浙江专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6_2等差数列及其前n项和教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法

6.2 等差数列及其前n项和教师用书

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.

(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．

(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n

2

或S n ＝na 1＋

n n －1

2

d .

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2

n 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n .

数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2

＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *

)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2

＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )

(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )

(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )

1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B

解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.

2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C

解析 由等差数列性质，知S 9＝9

a 1＋a 9

2＝9×2a 52

＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公

差d ＝

a 10－a 5

10－5

＝1，

∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.

3．(2016·绍兴一模)已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 答案 6 2n －3

解析 由已知得a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为公差为2的等差数列，由a 1＋2d ＝3，得a 1＝－1， 所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.

4．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8

解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.

题型一 等差数列基本量的运算

例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *

有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )

A ．2

B ．10 C.52 D.54

(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6

解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝1

2

，

所以数列{a n }是首项为－2，公差为1

2的等差数列，

所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝5

2.

(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋

6×

6－1

2

×(－2)＝6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，

S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(1)(2016·杭州模拟)设S n 是等差数列{a n }

的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49

D ．63

(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 2

2＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20

解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝

7a 1＋a 7

2

＝49.

(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得