等差等比数列以及数列求和专题

§6.2 等差数列

一．课程目标

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数的关系.

二．知识梳理

1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.

数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数).

2.通项公式

若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .

3.前n 项和公式

等差数列的前n 项和公式：2

2111)()

(n n a a n d n n na S +=

-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).

3.等差数列的常用性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和. (1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+=

(2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+

(3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.

(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.

(5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质

（1）若}{n a 是等差数列，则}{n

S n

也是等差数列，

其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的

2

1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1

+==-n n a a

S S nd S S 偶奇奇偶,

。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1

+=

=-n n

S S a S S n 偶奇奇偶,

。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则1

21

2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d

a n d S )(2

212-+=

，数列{a n }是等差数列⇔

S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

三．考点梳理

1.等差数列的概念及运算 例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99

C.98

D.97

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.

练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192

C.10

D.12

2.等差数列的性质

例1.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5

B.7

C.9

D.11

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45

C.36

D.27

例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A.13

B.12

C.11

D.10

例4.(2015·广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.

例5.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )

A.－1

B.－2

C.－3

D.－4

例6.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则

a 9

b 5＋b 7＋a 3

b 8＋b 4的值为________.

3.等差数列与函数

例1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6

C.7

D.8

例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝9

11，则当S n 取最大值时，n 的值为( )

A.9

B.10

C.11

D.12

例3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )