第10章第二节无穷级数的性质与敛散性 优质课件

n 1

D．若 ，则级数 都发散 lim n
un

0
(u2n1 u2n )
n1
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敛，则原来级数未必收敛。
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例如 将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
vn
)收敛，则级数


un
,

vn
都收敛
n1
n 1
n 1
C．若级数


un
收敛，
vn
发散，则级数


(un

vn )
必发散
n 1
n 1
n1
D．若级数

(un

vn)发散，则级数 un,

vn
都发散
n1
n 1
n 1
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lim
n
n1
n1
n1

如果级数 un收敛（发散）， 为任一常数且，
n1
则级数 也收敛（发散），且收敛时有


kun kun
n1
n1
即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。
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例1. 判别级数
7 2n
n1
的敛散性。
解
来自百度文库
显然
n7 2n
性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
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课堂练习：习题10 - 2
1．选择题：
（1）下列命题正确的是（ ）；

A．若
lim
n
un
0,则级数
un 收敛
n 1

B．若
lim
n
un

0
,则级数
un
n 1
收敛

C．若级数
un发散，则
n 1
lim
得到的新级数不收敛。
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性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解 因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
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第二节
第十章
无穷级数的性质与敛散性
由无穷级数的敛散性定义可知，级数的收 敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问 题，因此，我们能够应用数列极限的有关性质。 来得到级数的一系列重要性质。
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性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2
n


(un vn ) un vn S W
本节小结
级数敛散性的判断方法：
性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响 级数的敛散性。
性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
n
un

0

D．若级数
un
n 1
发散，则必有
lim
n
un


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lim
n
un

0
习题10 - 2 1．选择题：
（2）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数


un
,

vn

发散，则级数 (un vn) 必发散
n 1
n 1
n1
B．若级数

(un
un

0
习题10 - 2 1．选择题：
（3）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数
(u2n1 u2n )
收敛，则级数


un
,
收敛
n1
n 1
B．若级数 收敛，则
(u2n1 u2n )
n1
lim
n
un

0
C．若级数


(u2
n1

u2n
)
发散，则级数


u
n
发散
n1
n1

n n1
7

1 2n
而几何级数
n 1
7 2n
收敛，由性质２得

级数
7
2n
n 1
也收敛。
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性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项， 不影响级数的敛散性。
性质4 如果级数
收敛于Ｓ，则对其各项间
任意添加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
注意：当原级数收敛时，任意括号后所得到新级 数也收敛，反之则不然。如果加括号后的级数收