ( 1 ) ( n 1 ),(n0,1,2,)
于是得级数
1 x ( 1 ) x 2 ( 1 ) ( n 1 ) x n
2 !
n !
lim a n1 lim n 1, R1, n a n n n 1
ln im Rn(x)0 x(1,1)
解 f(n)(x)ex, f(n )(0 ) 1 . (n 0 ,1 ,2 , )
于 是 1 得 x1级 x 2 数 1x n
2 !
n !
余
项Rn(x)
e xn1 (n1)!
e x x n1 (n 1)!
x( , )
xn2
l i m(n2)! n
xn1
x l i m
0 正 项 级数xn1 收 敛 。
n 0f(nn )(!x0)(xx0)n称 为f(x)在 点 x0的 泰 勒 级 数 .
n0
f(n n)!(0)xn称 为f(x)在 点 x00的 麦 克 劳 林 级 数 .
问题 f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.
例如f(x)ex12, x0 0, x0
Βιβλιοθήκη Baidu
x)
在U
(
x0
)内
lim
n
Rn
(
x)
0.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1)求anf(nn)(!x0);
(2)写出幂级数，并求敛 出半 收径R。 (3 )讨ln i 论 R m n0或 f(n )(x)M , 若(3)成立，则级数在 间收 内敛 敛 收于 区 f(x).
例1 将f(x)ex展开成幂. 级数
( 1 x ) 1 x ( 1 ) x 2 ( 1 ) ( n 1 ) x n
2 !
n !
x(1,1)
当 1时, 有
2
1 x 1 1x1x 21 3x 3 ( 1 )n(2 n 3 )!! x n
2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 1 1 x 1 3x 2 1 3 5x 3 ( 1 )n (2 n 1 )!x !n
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
f(x)的麦氏级 数 0xn为
n0
该级 (, 数 )内 在 和 s(x ) 函 0 .可见数
除x0外, f(x)的麦氏级数处于处 f(x不 ).
定理 2 f ( x)在点 x0的泰勒级数,在U ( x0 )内收
敛于
f
(
1 x 2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
双阶乘
( 1 ,1 ]
2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
arctxan0x1dxx2
x 1x 3 1x 5 ( 1 )nx 2 n 1
35
2 n 1
x[1,1]
ln1(x) x dx 0 1x
x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
且f(n)(x) sin(x n) 1 x(, )
2
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x(, )
例3 将 f(x)(1x)( R )展x 开 的成 幂 .
解 f ( n ) ( x ) ( 1 ) ( n 1 ) 1 x ( ) n ,
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn( x)
f (n1)( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1
( 在x0与
x之间).
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 )的幂级数,
即 f ( x) an ( x x0 )n
n 0
则其系数
an
1 n!
f
(n) ( x0 )
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的.
证明 an(xx0)n在 u(x0)内收 f(x 敛 )即 , 于
n0
f ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 ) n
逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1
一、泰勒级数
定理1
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n 1)阶的导数,则当 x
在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个n次多 项式与一个余项 Rn( x)之和:
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
n(n2)
n0 (n1)!
(n1)!
从 而 lim
xn1
0,
n(n1)!
则 R n (x ) 0(n ).
ex 1 x1x 2 1x n x (, )
2 !
n !
例2 将 f(x)sixn 展开 x的成 幂 . 级数
解 f(n)(x)sin x(n),f(n)(0)sinn,
2
2
f(2n)(0)0, f(2n 1)(0)( 1)n,(n0,1,2,)
23
n
x(1,1]
例4 将 f(x) x54x4展开 x的 成 幂 . 级数
解 1x11x1x213x3 ( 1 )n(2 n 3 )!!xn
2 24 246
(2 n )!!
f(x)2x2(1x)12 4
[ 1 ,1 ]
2 x 2 11 24 xn 2( 1 )n 1(2 (n 2 n )3 !)!! !4 x n
f ( n ) ( x ) n ! a n ( n 1 ) n 3 2 a n 1 ( x x 0 )
令xx0, 即得 a nn 1 !f(n )(x 0) (n0 ,1 ,2 , )
泰勒系数是唯一的, f(x)的展开式是唯. 一
定义 如 果f(x)在 点 x0处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
f( n )( 0 ) ( 1 ) ( n 1 ),(n0,1,2,)
于是得级数
1 x ( 1 ) x 2 ( 1 ) ( n 1 ) x n
2 !
n !
lim a n1 lim n 1, R1, n a n n n 1
ln im Rn(x)0 x(1,1)
解 f(n)(x)ex, f(n )(0 ) 1 . (n 0 ,1 ,2 , )
于 是 1 得 x1级 x 2 数 1x n
2 !
n !
余
项Rn(x)
e xn1 (n1)!
e x x n1 (n 1)!
x( , )
xn2
l i m(n2)! n
xn1
x l i m
0 正 项 级数xn1 收 敛 。
n 0f(nn )(!x0)(xx0)n称 为f(x)在 点 x0的 泰 勒 级 数 .
n0
f(n n)!(0)xn称 为f(x)在 点 x00的 麦 克 劳 林 级 数 .
问题 f(x) ? n 0f(nn )(!x0)(xx0)n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.
例如f(x)ex12, x0 0, x0
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x)
在U
(
x0
)内
lim
n
Rn
(
x)
0.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1)求anf(nn)(!x0);
(2)写出幂级数，并求敛 出半 收径R。 (3 )讨ln i 论 R m n0或 f(n )(x)M , 若(3)成立，则级数在 间收 内敛 敛 收于 区 f(x).
例1 将f(x)ex展开成幂. 级数
( 1 x ) 1 x ( 1 ) x 2 ( 1 ) ( n 1 ) x n
2 !
n !
x(1,1)
当 1时, 有
2
1 x 1 1x1x 21 3x 3 ( 1 )n(2 n 3 )!! x n
2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
[ 1 ,1 ]
1 1 1 x 1 3x 2 1 3 5x 3 ( 1 )n (2 n 1 )!x !n
在x=0点任意可导, 且 f(n )(0 ) 0(n 0 ,1 ,2 , )
f(x)的麦氏级 数 0xn为
n0
该级 (, 数 )内 在 和 s(x ) 函 0 .可见数
除x0外, f(x)的麦氏级数处于处 f(x不 ).
定理 2 f ( x)在点 x0的泰勒级数,在U ( x0 )内收
敛于
f
(
1 x 2 2 4 2 4 6
(2 n )!!
双阶乘
( 1 ,1 ]
2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
arctxan0x1dxx2
x 1x 3 1x 5 ( 1 )nx 2 n 1
35
2 n 1
x[1,1]
ln1(x) x dx 0 1x
x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
且f(n)(x) sin(x n) 1 x(, )
2
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x(, )
例3 将 f(x)(1x)( R )展x 开 的成 幂 .
解 f ( n ) ( x ) ( 1 ) ( n 1 ) 1 x ( ) n ,
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn( x)
f (n1)( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1
( 在x0与
x之间).
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 )的幂级数,
即 f ( x) an ( x x0 )n
n 0
则其系数
an
1 n!
f
(n) ( x0 )
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的.
证明 an(xx0)n在 u(x0)内收 f(x 敛 )即 , 于
n0
f ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a n ( x x 0 ) n
逐项求导任意次,得
f ( x ) a 1 2 a 2 ( x x 0 ) n n ( x x a 0 ) n 1