浙大远程工程数学离线作业答案(2015年春)

浙江大学远程教育学院

《工程数学》课程作业

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年级：学习中心：—————————————————————————————《复变函数与积分变换》

第一章

1.1计算下列各式：

（2）、（a-bi）3

解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3

=a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；

（3）、；

解==

==

1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：

（1）；

证()-i()

==

（2）

证=

=

=--

==()()

=--

即左边=右边，得证。

（3）=(Z2≠0)

证==（）

==

==

1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z］

z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数) 。

解由x=，y=代入直线方程，得

()+()+c=0,

az+-bi()+2c=0,

(a-ib)z+( a+ib)+2c=0,

故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C

1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a≠0)写成复数形式（即用z 与来表示，其中z=x+iy）

解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得

az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0

故Az++B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic 。

1.6求下列复数的模与辅角主值：

（1）、=2，

解

arg()=arctan= 。

1.8将下列各复数写成三角表示式：

（2）、i；

解=1,arg()=arctan()= -a

故i=+i。

1.10、解方程：Z3+1=0

解方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得

Z==+i，k=0,1,2

即Z0==+i，

Z1==1，

Z2=+ i=i 。

1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？

（1）、2＜＜3；

解圆环、有界、多连域。

（3）、＜arg z＜；

解圆环的一部分、单连域、有界。

（5）、Re z2＜1；

解 x2-y2＜1无界、单连域。

（7）、＜；

解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；

第二章

2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）f(z)=z2；

解 f(z)=z2=·z·z=·z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)，这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。

u x= x2+y2+2 x2，v y= x2+y2+2 y2，u y=2xy，v x=2xy 。

要u x= v y，u y =-v x，当且仅当x=y=0，而u x, v y，u y ,v x均连续，

故f(z)=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；（2）、f(z)= x2+ iy2；

解这里u= x2,v= y2, u x=2x, u y=0, v x=0, v y=2y，四个偏导数均连续，但u x= v y，u y= -v x仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；

2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：

（1）、；

解 f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)

的导数为：f’(z)=)’=则可推出==0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。

2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv

（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；

解因==3+6xy-3，所有v=dy

=+3x-+w（x），又=6xy+3+w’（x）,而

=3-3，所以w’（x）=-3，则w（x）=-+C。

故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C)

= (1-i)(x+iy)-(1-i)

(x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci

=z(1-i)()-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci =（1-i）z3+Ci

（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i；

解因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有==2(x-1)

，v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+C，则v=++C，故

f(z)=2y+i(++C)，由f(2)=i得

f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即

f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0；

解因=(x)+，

=(-x)，由f(z)的解析性，有

==，

==(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C =+dy+C

=X dy-dy+dy)+C

=+C

=x-+C，故

f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0