几种不同类型行列式的计算

几种不同类型行列式的计算

摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

关键字:排列；行列式；范德蒙行列式；拉普拉斯定理；加边法（升阶法）；数学归纳法。

The calculation method of N determinant

Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding o the determinat,on our learning will bring very useful help.

Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant;Matrix; Eigenvalue; Laplace theorem;Factorial;Auxiliary determinant method

前言

行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。

我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的二个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨。

第一章 行列式的定义及性质

1.1 行列式的定义

1. n 级排列

(1) 基本概念:排列,反序,反序数,排列的奇偶性 (2) 主要结论

n 级排列共有!n 个,其中奇偶排列各占一半

对换改变排列的奇偶性

任意一个n 级排列都可以经过一些对换变成自然顺序,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性 2. n 级行列式的概念

其中的所有排列求和表示对的一个排列是n n j j j n

j j j n ,,2,1,

,,2,12121 ∑

1.2 行列式的性质

行列式的性质 (1) 有关行列式的转置 行列互换,行列式不变 (2) 有关行(列)的变换 互换行(列),行列式反号

用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行列式 把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变 (3) 有关按行(列)分解为两个行列式的和

如果某行(列)是两组数的和,那么行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)分别是第一组数与第二组数,而其它各行(列)都与原行列式相同

(4) 有关行列式等于零

∑

-=

n

n

n j j j nj j j j j j nn

n n n n a a a a a a a a a a a a

21212121(2

1

2222111211)

1(）

π

两行(列)成比例,行列式等于零 4. 行列式依行依列展开

(1) 基本概念:子式,余子式,代数余子式 (2) 主要公式

∑

∑

==⎩⎨

⎧≠==⎩⎨

⎧≠==n

l lt

ls n

k jk

ik t s t s D A a j i j i D A

a 1

1.

,0;,.,0;,

5. 克拉默规则

若线性方程组

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221

12222212111212111 的行列式0≠D ,则它有唯一解

n j D

D x

j

j

,,2,1, ==

其中j D 是把D 的第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所得的行列式

第二章 行列式的计算

n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

2.1 利用行列式定义直接计算

例 计算行列式

00100

20010000

n D n n

=

-

解 D n 中不为零的项用一般形式表示为

1122

11!n n n n n

a a

a a n

--

-

=

. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于

(1)(2)

2

n n --，

故(1)(2)

2

(1)

!.n n n D n --=-

2.2 利用行列式的性质计算

例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==

故行列式D n 可表示为1213112

23213

2331230000

n n n n

n

n

n

a a a a a a D a a a

a a a -=-----

，由行列式的性质