任意角的三角函数 课件

知识点3 诱导公式一 1．语言表示：终边相同的角的__同__一___三角函数的值相等．
sinα＋k·2π＝__s_in__α__， 2．式子表示：cosα＋k·2π＝_c_o_s__α__，其中k∈Z.
tanα＋k·2π＝__ta_n__α__，
【预习评价】 计算：sin(2π＋π6)＝________，cos193π＝________．
限．故选D．
答案 D
(2)判断下列各式的符号： ①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4． 解 ①因为191°是第三象限角； 所以tan 191°>0，cos 191°<0． 所以tan 191°－cos 191°>0． ②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0． 所以sin 2·cos 3·tan 4<0．
任意角的三角函数(一)
知识点1 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义
如图，设 α 是一个任意 前提 角，它的终边与单位圆
交于点 P(x，y)
正弦 ___y___叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ___y____
余弦 __x____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ __x____
题型二 三角函数在各象限的符号问题
【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一
定位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 由s，也可能与y轴的正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边
可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象
cos α的值．
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|， ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限． sin α＝yr＝45aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， 所以 2sin α＋cos α＝85－35＝1． ②若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限， sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－ －35aa＝35． 所以 2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1．
答案 －1
规律方法 由角 α 终边上任意一点的坐标求其三角函数值 的步骤 (1)已知角 α 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两 种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正 弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值； ②在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)， 则 sin α＝yr，cos α＝xr.已知 α 的终边求 α 的三角函数值时， 用这几个公式更方便． (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问 题的实际情况对参数进行分类讨论．
定
y
__x_____叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
义 正切
y
____x___(x≠0)
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位 三角
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函 函数
数，将它们统称为三角函数
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sin α cos α
tan α
解 由题意，设点 A 的坐标为(x，35)，所以 x2＋(35)2＝1，
解得 x＝45或－45．
3 当 x＝45时，角 α 在第一象限，tan α＝54＝34；
5
3 当 x＝－45时，角 α 在第二象限，tan α＝－545＝－34．
方向2 含参数的三角函数定义问题 【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋
定义域 __R______ ___R_____ _{_α_|_α_∈__R__且__α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z__}____
【预习评价】 已知角 α 的终边经过点(－ 23，－12)，则 sin α＝________， cos α＝________，tan α＝________．
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0) 可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y) 的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函 数值符号的关键． (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应 首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角 α 的终边 所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
【训练1】 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．
解 (1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0． (2)∵θ 是第二象限角，∴－π2<－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0．
解析 sin(2π＋π6)＝sinπ6＝12，cos193π＝cos(6π＋π3)＝cosπ3＝12．
答案
1 2
1 2
考查 方向
题型一 任意角的三角函数的定义及应用
方向 1 三角函数定义的直接应用 【例 1-1】 在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位圆交于点
A，点 A 的纵坐标为35，求 tan α．
解析 因为(－ 23)2＋(－12)2＝1，所以点(－ 23，－12)在单位 圆上，由三角函数的定义知 sin α＝－12，cos α＝－ 23，tan α ＝ 33．
答案
－12
－
3 2
3 3
知识点2 三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
【预习评价】 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内 坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所 在象限决定．
方向 3 已知三角函数值求参数值 【例 1-3】 已知角 α 的终边经过点 P(5m,12)，且 cos α＝－153，
则 m＝________． 解析 cos α＝－153<0，则 α 的终边在第二或三象限，又点 P 的纵坐标是正数，所以 α 是第二象限角，所以 m<0，由
25m52m＋144＝－153，解得 m＝－1．