第10章第二节无穷级数的性质与敛散性 优质课件
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
第10章第二节无穷级数的性质与敛散性
收敛，则级数 u , v 都收敛
n 1 n
n 1
n
v 发散，则级数 (u C．若级数 u 收敛，
n 1 n
n 1
n
vn ) 必发散
D．若级数 (u
n 1
n
vn )
发散，则级数 u , v 都发散
n 1 n
n 1
n
机动
目录
上页
下页
返回
结束
vn ) u n vn S W
n 1
n 1
性质2 如果级数 un收敛（发散）， 为任一常数且，
n 1
则级数
也收敛（发散），且收敛时有
n
ku
n 1
k un
n 1
即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
7 例1. 判别级数 n n 1 2
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响 级数的敛散性。 性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。 性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
机动
目录
上页
下页
返回
结束
课堂练习：习题10 - 2
1．选择题：
（1）下列命题正确的是（ ）；
u n 收敛 un 0,则级数 A．若 lim n 1 n u n 收敛 lim u 0 , 则级数 n B．若 n n 1 u n 发散，则 lim u n 0 C．若级数 n n 1 u n 发散，则必有 lim un D．若级数 n n 1
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
第十章 无穷级数
第十章 无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n nu叫无穷级数，简称级数。
n u 叫∑∞=1n nu的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。
【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1...321211)1(1n n n n n ②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (323)21++++=∑∞=nn nne e e e ne④......32321++++=∑∞=n x x x x nx nn n 2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数：②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n nx u中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n nn xa 称为幂级数。
3.级数∑∞=1n nu的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n nu的部分和数列。
敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S Su u S u S S S 【例】①∑∞=+1)1(1n n n 111)111(...)3121()211()1(1...321211+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数 （1）∑∞=-11n n aq几何级数，首项a ，公比qqq a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n a a a a a S q S n na S q q 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qaS n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n 收敛nn n n S 211211)211(2121...21212-=--=+++= ∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n n n ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n 发散调和级数 (31)21111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质 1.∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n 发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n nu中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。
高等数学-无穷级数课件
lim
n
Sn
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.结论记住
注意 几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函
数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
2．数项级数的基本性质
性质1
如果级数
u
n
收敛，其和为s,
k为常数，则级数
n 1
ku
n
也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数 kun也发散.
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
un
n 1
收敛.下面的例正说明了这一点：lim 1
n n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Snn1如图，源自u收敛．n
n 1
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
第13页/共122页
对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
第4页/共122页
对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数
1 4p
1 5p
1 6p
1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p
)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.
的敛散性.
注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.
第二节
正项级数及其敛散性
一、正项级数及其收敛的充要条件
二、正项级数收敛的比较判别法
三、正项级数收敛的比值判别法
一、正项级数及其审敛法
定义 设级数
u1 u2 un (1)
即u n 0, 则称此级数是 的每一项都是非负数,
n 1
u n 和 vn 都是正项
n 1
若级数 v 收敛，则级数 u n 收敛； n
n 1
反之，若级数
n 1
un
n 1
发散，则级数 vn 也发散.
n 1
推论 设级数 u n 和 vn 是两个正项级数，
n 1
n 1
且存在自然数N，使当 n N 时，有 u n kvn （k>0)
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数
n 1
u n 收敛于和s，则它的各
n 1
项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.
kun
性质2 如果级数 u n 、 vn 分别 n 1 n 1 收敛于 s和
无穷级数
xn 例5 判定级数 ( x 0)的敛散性. n 1 n n 1 x u n 1 1 解： lim lim n n un n x n n n lim xx n n 1
x 级数 n 1 n
n
当0 x 1时收敛， 当x 1时发散; 当x 1时为调和级数，发散.
p
1 4p
1 5p
1 6p
1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p
)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.
n 级数 n收敛，因此原级数也收敛. n1 2
例7 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 3 10 10 10 10
解:
u n 1 (n 1)! 10 n 1 n 1 . un n! 10 10 u n 1 n 1 lim lim n un n 10
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时, 1 1 p , 由比较判别法知 , n n
1 调和级数 是发散的 ; n 1 n 1 p 级数 p 也发散 . n 1 n
无穷级数的课件
练习题答案
一 、 1、
1 2 24 246 2468 1! 2 ! 3! 4! 5! 2 3 4 5； 2、 1 1 2 3 4 5
n
12
135
1357
13579 2 4 6 8 10
；
3、
x2 2 4 6 (2n)
1 3 1 4 9 ) A1 ( 1
lim A n A1 ( 1
n
3 5
)
2 3 5
.
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq a aq aq aq (a 0)
n 2 n n 0
n
1 n1
n
) 5,
1 2 1 2
2 n 是等比级数
n1
1
, 公比 q
1
1 , 首项是
，
2n
n1
1
lim h n
n
2 1 1 2
1,
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n ( n 1)
解
n( n 1) 2 n
n1 n1
5
1
1 1 5 n 1 n1 n ( n 1) n1 n 5 1 1 1 令 gn 5 ), 5 (1 k 1 n1 k 1 k
n
lim g n 5 lim ( 1
n
7
1 2 .3 3 10 n 0 100 17
第十章 无穷级数
则
1).若
v
n 1
n 1 n
n
收敛,则
u 收敛;
n 1 n
2).若
u 发散,则
v 发散.
n 1 n
calculus
• 证明调和级数发散
1 1 1 1 n 1 2 3 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 4 4 8 8 8 8
1 2 n 1 n (1). ; 2! 3! n! (n 1)!
解:(1).
Sn
1 2 n 1 n 2! 3! n! (n 1)!
1 1 1 1 1 1 n! (n 1)! 1! 2! 2! 3! 1 lim S n 1 级数收敛. n (n 1)!
a 1 q
calculus
当
| q | 1时,
a(1 q ) lim Sn lim n n 1 q
n
, 发散.
n1
aq
n1
当
当
a aq aq aq a ; | q | 1 时,收敛于 1 q
2
n1
| q | 1
时,发散.
sn
构成一个新的数列:
称为(1)的部分和.
s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
sn
称为部分和数列
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，． 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑． 解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ． 解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ． 解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ． 解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ． 解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑． 解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑． 解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑， 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域． 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
仪讯 n? Í
篇 ¶ 恐停 , 艨滞蛐{Sn} 蝎轘 蚱? ý
詹移S? 怫? Ç
.琨祸? 恐万衶Sn }恍 蚱? ⅲ
n
无穷级数课件
1 n 0 n!
收敛.
un 和 v n
n 1 n 1
是两个正项级数，
(1)若级数 vn 收敛，则级数
n 1
u n 也收敛；
n 1
(2)若级数
u n 发散，则级数
n 1
v n 也发散.
n 1
P 级数 1（ P 0 ）的敛散性 例2 讨论 p n 1 n 1 1 ，因为 1 发散，所以由比较判别法知， 解 当 P 1时，n p n n 1 n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： 0 ， lim n n
n 1
1
但级数 1 n 1
n
发散.
例7 证
证明调和级数 1 是发散级数. n 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
调和级数部分和 S n 1 如图，
n k 1
k
考察曲线
1 y , x 1, x n 1和y 0 x
A Ak 1
k 1 n n 1
1 dx ln x |1 n ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
n
，表明A的极限不存在，所以该级
数发散.
二、正项级数及其敛散性
如果 u n ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u n 为正项级数
n 1
1 n 1 1收敛. n 1 n 1 2 nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别35页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 4、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
第十章无穷级数
第十章 无穷级数讲授内容：§10-1 常数项级数的概念与性质教学目的与要求：1．数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念. 2．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重难点：重点——级数收敛与发散概念，尤其是级数收敛的必要条件.难点——用级数收敛性及基本性质判别一些级数收敛性问题.教学方法: 讲授法.教学建议：通过实际的例子（学生原有的知识背景），抽象内容和具体例子的结合，比较自然地引入级数的基本概念；学时：2 教学过程:一．常数项级数的概念1. 定义:设有数列u 1,u 2,…,u n …，称∑∞=1n u n = u 1+u 2+…+u n +…为常数项级数.其中 u n 称为级数的通项(或一般项或第n 项);S n = u 1+u 2+…+u n 称为级数的部分和(或前n 项和); {S n }称为级数的部分和数列. 由部分和数列{S n }的敛散性有: 2. 定义:若∞→n lim S n =s 存在,称级数∑∞=1n u n 收敛,s 称为此级数的和,记为: u 1+u 2+…+u n +…=∑∞=1n u n = s ；否则称此级数发散(或此级数不存在和).当级数收敛于和s 时,称 r n = s －S n =u n+1+u n+2+… 为级数的余项.称|r n |为用S n 代替s 所产生的误差.例1. 讨论等比级数(几何级数)∑∞=0n aq n =a+aq+aq 2+…+aq n+…(a ≠0)的敛散性.解: 当q ≠1时,S n = a+aq+aq 2+…+aq n -1=qaq a n--1 当|q |<1时, ∞→n lim s n =q a -1,所以级数收敛,其和为s=qa -1; 当|q |>1时,级数发散;当q =1时, S n =n a , 级数发散; 当q =－1时,由于S 2n =0,S 2n +1=a (≠0),所以级数发散.综合得:∑∞=0n aq n=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-1|| ,1|| ,1q q q a发散 例2. 判别级数∑∞=1n )1(1+n n =211∙+321∙+…+)1(1+n n +…的敛散性.解: 由于u n =)1(1+n n =n 1-11+n ,所以,S n =1－11+n →1 于是级数收敛于和1.例3. 讨论调和级数∑∞=11n n 的敛散性.解:假设级数收敛于和s,则有,S n →s,S 2n →s, (n →∞),从而: S n －S 2n →0,(n →∞) 又:S n －S 2n =11+n +21+n +…+n 21≥n 21+n 21+…+n 21=21所以 S n －S 2n 0(n →∞)于是级数发散. 二．收敛级数的性质性质1. 设Σun =s,则Σkun=ks(k为常数)证明:设Σun 和Σkun的部分和分别为Sn和σn,则σn=kSn.由Sn →s,得σn=kSn→ks(n→∞)又当k≠0时,若{Sn }不存在极限,则{Sn}也不存在极限.由此得到:级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的敛散性不变.性质2. 若Σun =s,Σvn=σ,则Σ(un±vn)=s±σ.证明:设Σun 、Σvn和Σ(un± vn)的部分和分别为Sn、σn和τn,则τn =Sn±σn→s±σ(n→∞).从而得到:两个收敛的级数可以逐项相加和逐项相减.发散的级数不满足此条性质,例如当a≠0时,级数Σa和Σ(－a)都发散,但Σ[a+(－a)]=0.性质3. 在级数中去掉、加上、或改变有限项,级数的敛散性不变.证明:只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的敛散性”,其它情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数u1+u2+…+uk+ uk+1+uk+2+…+uk+n+…的前k项去掉,得新级数:uk+1+uk+2+…+uk+n+…设Σun 的部分和为Sn,则新级数的部分和为σn=u k+1+u k+2+…+u k+n=S n+k－S k由于Sk 为常数,所以{σn}和{Sn+k}同时收敛或同时发散.同样可以证明在级数的前面加上有限项,也不会改变级数的敛散性.性质4. (级数收敛的必要条件)若级数Σun收敛,则有un→0(n→∞)证明:设Σu n 的部分和为S n ,且S n →s(n →∞),则u n =S n －S n －1→s －s=0(n →∞)由此可知,若u n 0(n →∞),则级数Σu n 必定发散. 例4、∑∞=+1n 12n 1-n发散，∵ 02112n 1n lim a lim n n n ≠=+-=∞→∞→ 例5、∑∞=-1n n n3n 3 发散，∵ 013n 3lim n nn ≠-=-∞→注意: 当u n →0(n →∞),级数Σu n 也不一定收敛.例如01lim =∞→n n ,但∑∞=11n n是发散的.作业: 高等数学C 类练习册习题56 教学后记:1.常数项级数的基本概念2.基本审敛法(1)由定义,若S n →s 则级数收敛; (2)当u n 0,则级数发散;(3)按基本性质.教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社 《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社 《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设∑∞=1n nb与∑∞=1n nc都收敛，且n n n c a b ≤≤),2,1( =n ，能否推出∑∞=1n na收敛？讲授内容：§10-2 常数项级数的审敛法教学目的与要求：掌握数项级数收敛性的判别方法.教学重难点：重点——正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.难点——任意项级数收敛性的判别方法.教学方法:讲授法教学建议：与学生互动，让学生真正理解几种收敛法学时：2教学过程:一．正项级数及其审敛法1.定义:若级数Σun 满足un≥0,则称此级数为正项级数.2.定理1.正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}有界.证明:设Σun (un≥0)的部分和数列为{Sn},则显然{Sn}单调上升即有:S1≤S2≤…≤Sn≤….若{Sn}有界,则由单调有界数列必有极限可知,{Sn }必定有极限,从而Σun收敛;若Σun 收敛,则{Sn}必定有极限,由收敛数列必有界可知,数列{Sn}有界.注:若正项级数Σun 发散,则必定有:Sn→∞,（n→∞）定理2.（比较审敛法）设Σun 和Σvn都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,…）.1) 若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;2) 若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.证明:设Σun 和Σvn的部分和分别为Sn和σn.由un≤vn（n=1,2,…）可知:Sn=u1+u2+…+un≤σn=v1+v2+…+vn,1) 若级数Σvn 收敛,则{σn}有界,从而{Sn}有界,所以级数Σun收敛;2)若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.因为若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;与假设矛盾.推论1. 设Σu n 和Σv n 都是正项级数:1)若级数Σv n 收敛,且存在自然数N,使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k>0)成立,则级数Σu n 收敛;2)若级数Σv n 发散,且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k>0)成立,则级数Σu n 发散. 例1.讨论p —级数∑∞=11n pn的敛散性,其中常数p >0. 解: 当p ≤1时,由于1/n p≥1/n ,而∑∞=11n n 发散,所以∑∞=11n p n 发散; 当p >1时,因为当n －1≤x ≤n 时,有p p x n 11≤,所以p n 1=⎰-n n pdx n 11≤⎰-nn p dx x 11=11-p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n (n =2,3,…) 但正项级数∑∞=2n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n 的部分和为:S n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1211p +⎥⎦⎤⎢⎣⎡---113121p p +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n =1-1)1(1-+p n →1(n →∞)所以∑∞=11n p n 收敛. 即 当p ≤1时, ∑∞=11n p n发散; 当p >1时,∑∞=11n pn收敛.由此得到与p —级数相比较的: 推论2. 设Σu n 是正项级数:1) 若有p>1,使u n ≤1/n p (n=1,2,…)则Σu n 收敛; 2) 若u n ≥1/n p (n=1,2,…) 则Σu n 发散. 例2.判别下列级数的敛散性:1)∑∞=+-+12121)1(n n n n n解:由于2121)1(+-+n n n n < 11+-n n n n =21n ,而∑∞=121n n收敛,所以原级数收敛.2)∑⎰∞=+1121n n dx xx解:由于dx x x n ⎰+1021<dx x n⎰10<⎰n dx n 101=231n ,而∑∞=12/31n n收敛, 所以原级数收敛. 3)∑∞=++1211n n n 解:由于:112++n n >n n n ++21=n 1(n ≥2)而∑∞=11n n发散,所以原级数发散.定理3.（比较审敛法的极限形式）设Σu n 和Σv n 都是正项级数,若∞→n limnnv u =l （0<l <+∞）则级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 证明:设ε= l/2,由∞→n limnnv u =l 可知:存在自然数N,当n ＞N 时有: l-2l <n nv u <l+2l , ⇒ 2l v n <u n <23l 由比较法的推论1可知:级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 注:（特殊情形）1) 当l =0时,若级数Σv n 收敛,则级数Σu n 收敛; 2) 当l =+∞时,若级数Σv n 发散,则级数Σu n 发散; 例3.判别下列级数的敛散性1）n nn pπsin 11∑∞= 解: 因为1sin 1lim+∞→p p n n nn ππ=nnn ππsinlim ∞→=1所以n nn p πsin 11∑∞=与∑∞=+11n p n π具有相同的敛散性.又∑∞=+11n p nπ当p >0时收敛, 当p ≤0是发散,所以nnn pπsin11∑∞= 当p >0时收敛, 当p ≤0是发散.2）∑∞=++-+112ln)1(n n n n n 解: 因为∞→n lim 2/3112ln)1(n n n n n ++-+=nn n n n n ++++∞→112lnlim 2/3 =111)111ln(1111lim++++++∞→n n n n nn 所以原级数收敛. 3）∑∞=11n nnn解:因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,所以原级数收敛.或n n =n n n1111个-∙∙∙<n n n 1)1(∙-+=nn 12-<2.所以n nn 1>n21 定理4.(比值判别法)若正项级数Σu n 的后项与前项之比值的极限等于ρ, 即:∞→n limnn u u 1+=ρ, 则1) 当ρ＜1时,级数收敛;2) 当ρ＞1(或ρ=+∞)时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散.证明:1) 当ρ＜1时,取正数ε,使ρ+ε=r ＜1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+＜ρ+ε=r , 即u n +1＜ru n ,从而:u N+1＜ru N ,u N+2＜ru N+1＜r 2u N ,…,u n ＜r n -N u N ,…由于等比级数:ru N +r 2u N +…+r n -N u N +…收敛 (|r|<1) 所以由比较法可知级数u N+1+u N+2+…+u n +…收敛.从而Σu n 收敛.2）当ρ>1时,取正数ε,使ρ-ε=l >1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+>ρ-ε=l , 即u n +1>lu n >u n从而当n ≥N 时{u n }单调增加. 所以u n0,(n →∞)[事实上u n →∞,当n →∞]于是级数Σu n 发散.3）当ρ=1时,Σu n 可能收敛,也可能发散.例如:p —级数:∑∞=11n p n对于∀p,有:nn n u u 1lim +∞→11)1(1lim=+=∞→pp n n n , 但 当p>1时级数收敛,当p ≤1时级数发散.注: 当用比值判别法判断级数发散时,由定理的证明中可以看出,级数通项u n →∞,n →∞.例4.判别下列级数的收敛性:1）∑∞=+123tan)1(n nn π解: ∵nn n u u 1lim+∞→=n n n n n 3tan )1(3tan )2(lim 212ππ+++∞→=31<1, ∴ 级数收敛.2）∑∞=1!22n nn解:∵nn n u u 1lim +∞→=!2)!1(2lim22)1(n n nn n ++∞→=142lim +∙∞→n n n =+∞, ∴级数发散. 3）∑∞=++++++1)1()12)(1()1()12)(1(n nb b b na a a (a ＞0,b ＞0) 解:∵nn n u u 1lim+∞→=1)1(1)1(lim ++++∞→b n a n n =b a∴ 当a ＜b 时,级数收敛;当a ＞b 时,级数发散; 当a =b 时,有u n =1,级数发散. 4）∑∞=∙-12)12(1n nn 解:由于nn n u u 1lim+∞→=1,所以不能用比值法判断.∵212)12(1nn n <∙-∴级数收敛.二.交错级数及其审敛法1. 定义: 称∑∞=--11)1(n n n u =u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n -1u n +…(u n ＞0)或∑∞=-1)1(n nnu =-u 1+u 2-u 3+u 4-…+(-1)n u n +… (u n ＞0)为交错级数.2．定理5.(莱布尼茨(Leibniz)定理) 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:1) u n ≥u n +1(n =1,2,…); 2) n n u ∞→lim =0则级数收敛,且其和s ≤u 1,其余项的绝对值满足:|r n |≤u n +1. 证明:设级数的部分和为S n ,则S 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+…+(u 2n －1-u 2n ) （1） S 2n = u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2n －2-u 2n －1)-u 2n（2）由条件1）可知:（1）、（2）两式中括号内两数的差都是非负的,于是 由（1）知: {S 2n }单调上升,且S 2n ≥0;由（2）知: S 2n ≤u 1;根据单调有界数列必有极限可知数列{S 2n }存在极限,记为s. 且显然s ≤u 1.又由于S 2n +1= S 2n + u 2n +1, 而u 2n +1→0,(n →∞) 所以:S 2n +1= S 2n + u 2n +1→s ,(n →∞). 由于:S 2n +1→s , S 2n →s ,(n →∞),所以:S n →s (n →∞).即交错级数收敛,且其和s ≤u 1.又由于此时余项: r n =±(u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…)所以:|r n |=u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…也是一个交错级数,且满足交错级数的条件,从而且和应小于级数的第一项,即有: |r n |≤u n +1. 例5.判断级数∑∞=--111)1(n n n的敛散性. 解:由于u n =1/n ＞1/(n +1)= u n +1,且u n →0,(n →∞),所以级数收敛. 且知其和s ＜1,以s n =1-21+31-…+n n 1)1(1--代替s 产生的误差r n 满足|r n |≤1/(n +1).例6.判断级数∑∞=--11ln )1(n n nn 的敛散性.解: 级数为交错级数,由于x x x ln lim+∞→=xx 1lim +∞→=0, 所以n x u +∞→lim =nnx ln lim+∞→=0;设 f (x )=xxln , 则有 2ln 1)(x xx f -=', 故当x ≥3时,有)(x f '≥0,从而当x ≥3时,f (x )单调上升,于是当n ≥3时,有 u n =ln n /n ＞ln(n +1)/(n +1)= u n +1.所以该级数收敛.三．绝对收敛与条件收敛1．定义:对于一般项级数Σu n ,若:1) Σ|u n |收敛,则称级数Σu n 绝对收敛; 2) Σu n 收敛,但Σ|u n |发散,则称Σu n 条件收敛.例如:211)1(n n n ∑∞=-是绝对收敛 ; n n n 1)1(1∑∞=-是条件收敛2．定理6 若Σu n 绝对收敛,则Σu n 必定收敛.证明:设Σu n 绝对收敛,即Σ|u n |收敛.记:W n =21(|u n |+u n ), V n =21(|u n |-u n ). 显然:0≤W n ,V n ≤|u n |,由于Σ|u n | 收敛,所以正项级数 ΣW n 和ΣV n 收敛.因为: u n = W n -V n ,由级数的性质可知:级数 Σu n 收敛.注: 1）上述定理的逆不成立;例如:n n n1)1(1∑∞=-收敛,但∑∞=11n n发散.2）对Σu n 敛散性的判断,可以转化为对正项级数Σ|u n |的敛散性的判断; 3）当Σ|u n |发散时,不能断定Σu n 发散,但当用比值法或根值法得到正项级数Σ|u n |发散时,则可断定级数Σu n 发散.(此时有|u n |0,n →∞),从而un0,(n →∞)例7.判断下列级数的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛1）∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 解: 因为∞→n limnn u ||=n n n)11(21lim +∞→=e/2＞1,所以|u n |0,n →∞,从而 un 0,n →∞,因此原级数发散.2）∑∞=-+-11212)1(n n n n解: ∵ ∞→n lim ||||1nn u u +=1222)1(2lim 1+∙++∞→n n n n n =1/2＜1, ∴ Σ|u n |收敛,从而原级数绝对收敛. 3）nn n n n 112)1(11++-∑∞=-解:因为nn n n 1112>++, 而级数∑∞=11n n发散, 所以∑∞=1||n n u =∑∞=++1112n n n n 发散. 由于∞→n limnn n 112++=0,且u n =nn 1)111(++>11)211(+++n n =u n +1, 所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.4）∑∞=1sin1n nn θ解: 由于∞→n lim ||||1nn u u +=∞→n lim nn n n |sin ||sin |11θθ++=|sin θ|所以当|sin θ|＜1,即θ≠2k π±π/2时,级数绝对收敛;当sin θ=1, 即θ=2k π+π/2时,级数发散; 当sin θ=-1, 即θ=2k π-π/2时,级数收敛.5) ∑∞=+-11!2)1(2n nn n解: 由于|un |=!22nn=!)2(nnn>!])11[(nnn+>!)1(nn n+>!nn n>1所以,|un |0,从而,un0.即原级数发散.作业:高等数学C类练习册习题57;高等数学C类练习册习题58 教学后记:1．三个重要的级数：(1) -p级数：∑∞=11npn1≤p（发散）1>p（收敛）(2) 几何级数：∑∞=-11nnaq1≥q（发散）1<q（收敛）(3) ∑∞=--111)1(n nn收敛2．正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法3．交错级数的判定法及绝对收敛，条件收敛教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设正项级数∑∞=1nnu收敛, 能否推得∑∞=12nnu收敛?反之是否成立?由正项级数∑∞=1nnu收敛，可以推得∑∞=12nnu收敛：nnn uu2lim∞→nnu∞→=lim＝0由比较审敛法知∑∞=12nnu收敛.反之不成立.讲授内容：§ 10-3幂级数教学目的与要求：1．了解幂级数的收敛域的构造及求法.2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和教学重难点：重点——幂级数收敛域的求法，求和函数难点——求幂级数的和函数教学方法:讲授法教学建议：利用多媒体教学的直观性，使抽象的内容直观形象学时：2教学过程:一、函数项数的概念1.定义:如果给定一个定义在区间I上的函数列u1(x),u2(x),u3(x)…,un(x),…则由这函数列构成的表达式:u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (1)称为定义在区间I上的(函数项)级数.对于每一个确定的值xI,函数项级数(1)成为常数项级数u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (2)这个级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,称点x是函数项级数(1)的收敛点;函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域.如果(2)发散,称点x是函数项数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有发散点全体称为它的发散域.对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s.这样,在收敛域上,函数项数项级数的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是级数(1)的收敛域,并写成s(x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)+….称s n (x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)为函数项级数(1)的前n 项的部分和, 在收敛域上有:∞→n lim s n (x)=s(x)称 r n (x)=s(x)-s n (x)为函数项级数的余项(只有x 在收敛点处r n (x)才有意义),于是有:∞→n lim r n (x)=0.二、 幂级数及其收敛性1. 幂级数的定义:称形如 a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…⋯⋯(3) 或 a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…⋯⋯(4)的级数为幂级数.其中常数a 0,a 1,a 2,…a n ,…叫做幂级数的系数.级数(4)作代换t=x-x 0可变为级数(3)的形式,因此只讨论级数(3).例如:1+x+x 2+…+…x n +…, 1+x+!21x 2+…+!1n x n +…都是幂级数. 2. 幂级数的收敛域与发散域x 取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题.例1.考察幂级数1+x+x 2+…+x n +… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和x-11; 当|x|≥1时,这级数发散.因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞].如果x 在区间(-1,1)内取值,则x-11=1+x+x 2+…x n+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理):如果级数∑∞=0n a n x n 当x=x 0(x 0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x 0|的一切x,这幂级数绝对收敛,反之.如果级数∑∞=0n a n x n当x=x 0时发散,则适合不等式|x|>|x 0|的一切x 这幂级数发散. 证明:设x 0是幂级数(3)的收敛点,即级数a 0+a 1x 0+a 2x 02+…+a n x 0n +…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 ∞→n lim a n x 0n =0,于是存在一个常数M,使得|a n x 0n|≤M (n=0,1,2,…).这样级数(3)的一般项的绝对值|a n x n|=|a n x 0n•n n x x 0|= |a n x 0n |•|0x x |n ≤M|0x x |n因为当|x|<|x 0|时,等比级数∑∞=0n M|x x |n收敛 (公比|x x|<1), 所以级数∑∞=0n |a n x n|收敛, 即级数∑∞=0n a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明：倘若幂级(3)当x=x 0时发散,而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则级数当x=x 0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 由定理1可知:如幂级数在x=x 0处收敛,则对开区间(-|x 0|,|x 0|)内的任何x,幂级数都收敛; 如幂级数在x=x 0处发散,则对区间[-|x 0|,|x 0|]外的任何x,幂级数都发散. 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点,从原点沿数轴向左方走也是如此,两个界点p 与p ′在原点的两侧,由定理1可知它们到原点的距离相等. 从上面的几何说明,我们就得到重要的推论: 推论:如果幂级数∑∞=0n a n x n 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R 存在,使得:当|x|<R 是时,幂级数绝对收敛; 当|x|>R 时,幂级数发散;当x=R 与x=-R 时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常叫做幂级数(3)的收敛半径.由幂级数在x=±R 处的收敛性可以决定它在区间(-R,R),[-R,R),(-R,R]或[-R,R]上收敛,这区间叫做幂级数(3)的收敛区间.如果幂级数(3)只在x=0处收敛,这时收敛域只有一点x=0,规定收敛半径R=0,并说收敛区间只有一点x=0;如果幂级数(3)对一切x 收敛 ,则规定收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞). 3. 幂级数的收敛半径求法定理2:如果∞→n lim |n n αα1+|=ρ,其中a n ,a n+1是幂级数∑∞=0n a n x n 的相邻两项的系数,则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1 证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|nn αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项|a n x n|0所以 a n xn从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.2) 如果ρ=0,则对任何x ≠0,有||||11nn n n x x αα++→0(n →∞),所以级数(5)收敛,从而级数绝对收敛,于是R=+∞.3) 如果ρ=+∞,则对于除x=0外的一切x 值,级数(3)必发散,否则由定理1知道将有点x ≠0使级数(5)收敛,于是R=0. 定理3. 如果∞→n limnn a ||=ρ, 则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1证明:对于幂级数∑∞=0n |a n x n |,由于∞→n limnn n x a ||=ρ|x|.因此由根值法可知:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且|a n x n |→+∞,因此一般项|a n x n |所以a n x n0,从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.当ρ=0时,对任意的x,级数收敛,且R=+∞.例2.求幂级数x-22x +33x -…+(-1)n-1nx n+…的收敛半径与收敛区间. 解: 因为ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 1+n n =1, 所以收敛半径R=ρ1=1.对于端点x=1,级数成为交错级数 1-21+31-…+(-1)n-1n1+…,收敛;对于端点x=-1,级数成为-1-21-31-…-n1-…,发散; 因此,收敛区间是 (-1,1).例3.求幂级数1+x+!21x 2+…+!1n x n+…,的收敛区间. 解:因为 ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 11+n =0, 所以收敛半径R=∞,,从而收敛区间是(-∞,+∞). 例4.求幂级数∑∞=0!n n x n的收敛半径(记号0!=1).解: 因为P=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim !)!1(n n +=+∞, 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例5.求幂级数∑∞=02)!()!2(n n n x 2n 的收敛半径.解: 级数缺奇次幂的项,定理2不能直接应用,根据比值审敛法来求收敛半径:∞→n limn n x n n x n n 22)1(22)!()!2(:])!1[()]!1(2[+++=4|x|2. 当4|x|2<1即|x|<21时级数收敛; 当4|x|2>1即|x|>21时级数发散,所以收敛半径R=21. 例6.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛区间. 解: 令t=x-1,则级数变为 ∑∞=12n n nnt .因为 ρ=∞→n lim |n n αα1+|=∞→n lim )1(221++n nn n =21,所以收敛半径R=2.当t=2时,级数∑∞=11n n 这级数发散; 当t=-2时,级数∑∞=-1)1(n n n ,这级数收敛,因此收敛区间为:-2≤t<2, 即-2≤x-1<2, 或-1≤x<3,所以原级数的收敛区间为 [-1,3). 例7.求幂级数∑∞=1n 2)11(n n+x n 的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+ne 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).三、 幂级数的运算1. 设幂级数:a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +… 及b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间(-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n +….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++nn n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n nn xc 相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得:a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1, a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,…. 相除后所得幂级数∑∞=0n nn xc 的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续,如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R,R)(或[-R,R]连续.性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:s ′(x)=(∑∞=0n nnx α)′=)(0'∑∞=n nn x α=∑∞=-11n n n x n α其中|x|<R,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:⎰xs(x)dx=⎰x[∑∞=0n nn xα]dx=∑∞=0n ⎰xa n x ndx=∑∞=0n 1+n a nx n+1.其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8.求级数∑∞=0n 1+n x n的和函数. 解:此级数的收敛区间为(-1,1).设和函数为s(x)=∑∞=0n 1+n x n, 则有s(0)=1 ,从而: xs(x)=∑∞=0n 11++n x n 于是 [xs(x)]′=∑∞=0n (11++n x n )′=∑∞=0n x n =x -11 -1<x<1.所以: xs(x)=⎰xx-11dx=-ln(1-x) 从而:s(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<<--0,11||0),1ln(1x x x x例9.求级数∑∞=1n nn3的和. 解:设幂级数∑∞=1n nnx 3的和函数为s(x).由于∞→n lim |nn αα1+|=1/3,所以此级数的收敛半径为:R=3. 当|x|=3时,级数发散,因此级数的收敛区间为(-3,3). 于是s(x)=∑∞=1n n x)3(=x x -3 (|x|<3)从而[s(x)]′=(x x -3)′=2)3(3x -=∑∞=1n n n nx 31-. 令x=1,得:∑∞=1n n n x 3=43. 作业: 高等数学C 类练习册习题59 教学后记:1、函数项级数的概念:2、幂级数的收敛性: 收敛半径R3、幂级数的运算: 分析运算性质教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社 《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社 《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社 思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 不一定,)(12∑∞==n n n x x f ,)(11∑∞=-='n n n x x f ,)1()(22∑∞=--=''n n n x n x f它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[---讲授内容：§ 10-4函数展开成幂级数§ 10-5幂级数在近似计算中的应用教学目的与要求：1. 解函数展开成幂级数的充要条件.2. 掌握如何将函数展开成幂级数.3. 了解幂级数在近似计算中的应用.教学重难点：重点——5个基本初等函数的展开式，将函数展开成幂级数 难点——函数展开成幂级数的间接方法教学方法: 讲授法教学建议: 应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行增讲、补充. 学时：2 教学过程:一.泰勒级数上节例子中)11()1ln()1(11≤<-+=-∑∞=-x x nx n nn n n nx x ax f )()(00-=∑∞=，是否存在幂级数在收敛域内以)(x f 为和函数？问题：（1）如果能展开，n a 是什么？ （2）展开式是否唯一？ （3）在什么条件下可以展开？1. 泰勒级数定义:给定函数f(x),若存在一个幂级数,在某区间内收敛,且收敛的和函数为f(x),则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.如果函数)(x f 在)(0x U δ内具有任意阶导数, 且在)(0x U δ内能展开成)(0x x -的幂级数, 即 n n n x x a x f )()(00-=∑∞=则其系数 ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n且展开式是唯一的. f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x-x 0)+!2)(0x f ''(x-x 0)2+…+ !)(0)(n x f n (x-x 0)+ ⋯ (1) 证明：因为即内收敛于在),()()(0x f x u x x a nn n-∑∞=+-++-+=n n x x a x x a a x f )()()(0010 逐项求导任意次,得+-++-+='-10021)()(2)(n n x x na x x a a x f +-⋅++=+)(23)1(!)(01)(x x a n n a n x f n n n即得令,0x x = ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n泰勒系数是唯一的,所以.)(的展开式是唯一的x f2.麦克劳林级数定义在(1)式中取x 0=0,得:f(0)+f ′(0)x+!2)0(f ''x 2+…+!)0()(n f n x n +…,称此级数为函数f(x)的麦克劳林级数.二.函数展开成幂级数1. 直接法将函数f(x)展开成x 的幂级数的方法为:1) 求出f(x)的各阶导数:如果在x=0处的某阶导数不存在,则停止.表明此函数不能展成x 的幂级数;2) 计算: f ′(0),f ′′(0),⋯,f (n)(0),⋯ 3) 写出幂级数,求出收敛半径R. 4) 对端点x=±R 要另外讨论. 例1.将函数f(x)=e x 展成x 的幂级数. 解: 所给函数的各阶导数为: f (n)(x)=e x(n=1,2,…),f (n)(0)=1(n=0,1,2,…),这里记号f (0)(0)=f(0).于是得级数: 1+x+!22x +…+!n x n+…,它的收敛半径R=+∞.e x=1+x+!22x +!33x …+!n x n+…(-∞<x<+∞).例2.将函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数. 解: 给函数的各阶导数为f (n)(x)=sin(x+n ∙2π) (n=1,2,⋯).f (n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…),于是得级数x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +…, 收敛半径R=+∞. 因此得展开式sin x= x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +… (-∞<x<+∞). 例3.将函数f(x)=(1+x)m展开成x 的幂级数.其中m 为任意常数.解:f(x)的各阶导数为:f ′(x)=m(1+x)m-1, f ′′(x)=m(m-1)(1+x)m-2,…………………,f (n)(x)=m(m-1)(m-2)…(m -n+1)(1+x)m-n ,………………… f(0)=1, f ′(0)=m,f ′′(0)=m(m-1),…,f (n)(0)=m(m-1)…(m -n+1), … 于是得级数: 1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+….由于:11+-=+n nm n n αα→1(n →∞), 因此,对于任意常数m 这级数在开区间(-1,1),内收敛. 因此在区间(-1,1)内,我们有展开式f(x)=(1+x)m=1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+…. 在区间的端点,展开式是否成立要看m 的数值而定.此公式叫做二项展开式,特殊地,当m 为正整数时,即为二项式定理. 对应于m=21,-21的二项展开式分别为 x +1=1+21x-421∙x 2+64231∙∙∙x 3-8642531∙∙∙∙∙x 4+… (-1≤x ≤1),x+11=1-21x+4231∙∙x 2-642531∙∙∙∙x 3+86427531∙∙∙∙∙∙x 4-… (-1<x≤1).关于x-11,e x ,sin x ,cosx, ln(1+x)和(1+x)m 幂级数展开式可以直接引用.2.间接法:根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例4.将函数cosx 展开成x 的幂级数.解:逐项求导:cos x=[sinx]′=1-!22x +!44x -…+(-1)n )!2(2n x n+… (-∞<x<+∞). 例5.将函数211x+展开成x 的幂级数. 解:因为x+11=1-x+x 2-…+(-1)n x n+…(-1<x<1), 把x 换成x 2,得211x+=1-x 2+x 4-…+(-1)n x 2n+…(-1<x<1) 必须指出,假定函数f(x)在开区间(-R,R)内的展开式f(x)=∑∞=0n αn x n (-R<x<R)已经得到,如果上式的幂级数在该区间的端点x=R(或x=-R)仍收敛,而函数f(x)在x=R(或x=-R)处有定义且连续,那末根据幂级数的和函数的连续性,该展开式对x=R(或x=-R)也成立.例6.将函数f(x)=ln(1+x)展开成x 的幂级数. 解:f ′(x)=x+11=1-x+x 2-x 3+…+(-1)n x n +… (-1<x<1),所以将上式从0到x 逐项积分,得:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x<1). 由于右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.因此展开式对x=1也成立,即有:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x ≤1). 例7.将函数sin x 展开成(x-4π)的幂级数. 解:因为sin x=sin[4π+(x-4π)] =sin4πcos(x-4π)+cos 4πsin(x-4π)=21[cos(x-4π)+sin(x-4π)], cos(x-4π)=1-!2)4(2π-x +!4)4(4π-x -… (-∞<x<+∞), sin(x-4π)=(x-4π)-!3)4(3π-x +!5)4(5π-x -… (-∞<x<+∞),sin x=21 [1+(x-4π)-!2)4(2π-x -!3)4(3π-x +…] (-∞<x<+∞). 例8.将函数f(x)=3412++x x 展开成(x-1)的幂级数. 解:因为f(x)=3412++x x =)3)(1(1++x x=)1(21x +-)3(21x +=)211(41-+x -)411(81-+x ,)211(41-+x =41[1-21-x +222)1(-x -…(-1)n nnx 2)1(-+…] (-1<x<3),)411(81-+x =81[1-41-x +224)1(-x -…+(-1)n nnx 4)1(-+…] (-3<x<5), 所以: f(x)=3412++x x =∑∞=0n (-1)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3222121n n (x-1)n (-1<x<3).例9.将f(x)=arctanxx-+11展为x 的幂级数. 解: f ′(x)= (arctan xx-+11)′=211x +=∑∞=0n (-1)n x 2nx ∈(-1,1):f(x)=⎰xf ′(t)dt+f(0)=∑∞=0n ⎰x(-1)nx 2ndx+4π=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1.当x=±1时,级数为交错级数,且满足收敛条件,从而级数收敛, 即收敛区间为[-1,1]. 从而:arctan x x -+11=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1. x ∈[-1,1].三．幂级数在近似计算中的应用例. 计算5240的近似值,误差不超过0.0001.解: 5240=53243-=3(1-431)1/5. 利用二项式展式: 其中m=1/5, x=-1/34. 5240=3(1-43151∙-8231!2541∙∙∙-12331!35941∙∙∙∙-⋯ 取前两项的和作为近似值,则有|r n |=3(8231!2541∙∙∙+12331!35941∙∙∙∙+⋯) <3∙8231!2541∙∙∙[1+811+2811+⋯] =4027251∙∙<200001 因此 5240≈3(1-43151∙)≈2.9926. 作业: 高等数学C 类练习册60教学后记:如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开 成泰勒级数的方法.教学参考书《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题什么叫幂级数的间接展开法？讲授内容： 第十章习题课教学目的与要求：通过习题讲解，让学生巩固本章的内容，提高解题能力 教学重难点：重点——正项级数，交错级数的收敛性判断；绝对收敛，件收敛；收敛半径，收敛域；幂级数的展开，求和函数难点——绝对收敛，条件收敛，求和函数，函数间接展开幂级数 教学方法: 讲授法教学建议：分散难点，逐个讲解；多与学生互动，让整个习题课更加生动. 学时：2教学过程:1. 根据定义，判别级数∑∞=+-1)23)(13(1n n n 的敛散性． 分析：由于级数的一般项n u =)23)(13(1+-n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--23113131n n ．根据定义，我们只需判别部分和n S =∑=n k ku1是否有极限即可． 解： 部分和 n S =∑=n k k u 1=∑=+-nk k k 1)23)(13(1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231131311118131815131512131n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2312131n 故612312131lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞−→−∞−→−n S n n n ,根据级数的收敛定义知此级数收敛．2. 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 的敛散性分析： 首先判别级数的一般项n u 是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当n u 不趋于零时，级数∑∞=1n n u发散．若有0lim =∞→n n u ，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．解： 由于=∞→n n u lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim =01≠e根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 发散．3. 判别级数∑∞=+122)1(sin n n n 的敛散性．分析： 一般项n u =22)1(sin nn +显然趋于零，又知分子sin 2(n+1)当n ∞→时无极限，但有01)1(sin 2≤+≤n ，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数∑=121n n 做比较．解： 由于2221)1(sin n n n ≤+，而由P-级数的结论知级数∑∞=121n n收敛．根据正项级数的比较审敛法知级数∑∞=+122)1(sin n n n 收敛． 4. 判别级数∑∞=++1312n n n n 的敛散性分析： 显然有0123lim lim =++=∞→∞→nn n u n n n ，考虑到该级数的一般项为n 的有理分式函数，分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用∑∞=121n n 为参考级数． 解：取级数∑∑∞=∞==1121n n n n v 作为参考级数，由于212lim 3=++∞→n n v n n n ，且P-级数∑∞=121n n 收敛．根据比较判别法的极限形式知级数∑∞=++1312n n n n 级数∑∞=121n n 同样收敛．5. 判别级数∑∞=1!4n n nn n 的敛散性．分析:此级数的n U 中含有因式乘积和阶乘!n 项,首先应考虑采用比值审敛法． 解：1lim n n nU U ρ+→∞= =)!1(4)1(lim 11++++∞→n n n nn !4n n n n =nn n n n 4)1(lim +∞→=n n n )11(41lim +∞→=14<e 根据交错级数的莱布尼兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．。
《高等数学》第十章 无穷级数(电子讲稿)
380 第十章 无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节 常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑， （2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解 由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性． 解 部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑． （3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解 如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---． 当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -； 当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散． 例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的． 二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ． 证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证 令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解 由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=． 性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证 设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性． 性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变． 应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证 设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解 对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散． 习 题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑； （2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数． 在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1） 的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界． 由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛， 则级数1n n u ∞=∑也收敛； （2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证 （1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的． 证 因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性． 解 （1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭． 由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛． 综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑． （2） 称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解 （1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =） 从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰ d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =）， 故数列{}n s 有界，所以级数（2）收 敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑； （2）1111n nn∞+=∑； （3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）21e n n n ∞-=∑．解 （1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛． （2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散． （3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==， 而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解 因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法） 设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性． 解 因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解 因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解 由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证 （1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）． 即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解 因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3） 或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法） 如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证 先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤． 因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤． 因为 21221n n n s s u ++=+， 所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解 令1n u n =, 显然有 （1） 1111n n u u n n +=>=+， （1,2,n =）， （2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==． 由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解 因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证 令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛． 证 因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解 对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知： 当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散； 当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习 题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑； （7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节 幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点． 函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项． 当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2） 而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++， （3） 或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理） 如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证 设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ． 因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间． 由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果 （1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证 记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知： （1） 当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解 根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛． 对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解 本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛； 当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解 与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解 令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ． 相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）． （2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰． 逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数． 解 因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解 级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-． 设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑， 逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +． 对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习 题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和． 第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1） 其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项． 这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2） 来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3） 幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n1
n1
n1
如果级数 un收敛（发散）， 为任一常数且，
n1
则级数 也收敛（发散），且收敛时有
kun kun
n1
n1
即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 判别级数
7 2n
n1
的敛散性。
解
显然
n7 2n
敛，则原来级数未必收敛。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如 将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
机动 目录 上页 下页 返回 结束
课堂练习：习题10 - 2
1．选择题：
（1）下列命题正确的是（ ）；
A．若
lim
n
un
0,则级数
un 收敛
n 1
B．若
lim
n
un
0
,则级数
un
n 1
收敛
C．若级数
un发散，则
n 1
lim
n1
n n1
7
1 2n
而几何级数
n 1
7 2n
收敛，由性质２得
级数
7
2n
n 1
也收敛。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项， 不影响级数的敛散性。
性质4 如果级数
收敛于Ｓ，则对其各项间
任意添加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
注意：当原级数收敛时，任意括号后所得到新级 数也收敛，反之则不然。如果加括号后的级数收
得到的新级数不收敛。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解 因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
un
0
D．若级数
un
n 1
发散，则必有
lim
n
un
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim
n
un
0
习题10 - 2 1．选择题：
（2）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数
un
,
vn
发散，则级数 (un vn) 必发散
n 1
n 1
n1
B．若级数
(un
本节小结
级数敛散性的判断方法：
性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响 级数的敛散性。
性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
n 1
D．若 ，则级数 都发散 lim u2n )
n1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第十章
无穷级数的性质与敛散性
由无穷级数的敛散性定义可知，级数的收 敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问 题，因此，我们能够应用数列极限的有关性质。 来得到级数的一系列重要性质。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2
n
(un vn ) un vn S W
un
0
习题10 - 2 1．选择题：
（3）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数
(u2n1 u2n )
收敛，则级数
un
,
收敛
n1
n 1
B．若级数 收敛，则
(u2n1 u2n )
n1
lim
n
un
0
C．若级数
(u2
n1
u2n
)
发散，则级数
u
n
发散
n1
vn
)收敛，则级数
un
,
vn
都收敛
n1
n 1
n 1
C．若级数
un
收敛，
vn
发散，则级数
(un
vn )
必发散
n 1
n 1
n1
D．若级数
(un
vn)发散，则级数 un,
vn
都发散
n1
n 1
n 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim
n