灰色关联分析计算实例
灰色关联度分析
1.灰色关联理论
1982年，华中理工大学邓聚龙教 授首先提出灰色系统的概念，并建立了 灰色系统理论。 灰色系统理论认为，人们对客观 事物的认识具有广泛的灰色性，就是信 息的不完全性和不确定性，因而有客观 事物所形成的是一种灰色系统，即部分 信息已知、部分信息未知的系统。例如： 社会系统、经济系统、生态系统等都可 以看作是灰色系统。
\\
(min) (max) 0i (k ) 0i (k ) (max)
最后分别对各产业与GDP的关联系数求 平均可得： r01= （0.4191+0.3796+0.5808+0.7055+0.3696 +0.2881）/6 =0.4571 同样求出： r02=0.5760， r03=0.7209 r0i称为序列x0和xi（i=1，2，3）的灰 色关联。由于r03˃r02˃ r01，因而第三 产业产值与GDP的关联度最大，其次是 第二产业，第一次去农业。
5.用GRA进行综合评价
灰色关联分析的目的是揭示因素间 关系的强弱，其操作对象是因素的时间 序列，最终的结果表现为通过关联度对 各比较序列做出排列。综合评价的对象 也可以看作是时间序列（每个被评价事 物对应的各项指标值），并且往往需要 对这些时间序列做出排序，因而也可以 借助灰色关联分心来进行。
01 (1) 02 (1) ... 0 n (1) (2) (2) ... (2) 01 02 0n ... ... ... 01 ( N ) 02 ( N ) ... 0 n ( N ) N n 其中 0i (k ) x0 (k ) xi (k ) (05式) i 1,2,...n; k 1,2,..., N 绝对差矩阵中最大数和 最小数就是最大差和最 小差： max 0i (k ) (max)( 式) 06
灰色关联分析法在剩余可采储量品位评价中的应用
ａ 士 ｉ ｎ ＝
（１ 、） １
均 值化的表 达式为
ｆ ｆ “
∑＾
Ｘ） Ｘ）／ ∑ ㈤ ／ ｔ）｝ ｛ Ｉ （ Ｉ （ ｏ （
一
般情况下 ．对于较稳 定 系统数 列作动 态数 列的
（ ２ ５ ）
应 用 实例
表征 剩余 可采 储量 品位 的参数 主要 有 以下 ｌ ０个
同一观测 时刻各子 因素与母 因素之 间的绝 对差值
△ ｍ ｘｍ ｘｉ “（） “（ ） ： ａＩ ａ ｉ一 ０ ｉ ，
的最小值 为
（） ７
同一观测 时刻各子 因素与母 因素之 间的绝 对差值
理后 得 出权 重 。 权重与各项 因素分 值的乘积 之和 ， 就代 表 了油藏开发 单元剩 余可采储 量的 品位水平 。
具体计算 步骤 如下 ：
Ａ ｍｉ ｒｉ Ｉ “（） ， Ｏ ｊ ＝ ｎａ ｎ （）
母 序列 与子序列 的关联 系数 为
Ｌ Ｏ ＝ ）
（） ８
因为 比较 序列均 相互交叉 ， 以最小 值一般 取 ０ 所 。
１ 将 量 化后 的原 始数 据 合 计 （ 表 １ ； ） 分项 ） 见 ）２ 将 数 据 与 合计 数 据相 比 ， 行 无 量 纲化 处 理 ； ） 进 ３ 以剩余
响， 提高关联 系数之 间的差异显 著性 。
的关联 系数合 计 （ 见表 ２ ； ） 算关 联度 （ ）６ 计 见表 ３ ； ） ）７
计 算 各指 标 的权 重 （ 表 ３ ；） 见 ）８ 计算 各 开 发单 元 的综 合 得分 ． 而得 出结论 。 进
表 １ 量 化 后 的 原 始 数 据
第 １ 第 ３期 ７卷
左代容： 灰色 关 联 分 析法 在 剩 余 可采 储 量 品位 评 价 中 的 应用
灰色关联分析法及其应用案例
例如在社会系统中，人口是一种重要的子系统。影响人口 发展变化的有社会因素，如计划生育、社会治安、社会道德 风尚、社会的生活方式等。影响人口发展变化的因素还有经 济的，如社会福利、社会保险；还有医疗的，如医疗条件、 医疗水平等。总之，人口是多种因素互相关联、互相制约的 子系统。这些因素的分析对于控制人口、发展生产是必要的。
关联度
关联系数的数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有 必
要将各个时刻关联系数集中为一个值，求平均值便是做这种
信
息处理集中处理的一种方法。ri
1 N
N
i (k)
k 1
关联度的一般表达式为：
无量纲化
无量纲化的方法常用的有初值化与均值化，区间相对值化。 初值化是指所有数据均用第1个数据除，然后得到一个新的数 列，这个新的数列即是各个不同时刻的值相对于第一个时刻
影响泥沙输入水库的因素较多，比如降雨量、径流量、植被 覆盖率等。在这些因素中哪些是主要的，哪些是次要的有待研 究和量化分析。
以输沙量为参考数列x 0 ，以年径流量为x 1 ，平均年降雨量为x 2
平均汛期降雨量为x 3 则相应的关联系数序列如下：
1 ( k ) ( 1 , 0 . 4 , 0 . 4 , 0 . 3 2 , 0 . 8 6 , 0 . 2 3 , 0 . 2 9 , 0 . 2 , 0 . 5 3 , 0 . 4 5 , 0 . 1 7 , 0 . 2 9 , 0 . 7 3 , 0 . 3 6 , 0 . 2 7 , 0 . 3 1 , 0 . 3 5
灰色关联分析详解+结果解读
灰色关联分析1、作用对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。
在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。
因此，灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度。
2、输入输出描述输入:特征序列为至少两项或以上的定量变量，母序列（关联对象）为 1 项定量变量。
输出:反应考核指标与母序列的关联程度。
3、案例示例案例:分析 09-18 年内，影院数量，观影人数，票价、电影上线数量这些因素对全年电影票房的影响。
其中电影票房是母序列，影院数量，观影人数，票价、电影上线数量是特征序列。
4、案例数据灰色关联分析案例数据5、案例操作Step1：新建分析；Step2：上传数据；Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；step4：选择【灰色关联分析】；step5：查看对应的数据数据格式，【灰色关联分析】要求特征序列为定量变量，且至少有一项；要求母序列为定量变量，且只有一项。
step6：设置量纲处理方式（包括初值化、均值化、无处理）、分辨系数（ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为 ( 0 ，1 )，具体取值可视情况而定。
当ρ≤ 0.5463 时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5 ）step7：点击【开始分析】，完成全部操作。
6、输出结果分析输出结果 1：灰色关联系数图表说明:关联系数代表着该子序列与母序列对应维度上的关联程度值（数字越大，代表关联性越强）。
输出结果 2：关联系数图分析：输出结果 1 和输出结果 2 是一样的，输出结果 1 用了表格形式来呈现关联系数，输出结果 2 用了图表形式来呈现关联系数。
图表很直观地展现了，大多数年份的银幕数量和电影上线数量对票房影响更大。
灰色关联度公式
灰色关联度公式灰色关联度分析方法是一种多因素间的关联度分析方法，适用于各种多因素间的关联度分析问题。
该方法在解决多因素间的关联度分析问题时，不需要事先建立准确的模型，也不需要事先明确各因素之间的关系，只需要给出各因素对应的历史数据序列即可。
灰色关联度公式是灰色关联度分析方法的核心，它通过比较多个因素的发展规律，评估它们之间的关联程度。
灰色关联度公式如下：$$\rho_ij = \frac{{min|y_{0i} - y_{0j}| + \Delta }}{{max|y_{0i} - y_{0j}| + \Delta }}$$其中，$\rho_ij$表示第$i$个因素和第$j$个因素的关联度，$y_{0i}$和$y_{0j}$分别表示第$i$个因素和第$j$个因素的数据序列，$\Delta$是关联度分析中的常数，用于处理零值和负值。
通过计算灰色关联度公式，可以得到各个因素间的关联度，从而进行比较和排序。
关联度越高，说明因素间的关联程度越大，反之，关联度越低，说明因素间的关联程度越小。
在实际应用中，灰色关联度分析方法常用于评估各种指标的综合质量，分析影响因素的重要性，确定影响因素的权重等。
下面是一些常见的应用场景和参考内容：1. 经济分析：可以使用灰色关联度分析方法分析影响经济增长的各个因素之间的关联程度，如GDP、消费水平、投资等因素间的关联度。
2. 产业分析：可以使用灰色关联度分析方法分析不同产业之间的关联程度，评估各个产业在整体产业结构中的重要性。
3. 市场营销：可以使用灰色关联度分析方法分析市场营销活动中各个因素的关联度，评估不同市场营销策略的效果。
4. 环境评价：可以使用灰色关联度分析方法评估环境影响因素之间的关联程度，确定主要的环境影响因素和其权重。
5. 工程管理：可以使用灰色关联度分析方法分析工程进度、质量、成本等因素之间的关联度，确定影响工程管理的主要因素和其权重。
总之，灰色关联度分析方法通过灰色关联度公式，可以帮助我们评估多个因素间的关联程度，并为决策提供依据。
综合评价方法灰色评价法案例讲解
5
灰色关联法
1989年度西山矿务局五个生产矿井技术经济指标如表 6-3
By 杜小二
指标
白家庄矿 杜儿坪矿 西铭矿 官地矿 西曲矿
原煤成本
99.89 103.69 97.42 101.11 97.21
企业利润
96.91 124.78 66.44 143.96 88.36
原煤产量
102.63 101.85 104.39 100.94 100.64
1
灰色关联法
By 杜小二
1、煤矿企业经济效益的灰色关联分析法 （1）应用灰色关联分析法评价煤矿企业效益，首先要构成各个系 统的技术经济指标数据列： ｛X1｝=｛X1(1)，X1(2)……X1(n) ｝ ｛X2｝=｛X2(1)，X2(2)……X2(n) ｝
∶ ∶ ｛Xm｝=｛Xm(1)，Xm(2)……Xm(n) ｝
第二步，确定个指标的重要性系数，如表6-4所示。
表6-4 各指标的重要性—权重
指标
权重
原煤成 企业利 产量 销售量 灰分 全员 周转 回收 百万吨
本
润
效率 天数 率 死亡
0.111 0.143 0.098 0.112 0.108 0.096 0.068 0.072 0.192
8
灰色关联法
By 杜小二
第三步，计算各矿井中指标数据列对于最优参考数据列的关联度。个矿井 指标数据列为：
｛X1｝= ｛ 99.89，96.91，102.63，98.47，87.51，108.35，71.67，103.25，171.20｝ ｛X2｝= ｛103.69，124.78， 101.85，103.16，90.27，106.39，137.16，100.00，51.35｝ ｛X3｝= ｛ 97.42，66.44，104.39，109.17，93.77，142.35，97.65，100.00，15.90 ｝ ｛X4｝= ｛101.11，143.96，100.94，104.39，94.33，121.91，171.31，99.13，53.72｝ ｛X5｝= ｛97.21，88.36，100.64，91.90，85.21，158.61，204.52，100.22，20.78｝
《灰色关联分析法》课件
计算关联度
4
确定各个因素对评估对象的贡献程度。
5
确定因素集合和影响因素
精确定义评估的因素及其关联程度。
计算关联系数
衡量因素之间的关联程度。
排序、评价和综合比较
综合评价并排序所得的关联度。
灰色关联分析法 实例分析
案例1 ：消费者购买行为分析
研究消费者购买决策中的因素关联性，指导 市场策略制定。
案例2 ：市场竞争态势分析
灰色关联分析法 PPT课件
灰色关联分析法是一种综合多因素、多层次、多角度的综合评判方法，用于 处理数据量小、不完备、不确定的问题。
灰色关联分析法 简介
1 灰色关联分析法
2 基本原理
综合评判方法，处理不完备、不确定的问题。
灰色系统理论，关联度的测度。
灰色关联分析法 步骤
1
数据标准化处理
2
使不同类型的数据具备可比性。
分析市场上不同竞争因素之间的关联程度。
灰色关联分析法 应用领域
经济管理
用于分析经济发展中的关联因素。
生态环境
评估环境因素对生态系统的和优化。
市场分析
研究市场竞争态势和市场需求。
灰色关联分析法 优缺点
优点
• 有效分析多层次、多因素的问题 • 适用于小样本、不完备数据的分析
缺点
• 无法对因果关系进行分析 • 灰色关联度的确定较为主观
灰色关联分析法 总结
灰色关联分析法是一种有效的综合评判方法，应用广泛，但也存在一些局限性。在具体应用中需要根据 问题特点和数据情况进行调整和优化。
灰色关联分析计算实例演示
1.建立原始数据矩阵： 2045.3 1942.2 1637.2 1884.2 1602.3 34374 31793 27319 32516 16297 （X´）= 14.6792 14.8449 1.4774 46.604 9.4959 120.9 100.1 65.9 80.52 54.22 0.3069 0.7409 0.361 3.7 2.0213 49.4201 34.8699 50.974 50.4325 40.8828
0.9433
4
1
0.7917
0.9368
0.3333
0.4896
5
1
0.9580
0.9602
0.9825
0.9922
分别计算每个指标的关联度：
r1=（1+0.9956+0.9990+0.9956+0.9474 ）/5=0.9875
添加标题
r2=（ 1 +0.9890+0.8883 +0.7119 +0.9761）/5= 0.9131
4．计算|X0-Xi|: 1=(0, 0.0247 , 0.0057 , 0.0247 , 0.3093 ) 2=(0, 0.0617 , 0.6998 , 2.2536 , 0.1365 ) 3=(0, 0.1216, 0.2554 , 0.2552, 0.3349 ) 4=(0, 1.4645 , 0.3758, 11.1348, 5.8028 ) 5=(0, 0.2440, 0.2310 , 0.0993 , 0.0438 ) 0 0.0247 0.0057 0.0247 0.3093 0 0.0617 0.6998 2.2536 0.1365 （ ）= 0 0.1216 0.2554 0.2552 0.3349 0 1.4645 0.3758 11.1348 5.8028 0 0.2440 0.2310 0.0993 0.0438
灰色关联和主成分分析对商品住宅价格相关因素的研究
灰色关联和主成分分析对商品住宅价格相关因素的研究灰色关联和主成分分析是两种常用的数据处理方法，可以用于研究商品住宅价格相关因素。
本文将介绍这两种方法的基本原理，并探讨它们在商品住宅价格研究中的应用。
一、灰色关联分析灰色关联分析是一种通过对不确定的因素进行分析比较，确定它们对某一目标因素的影响程度的方法。
该方法基于灰色系统理论，将不确定的因素转化为可比较的关联值。
分析过程分为以下几步：1. 建立因素序列根据研究目标选取相关的因素，并按一定的排序方式排列成因素序列。
2. 数据归一化对因素序列进行数据归一化处理，将数据值转化为在 0 到 1 之间的比例值，以消除数据之间的量纲差异。
3. 灰色关联度计算利用灰色关联度计算公式计算出各因素与目标因素的关联系数，从而确定各因素对目标因素的影响程度。
公式如下：$$ R_i = \frac{\min_{j=1}^n\{\left | x_{i,j}-x_{0,j} \right|\}+\rho\max_{j=1}^n\{\left | x_{i,j}-x_{0,j} \right |\}}{\min_{j=1}^n\{\left | x_{k,j}-x_{0,j} \right |\}+\rho\max_{j=1}^n\{\left | x_{k,j}-x_{0,j} \right |\}} $$其中，$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 个因素在第 $j$ 个观测时的值，$x_{k,j}$ 表示目标因素在第 $j$ 个观测时的值，$x_{0,j}$ 表示各因素和目标因素在第 $j$ 个观测时的平均值，$n$ 表示观测次数，$\rho \in [0,1]$ 表示关联度的分辨率，通常取 0.5。
4. 排序按照灰色关联度大小对各因素进行排序，确定各因素对目标因素的影响大小。
二、主成分分析主成分分析是一种数据降维方法，通过线性变换将高维数据转换成低维子空间中的数据，以发现数据中的重要特征和关系。
灰色关联熵
灰色关联熵
摘要：
1.灰色关联熵的概念和背景
2.灰色关联熵的应用领域
3.灰色关联熵的计算方法和实例
4.灰色关联熵的发展趋势和前景
正文：
灰色关联熵是一种用于度量信息不确定性的指标，由我国学者提出，属于信息科学和数据挖掘领域的研究内容。
灰色关联熵主要用于研究灰色系统的不确定性，能够有效处理灰色数据，对于实际应用具有重要的价值。
灰色关联熵的应用领域广泛，包括金融、气象、医疗、社会管理等各个方面。
在金融领域，灰色关联熵可以用于度量投资风险，帮助投资者做出更明智的决策；在气象领域，灰色关联熵可以用于预测天气，提高天气预报的准确性；在医疗领域，灰色关联熵可以用于疾病诊断，提高诊断的准确性。
灰色关联熵的计算方法主要包括两种：一种是基于信息熵的计算方法，另一种是基于最小二乘法的计算方法。
其中，基于信息熵的计算方法比较常用，它通过计算信息的不确定性来度量灰色关联熵。
基于最小二乘法的计算方法则通过最小化误差的平方和来计算灰色关联熵。
随着信息科技的发展，灰色关联熵的研究也取得了新的进展。
目前，灰色关联熵的研究主要集中在如何提高其计算效率和准确性，以及如何将其应用于更多的领域。
灰色关联度评价法例子
灰色关联度评价法例子灰色关联度评价法例子什么是灰色关联度评价法灰色关联度评价法是一种评价指标的方法，用于分析不同因素之间的关联程度。
它可以帮助我们量化分析和比较各种因素的重要性和关系，从而为决策提供依据。
例子1：学生综合素质评价•因素1：学生学习成绩•因素2：体育锻炼时间•因素3：课外活动参与度•因素4：社会实践经历通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与一个评价指标（例如综合素质评价得分）进行比较，评估每个因素对于综合素质的贡献程度。
评价结果可以帮助学校制定更为客观和科学的学生综合素质评价指标。
例子2：产品质量评价•因素1：产品外观•因素2：产品功能•因素3：产品耐用性•因素4：产品售后服务通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与产品质量进行关联度分析，评估每个因素对于产品质量的影响程度。
评价结果可以帮助企业了解产品质量存在的问题，以及针对不同因素采取相应的改进措施。
例子3：城市交通拥堵评价•因素1：道路容量•因素2：车辆密度•因素3：交通信号灯设置•因素4：城市公共交通系统通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与城市交通拥堵进行关联度分析，评估每个因素对于交通拥堵的影响程度。
评价结果可以帮助政府和交通管理部门有针对性地解决交通拥堵问题，提高城市的交通效率。
结论灰色关联度评价法提供了一种有效的工具，可以帮助我们理清因素之间的关联程度，从而更好地进行评价和决策。
通过以上例子，我们可以看到该方法在不同领域都有广泛的应用价值，为各种评估和分析工作提供帮助。
例子4：金融风险评估•因素1：利率变动•因素2：股市波动•因素3：政策影响•因素4：经济景气度通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与金融风险进行关联度分析，评估每个因素对于金融风险的影响程度。
评价结果可以帮助机构和投资者识别风险因素并制定相应的风险管理策略。
例子5：客户满意度评价•因素1：产品质量•因素2：服务态度•因素3：交付时效•因素4：价格合理性通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与客户满意度进行关联度分析，评估每个因素对于客户满意度的贡献程度。
灰色关联分析应用实例(求灰色关联度)学习资料
灰色关联分析应用实例(求灰色关联度)灰色关联分析应用实例设序列12(30.5,34.7,35.9,38.2,41)(22.1,25.4,27.1,28.3,31.5)==X X求其绝对关联度、相对关联度和综合关联度（0.5ρ=）（数据取自教材77页第二题）由题目可知，原序列为等时距序列，且皆为1时等时距。
第一步：求始点零像化，得000000000000000000111111((1),(2),(3),(4),(5))(0,4.2,1.2,2.3,2.8)((1),(2),(3),(4),(5))(0,3.3,1.7,1.2,3.2)====X x x x x x X x x x x x第二步：求0110,,-s s s s4000240011124000010101021()(5)9.121()(5)7.821(()())((5)(5) 1.32====+==+=-=-+-=∑∑∑k k k s x k x s x k x s s x k x k x x计算灰色绝对关联度0101011010.93231ε++==+++-s s s s s s因此可以看出两个序列是高度相关的类似的再求相对关联度 第一步：将序列初值化'0'0'0'0'0'00000000'0'0'0'0'0111111((1),(2),(3),(4),(5))(1,1.138,1.035,1.064,1.073)((1),(2),(3),(4),(5))(1,1.149,1.067,1.044,1.113)====X x x x x x X x x x x x再将其始点零像化'0'0'0'0'0'00000000'0'0'0'0'0111111((1),(2),(3),(4),(5))(0,0.138,0.104,0.029,0.009)((1),(2),(3),(4),(5))(0,0.149,0.082,0.023,0.069)==-==--X x x x x x X x x x x x第二步：求0110',',''-s s s s400002400111240'00010101021'()'(5)0.068721''()'(5)0.078721''('()())('(5)'(5)0.0099952===+==+=-=-+-=∑∑∑k k k x k x s x k x s s x k x k x x第三步：求相对关联度0101011010.99141ε++==+++-s s s s s s两个序列的相对关联度也是高度相关的。
灰色关联度分析
就可求得两级最大差Δ(max)和两级最小差Δ(min) 计算关联系数
计算第i 个被评价对象与最优参考序列间的关联 系数。
计算关联度
对各评价对象分别计算其p个指标与参考序列对应元素的关联系数的
均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，称其为关联度，
记为 0i
1
P
(k)
P 0i k1
i1,2,..n.,
第六步 排关联序 由关联度数值可看出，r03＞r01＞r02。这表明，三种工资对工资总 额的关联程度的排列顺序为：承包工资、计时工资、档案工资。即该 公路施工企业的工资发展方向是以承包工资为主导，计时工资和档案 工资对工资总额的影响属于同一水平。
综合评价
基本思路是： 从样本中确定一个理想化的最优样本，以此为参考数列，通过计 算各样本序列与该参考序列的关联度，对被评价对象做出综合比 较和排序。
灰色关联度分析的运用
➢因 素 分 析 ➢综 合 评 价
因素分析
第一步 对数据做均值化处理
第二步 计算各比较数列同参考数列在同一时期的绝对差 再分别计算出其余4年的各绝对差
第三步 找出两极最大差与最小差
第四步 计算关联系数，取分辨系数
，则计算公式为：
第五步 计算关联度。
利用表4，分别求各个数列每个时期的关联系数的平均值即得关联度：
一般地，三种方法不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时， 可根据实际情况选用其中一个。
若系统 因素 X i 与系统主行为 X
可以将其逆化或倒数化后进行计算。
0
呈负相关关系，我们
逆化
倒数化
关联系数的计算
设经过数据处理后的参考数列为：
比较数列为：
从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡 比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线 形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联 度的衡量标准。 则：
灰色关联熵
灰色关联熵灰色关联熵（Grey Relational Entropy）是一种用于研究灰色关联性分析的数学方法，广泛应用于多领域的工程与管理决策中。
本文将从灰色关联熵的定义、计算公式、应用案例等方面进行详细介绍。
1. 灰色关联熵的定义：灰色关联熵是针对灰色关联性分析的一种信息度量，用于衡量因素与参考序列之间的关联程度。
灰色关联性分析是通过建立指标序列与评价序列之间的关联度，确定各指标对综合效果的影响程度，从而进行综合排名与决策的方法。
2. 灰色关联熵的计算公式：灰色关联熵的计算公式如下：灰色关联熵 = -∑(xi - yi)ln(xi / yi)其中，xi和yi分别表示参考序列和灰色关联序列的第i个数据。
3. 灰色关联熵的应用案例：（1）工程管理：在工程管理中，常常需要对影响工程进度的各项因素进行分析和评价。
通过灰色关联熵的计算，可以确定各个因素对工程进度的影响程度，有助于制定有效的控制措施，提高工程管理效率。
（2）金融风险评估：金融领域面临着多变的市场风险，灰色关联熵可以帮助分析人员对不同因素对金融风险的影响进行度量。
通过计算灰色关联熵，可以确定不同因素对金融风险的贡献程度，从而制定相应的风险控制策略。
（3）环境评价：在环境评价中，需要考虑各因素对环境影响的程度。
利用灰色关联熵可以对环境因素进行综合评价，确定各因素对环境的贡献程度，为环境保护提供科学依据。
（4）医疗决策：在医疗决策中，常常需要将多个因素进行综合评估，确定最优决策方案。
通过灰色关联熵的计算，可以对各因素对患者治疗效果的影响进行评估，帮助医生做出更科学的决策。
总结：灰色关联熵作为一种用于灰色关联性分析的数学方法，可以用于多领域的工程与管理决策中。
通过灰色关联熵的计算，可以对各因素与参考序列之间的关联程度进行量化，为决策提供科学依据。
在实际应用中，灰色关联熵已经被广泛应用于工程管理、金融风险评估、环境评价和医疗决策等领域，取得了良好的效果。
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1.建立原始数据矩阵：
2045.3 1942.2
34374 31793 （X´）= 14.6792 14.8449
120.9 100.1 65.9 0.3069 0.7409 49.4201 34.8699
1637.2 1884.2 1602.3
27319 32516 16297
1.4774 46.604 9.4959
参考序列对应元素的关联系数。
i(k)m iinm xk 0 in (kx ) 0(k xi)( k)xi (k ) m a ix m m a ik ax xm xk 0 a(x k)x 0(k xi)( k)xi(k)（ 125)
k1,,m
式 中 为 分 辨 系 数 ， 在 （ 0 ， 1 ） 内 取 值 ， 若 越 小 ， 关 联 系 数 间 差 异 越 大 ， 区 分 能 力 越 强 。 通 常 取 0 .5
1
0.8280 0.5451
1
2.4141 1.1763
1
0.7056 1.0314
3．确定参考数据列：
0.9212 0.7834 0.9459 0.4741 3.1748 0.6469 0.6660 0.4485 12.0560 6.5862 1.0205 0.8273
X0= 1, 0.9496, 0.8005, 0.9212 , 0.7834
灰色关联分析 实例演示
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一、灰色关联分析概述
灰色关联分析（GRA）是一种多因素统计分析方法， 它是以各种因素的样本数据为依据，用灰色关联度 来描述因素间关系的强弱、大小和次序。 它指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的 方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个 比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否 紧密，它反映了曲线间的关联程度。
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4．计算|X0-Xi|:
0 0.0247 0.0057 0.0247 0.3093
0 0.0617 0.6998 2.2536 0.1365 （ ）= 0 0.1216 0.2554 0.2552 0.3349
0 1.4645 0.3758 11.1348 5.8028
0 0.2440 0.2310 0.0993
80.52 54.22
0.361
3.7 2.0213
50.974 50.4325 40.8828
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2.矩阵无量纲化（初值化）： X=Xij´/ Xi1´(i=1,2,3,4,5,6; j=2,3,4,5)
1
0.9496 0.8005
1 （X）= 1
0.9249 0.7948 1.0113 0.1006
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二、灰色关联分析计算步骤
1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。
设n个数据序列形成如下矩阵：
X1,X2,Xnxx111 2 x1m
x2 1 x2 2
x2 m
xxn n 1 2
xn m
X i x i 1 ,x i 2 , ,x i m T ,i 1 ,2 , ,n
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4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较 序列）与参考序列对应元素的绝对差值，即
x0(k)xi(k) （k1,,mi 1,,n , n为被评
价对象的个数）。
nm
5．确定
minmin i1 k1
x0(k)
xi
(k)
与
nm
mia1xmka1xx0(k) xi (k)
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6．计算关联系数 由（12－5）式，分别计算每个比较序列与
其中 m 为指标的个数。
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2．确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可
以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数 据列，也可根据评价目的选择其它参照值。记 作
X 0 x 0 ( 1 ) ,x 0 2 , ,x 0 m
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3．对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
X0,X1,,Xnxx001 2 x0m
x11 x12
x1m
xxnn1 2
xnm
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常用的无量纲化方法有均值化法（见（12-3）
式）、初值化法（见（12-4）式）和 x x 变
换等。
s
xi
k
xik
1 m
mk1
xi
k
xi
k
xik xi1
i 0,1,, n；k1, 2,, m.
(123) (124)
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表1 灾害直接经济损失及各相关影响因素原始数据表
年份
2000
2001
2002
2003
灾害直接经济损失（亿元） 2045.3 1942.2 1637.74 31793 27319 32516
地震灾害损失（亿元）
14.6792 14.8449 1.4774 46.604
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一、灰色关联分析概述
如果样本数据列反映出两因素变化的态势（方向、 大小、速度等）基本一致，则它们之间的关联度较 大；反之关联度较小。 通常可以运用此方法来分析各个因素对于结果的影 响程度，也可以运用此方法解决随时间变化的综合 评价类问题，其核心就是计算关联度，即按照一定 规则确立随时间变化的母序列，把各个评估对象随 时间的变化作为子序列，求各个子序列与母序列的 相关程度，依照相关性大小得出结论。
海洋灾害损失（亿元）
120.9 100.1
65.9 80.52
森林火灾损失（亿元）
0.3069 0.7409 0.361
3.7
地质灾害损失（亿元）
49.4201 34.8699 50.974 50.4325
资料来源：中国统计年鉴（2001-2005）
2004 1602.3 16297 9.4959 54.22 2.0213 40.8828
5．求最值：
nm
minmin i1 k1
x0
(k)
xi
(k)
=0
0.0438
n
m
mia1xmka1xx0(k) xi (k=)11.1348
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6．计算关联系数（以矩阵第一行为例）：
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7．计算关联度 对各评价对象（比较序列）分别计算其各指
标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以 反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称 其为关联度，记为：
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三、案例演示 自然灾害经济损失及相关因素灰色关联分析
根据灰色关联分析中关联系数和关联度的计 算公式，利用自然灾害经济损失的 2000-2004 年 有关原始数据 (见表1)，计算了灾害直接经济损 失（参考序列）同形成灾害经济损失的各因素 （比较序列）之间的关联度（见表2）。