数值分析教学大纲

《数值分析》教学大纲

（一）总则

数值分析主要研究计算机解题的基本理论和方法，介绍数值分析研究中的一些较新的成果。其目的是根据问题的要求，提炼数学模型，通过算法设计和上机计算，快速准确得出工程需要的结果。数值分析一直以来都是计算科学很重要的课程。包含解线性代数方程组的直接法、解线性代数方程组的迭代法、解非线性方程的迭代法、矩阵特征值与特征向量的计算、代数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法等基本内容。通过教学使学生掌握各种常用数值算法的构造原理，提高算法设计能力，为能在计算机上解决科学计算问题打好基础。数值分析课程已经成为计算机应用、应用数学、工科各专业的基础课程。数值分析是高等学校信息与计算科学专业数学课程的专业必选课之一，地位十分重要。

一、英文名称：

Numerical Analysis

二、教学目的和要求：

使学生掌握插值法、曲线拟合、数值积分与数值微分、非线性方程求根、线性与非线性方程组的数值解法、常微分方程初值问题数值解法等近现代计算机常用的数值计算方法及其基础理论，提高算法设计和理论分析能力，为能在计算机上解决科学计算问题打好基础。

三、主要内容：

误差分析的重要性，误差的基本概念，数值运算中若干准则；拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法；数值求积的基本思想，代数精度的概念，梯形、辛普生及其复化求积公式，高斯求积公式；数值微分；解一元方程的迭代法、二分法、牛顿法、弦截法；高斯消去法及高斯主元消去法解解线性方程组；尤拉法与改进尤拉法、龙格—库塔法解常微分方程。

四、与相关课程的关系：

高等数学、线性代数、常微分方程课程的基础；数值分析课程又为后续“数学模型”、“软件工程”、“算法设计与分析”等课程奠定知识和方法论基础。

五、教材及参考书：

1.《数值分析》，李庆扬等编著，清华大学出版社.科学出版社。

2.《计算方法》，易大义、沈云宝、李有法编，浙江大学出版社1989年出版；

3.《数值分析》，同济大学计算数学教研室编，同济大学出版社1998年出版；

4.《数值计算方法》，关治、陈景良编，清华大学出版社1990年出版；

5.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编，高等教育出版社1999年出版。

六、考核方式及成绩评定方法：

结合平时作业、课堂提问和期末考试成绩综合评定成绩，平时成绩占30％，期末成绩占70％。期末考试采取闭卷形式。命题要求覆盖大纲，题型多样，难易适中，着重考查学生对基本理论的掌握程度以及理论联系实际，解决实际问题的能力。

（二）教学内容、要求与学时分配

本课程总学时为54学时（包括习题课），课程讲授一个学期，周学时均为4，具体课时分配如下：

一、绪论

教学内容：

1.误差分析的重要性。

2.误差的基本概念。

3.数值运算中若干准则。

教学要求：

1.了解误差分析基本意义。

2.了解误差基本概念。

3.掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则。

二、插值与逼近

教学内容：

1.插值概念。

2.拉格朗日插值（插值公式及余项）。

3.牛顿插值（均差，插值公式及余项）。

4.分段插值（分段线形，分段三次埃米特及三次样条插值）。

5.曲线拟合的最小二乘法。

教学要求：

1.理解插值概念和一致逼近和平方逼近两种度量标准。

2.熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。

3.掌握牛顿插值公式。

4.掌握分段三次样条和其它低次插值的意义及方法。

5.掌握曲线拟合的最小二乘法。

三、数值积分与数值微分

教学内容：

1. 引言（数值求积的基本思想，代数精度的概念）。

2. 等距节点求积公式（梯形、辛普生及其复化求积公式）。

3. 高斯求积公式。

4. 数值微分。

教学要求：

1. 理解数值求积的基本思想，代数精度的概念。

2. 熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。

3. 掌握高斯求积公式的用法。

4. 掌握几个数值微分计算公式。

四、方程求根

教学内容：

1.二分法。

2.解一元方程的迭代法。

3.牛顿法。

4.弦截法。

教学要求：

1. 理解研究解非线性方程的数值计算方法的必要性和主要研究内容。

2. 了解求实根各个方法的优缺点。

3. 掌握二分法、牛顿法和弦截法求根公式。

五、线性方程组的解法

教学内容：

1. 高斯消去法及高斯主元消去法。

2. 高斯消去法的变形。

3. 迭代法。

教学要求：

1. 熟练掌握高斯主元消去法。

2. 知道高斯消去法的变形。

3. 掌握几种常用的简单迭代法。

六、矩阵特征值问题的计算

教学内容：

1. 计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的乘幂法方法。

2. 雅可比方法。

3. QR变换法。

教学要求：

1. 理解矩阵特征值的基本概念；

2. 了解矩阵特征值的基本理论；

3. 掌握乘幂法、雅可比方法和QR变换法求特征值的方法。

七、常微分方程数值解法

教学内容：

1. 尤拉法与改进尤拉法。

2. 梯形方法。

3. 龙格—库塔法。

4. 二阶边值问题的数值解法。

教学要求：

1. 掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格----库塔法。

2. 了解局部截断误差，方法阶等基本概念。

3. 知道：二阶边值问题的基本解法。