10第十章无穷级数1
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第十章 无穷级数
【考试要求】
1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与
p 级数的敛散性．
4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．
6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．
【考试内容】
一、常数项级数的相关概念
1．常数项级数的定义
一般地，如果给定一个数列
1u ，2u ， ，n u ， ，则由这数列构成的表达式
123n u u u u +++++ 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为
1
n
n u
∞
=∑，即
1231
n
n n u
u u u u ∞
==+++++∑ ，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．
2．常数项级数收敛、发散的概念
作常数项级数
1
n
n u
∞
=∑的前n 项和121
n
n n i
i s u u u u
==+++=
∑ ，n s 称为级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和，当n 依次取1,2,3, 时，它们构成一个新的数列
11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++， ，
12n n s u u u =+++ ， ．
如果级数
1
n
n u
∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞
=，则称无穷级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s
u u u u =+++++ 或者
1
n
n u
s ∞
==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1
n n u ∞
=∑发散．
3．收敛级数的基本性质
（1）如果级数
1n
n u
∞
=∑收敛于和s ，则级数
1
n
n ku
∞
=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数
的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．
（2）如果级数1
n
n u
∞
=∑、
1
n
n v
∞
=∑分别收敛于和s 、σ，则级数
1
()n
n n u
v ∞
=±∑也收敛，且
其和为s
σ±．
（3）在级数
1
n
n u
∞
=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．
（4）如果级数
1n
n u
∞
=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．
（5）如果级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞
=．
说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n
n u →∞
不为零，则级数
1
n
n u
∞
=∑一定发散．
4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数
级数
21
n n
n q q q q ∞
==++++∑
或
20
1n n
n q q q q ∞
==+++++∑
称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；
当
1q ≥时级数发散．
（2）调和级数
级数
1
1
11112
3
n n
n
∞
==+
+
++
+∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．
（3）
p 级数
级数
1
1
11112
3
p
p
p
p
n n
n
∞
==+
+
++
+∑ 称为p 级数，其中常数0p >．其
收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．
二、正项级数的审敛法
1．比较审敛法
设
1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n
n u v ≤成立．
若级数
1n
n v
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n u
∞
=∑收敛；如果级数
1
n
n u
∞
=∑发散，则级数
1
n
n v
∞
=∑也发散．
2．比较审敛法的极限形式
设
1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑都是正项级数．
（1）如果lim
n n n u l v →∞
=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞
=∑收敛，则级数1n n u ∞
=∑收敛；
（2）如果lim
n n n
u l v →∞
=，0l <≤+∞，且级数1
n n v ∞
=∑发散，则级数1
n n u ∞
=∑发散．
说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n
v 高阶的无穷小，而级数
1
n
n v
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n u
∞
=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低
阶的无穷小，而级数
1
n
n v
∞
=∑发散，则级数
1
n
n u
∞
=∑发散．
3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）