新人教版八年级上册因式分解(第一课时)课件
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初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)
初中数学
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例 分解因式：
初中数学
练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例 分解因式：
初中数学
练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》课件第1课时(共17张PPT)
3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）
；
（4） 方法：1
1．利用平方差公式分解因式：
y( x 4) 3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止．
（1）
；
2
（1）
；
a4 16
y(x 2)(x 2) ； (a 16) （1）
（2）
2．以前我们学习过的哪个公式符合这个特点？
4
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何数、单项式或多项式．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ；
（2）a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解： （1）x4 y4x2 y2 )
（2）a3b ab ab(a2 1) ab(a 1)(a 1)．
(x2 y2 )(x y)(x y) ；
课堂练习
2．分解因式.
（1）a2 1 b2 ；（2）(2x y)2 (x 2 y)2 ； 25
1．判断下列分解因式是否正确，并说明理由．
（1）
；
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）
；
（4） 方法：1
1．利用平方差公式分解因式：
y( x 4) 3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止．
（1）
；
2
（1）
；
a4 16
y(x 2)(x 2) ； (a 16) （1）
（2）
2．以前我们学习过的哪个公式符合这个特点？
4
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何数、单项式或多项式．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ；
（2）a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解： （1）x4 y4x2 y2 )
（2）a3b ab ab(a2 1) ab(a 1)(a 1)．
(x2 y2 )(x y)(x y) ；
课堂练习
2．分解因式.
（1）a2 1 b2 ；（2）(2x y)2 (x 2 y)2 ； 25
1．判断下列分解因式是否正确，并说明理由．
（1）
；
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
人教版八年级上册14.提公因式法课件
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.
最新人教版八年级上册数学公开课《因式分解课件PPT》幻灯片
痈疽肿毒。和血滋阴，除风润燥，化痰清肺，利 小便，调大肠，圣药也。张灿玾表示，阿胶因味 甘性平，主要归肺、肝及肾经，能补虚、滋阴润
肺，有补血养血、美容养颜、抗衰老、
抗疲劳、提高免疫力等功效。另外，阿胶还有行 血的作用。医书中就有“浚血之源清血之流”的记 载。这是因为阿胶既能养血又能补肝，肝为血源，
药材。什么是道地药材？就是每
种生物，它需要有特殊的气候、地理来培育它， 才具有独特作用。就如人参只有长在上，在那种 地理下，药效才更好。又如川穹是四川的最好，
广木香是广阿出的胶才叫阿胶。 当前正值冬季，活动趋向休止，人的身体也不例 外，阳气开始潜藏，阴气逐渐旺盛，这个时候可 以进行一些必要的滋补。而说到滋补，就不得不
小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：
（1）定系数 （2）定字母 （3）定指数 3、提公因式法分解因式的步骤（分两步）：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1； （3）首项有负常提负，提出负号时要注意变
号
2 a a2 2(m+n)
3m -2xy
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
腹痛，虚劳羸瘦，阴气不足，脚酸不
能久立，养肝气。”《本草纲目》中这样写道，阿 胶疗女人血痛血枯，经水不调，无子、崩中带下 ，胎前产后诸疾。男女一切风病，骨节疼痛，水
人教版八年级上册数学第十四章因式分解第一课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
经过对例2旳解答，你有什么收获？
公因式能够是单项式，也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（2）3mx-6my； （3）8m2n+2mn； （4）12xyz-9x2 y2； （5）2（a y-z）-3（b z-y）； （6）（p a2+b2）-（q a2+b2）.
• 学习要点： 利用提公因式法分解因式．
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法，懂得能够将几 个整式旳乘积化为一种多项式旳形式．反过来，在式旳 变形中，有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳 形式．
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式：
x2+x= ______（_x_x_+_1_）____ ； x 2 - 1= ____（__x_+1_）_（_x_-_1_）___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中，有时需要将一种多项式化成几 个整式旳积旳形式，这种式子变形叫做这个多项式旳因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你以为因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中，属于因式分解旳是： （1）（a b+c）=ab+ac； （2） x3 +2x2 -3=x（2 x+2）-3； （3） a2 -b2 =（a+b）（a-b）.
教科书习题14.3第1、4（1）题．
形式，其中一种因式是各项旳公因式，另一种因 式是由多项式除以公因式得到旳； （3）用提公因式分解因式后，应确保具有多项式旳因 式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式． 解： 2（a b+c）-（3 b+c）
公因式能够是单项式，也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（2）3mx-6my； （3）8m2n+2mn； （4）12xyz-9x2 y2； （5）2（a y-z）-3（b z-y）； （6）（p a2+b2）-（q a2+b2）.
• 学习要点： 利用提公因式法分解因式．
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法，懂得能够将几 个整式旳乘积化为一种多项式旳形式．反过来，在式旳 变形中，有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳 形式．
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式：
x2+x= ______（_x_x_+_1_）____ ； x 2 - 1= ____（__x_+1_）_（_x_-_1_）___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中，有时需要将一种多项式化成几 个整式旳积旳形式，这种式子变形叫做这个多项式旳因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你以为因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中，属于因式分解旳是： （1）（a b+c）=ab+ac； （2） x3 +2x2 -3=x（2 x+2）-3； （3） a2 -b2 =（a+b）（a-b）.
教科书习题14.3第1、4（1）题．
形式，其中一种因式是各项旳公因式，另一种因 式是由多项式除以公因式得到旳； （3）用提公因式分解因式后，应确保具有多项式旳因 式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式． 解： 2（a b+c）-（3 b+c）
人教版数学八年级上册1因式分解课件
2
=4ab 2 (2a 2 +3bc).
3bc
教学新知
例2：把2( + ) − 3( + )分解因式.
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
解： 2a (b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
教学新知
2 − 2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
多项式
思考1：
这个多项式是两个数的平方差的形式，由于整式的乘
分 析 ： 在（1）中， 16 2 = (4)2 , 9 = 32 , 24 = 2 ∙ 4 ∙ 3 所以 16 2 + 24 + 9 是一个
完全平方式，即
16x 2 +24x+9=(4x) 2 +2 4x 3+32 .
a 2 a bb
2
解：
(1) 16x 2 +24x+9
=(4x) 2 2 4 x 3 32
进行因式分解了；对于（2）， 3 − 有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分
解.
解：
(1) x 4 -y 4
(2)a 3b-ab
=(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )
=ab(a 2 -1)
=(x 2 +y 2 )(x+y)(x-y);
=ab(a+1)(a-1).
教学新知
2 + 2 + 2 与 2 − 2 + 2 有什么特点？你能将它们分
2
分 析 ： 分析：（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；（2）中，将
a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式2 − 12 + 36.
人教版八年级上册数学精品教学课件 第14章整式的乘法与因式分解 第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
pa + pb + pc
知识要点 单项式乘多项式的法则
单项式与多项式相乘，就 p p
是用单项式乘多项式的每一 项，再把所得的积相加.
a
b
注意（1）依据是乘法分配律； （2）积的项数与多项式的项数相同.
p c
典例精析 例3 计算：
(1) (－4x) ·(2x2 + 3x－1)；
解：原式＝(－4x) ·(2x2) + (－4x) ·3x + (－4x) ·(－1)
解：由题意得
3m 1 n 2n 3 m
6 4， 1，
解得
m 2， n 3.
∴
m2
+
n
=
7.
方法总结：单项式乘单项式就是把它们的系数和同底
数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方
程组求出参数的值，然后代值计算即可．
二 单项式与多项式相乘
问题 如图，试问三块草坪的的总面积是多少？
问题2 如果将上式中的数字改为字母，比如 ac5 ·bc2， 怎样计算这个式子？
ac5 ·bc2 = (a ·b) ·(c5 ·c2) (乘法交换律、结合律) = abc5+2 (同底数幂的乘法) = abc7.
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘单项式？
知识要点 单项式与单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数 幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式.
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
导入新课
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件
（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反 右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)
14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
(1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
人教版八年级数学上册 14.3.1 因式分解(提取公因式) 课件(共15张PPT)
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+ ；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2421:56:4021:56:40August 24, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午9时56分40秒21:56:4021.8.24 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午9时56分21.8.2421:56August 24, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月24日星期二9时56分40秒21:56:4024 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午9时56分40秒下午9时56分21:56:4021.8.24
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
练习:
八年级数学上册14.3因式分解课件(新版)新人教版
,即ab=
1时,
6
原式=24ab=4.
第九页，共19页。
因式分解与特殊三角形判定(pàndìng) 的综合 例5 已知△ABC的三边长a,b,c满足(mǎnzú)a2+b2+c2-6a-
6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.
〔解析〕将等号的左边(zuǒ bian)变形为几个非负数的和的形 式,然后转化为关于a,b,c的方程,确定a,b,c的值即可.
第二页，共19页。
1.因式分解(yīn shì fēn jiě).
(1)16(x-1)2 - (x+2)2
(2)a2-14a+49
=[4(x-1)]2-(x+2)2
=[4(x-1)+(x+2)][4(x-1)-(x+2)] =(4x-4+x+2)(4x-4-x-2) =(5x-2)(3x-6) =3(5x-2)(x-2).
解:(1)原式=(88+112)×(88-112)=200×(-24)=-4800.
(2)原式=122+2×12×8+82=(12+8)2=202=400.
【解题归纳】 运用因式分解进行(jìnxíng)简便计算,关键是先 将所给式子进行(jìnxíng)因式分解,常见的方法:①先提公因式, 再运用公式法;②直接运用公式法.
八年级数学(shùxué)·上 标 [人]
新课
第十四章 整式的乘法(chéngfǎ)与因式 分解
14.3 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共19页。
选择合适(héshì)的方法进行因式分
例1 把下列(xiàliè解)各式因式分解.
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15、4 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式。
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2 x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积转化一个多项式
2 2 2
1、因式分解是整式乘法的逆变形。 2、因式分解的对象应是多项式。 3、因式分解的结果一定是积的形式。 4、结果中的每一个因式都必须是整式。 5、要分解到再也不能分解为止。
15、4、1
提公因式法
怎样将
am bm cm 分解因式？
7 7 7 (2) 13 6 2 9 9 9
怎样找出一个多项式的公因式？
1、看系数： 公因式的系数是各项系数的最大公约数。
一是取各项相同的字母；而是取相同字母的最 2、看字母：
低次幂。 如果多项式的首项是负的，应提取"-"号，使 3、确定符号：
括号内的多项式首项为正
例1、把下列个式分解因式：
(1)8a 3b 2 12ab2 c (3)8m n 2m n
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子 变形叫做把这个把这个多项式因式分解，也叫做把这个 多项式分解因式。 二、整式乘法与因式分解的关系
m(a b)
整式乘法
整式乘法 因式分解 逆变形
am bm
因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形
1、判断哪些是因式分解？并说明理由。
2
(2)2a(b c) 3(b c) (4) 3x3 6 x 2 3x
注：1 公因式可以是单项式也可以是多项式。
2 若多项式中其中一项与公因式相同，提取公因式 后余下的是1而不是0 。
3 若多项式的首项是负的，应先提取“-”号使括号 内的多项式首项为正。 4 提公因式法分解因式的结果中，一项是公因式， 另一项则用多项式除以公因式，所得的商就是积的另一 个因式
一、扩建绿地面积：
m
a am
an
b
bm
n
扩建后的面积：
bn
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1) x x
2
(2) x 1
2
像上面这样把一个多项式化成几个整式 积的形式，这样的式子变形叫做把这个把这 个多项式因式分解
把下列个式分解因式
(1)am bm cm
(2)8m2n 2mn
(3)12xyz 9x y ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
提公因式法分解因式的关键是什么？
找出公因式 试找出下列式子的公因式：（并由此总结找公 因式的方法）
(1) x 2 xy (2)8m 2 n 2m n (3)12xyz 9 x 2 y 2 (4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2
(3) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 (4) x 2 2 xy y 2 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1) (5)ax 9a a( x 3)(x 3)
2
(6) x 2 x 6 ( x 2)(x 3)
2、下列因式分解错误的是
2 2
(
)
A、x y ( x y )(x y ) B、x 2 6 x 9 ( x 3) 2 C、x 2 xy x( x y ) D、x y ( x y )
1、计算
(1)11 98 11 2
方法：逆用乘法分配律，先提出公因数,化成 两项积的形式。
观察式子 am+bm+cm 有什么特点
它的各项都有一个公共的因式m，那么 我们就把m叫做这个多项式的公因式。
那么：am+bm+cm=m(a+b+c)
像上面这样，把多项式am+bm+cm各项都含有的公 因式m提到括号外面，将多项式写成积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式。
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2 x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积转化一个多项式
2 2 2
1、因式分解是整式乘法的逆变形。 2、因式分解的对象应是多项式。 3、因式分解的结果一定是积的形式。 4、结果中的每一个因式都必须是整式。 5、要分解到再也不能分解为止。
15、4、1
提公因式法
怎样将
am bm cm 分解因式？
7 7 7 (2) 13 6 2 9 9 9
怎样找出一个多项式的公因式？
1、看系数： 公因式的系数是各项系数的最大公约数。
一是取各项相同的字母；而是取相同字母的最 2、看字母：
低次幂。 如果多项式的首项是负的，应提取"-"号，使 3、确定符号：
括号内的多项式首项为正
例1、把下列个式分解因式：
(1)8a 3b 2 12ab2 c (3)8m n 2m n
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子 变形叫做把这个把这个多项式因式分解，也叫做把这个 多项式分解因式。 二、整式乘法与因式分解的关系
m(a b)
整式乘法
整式乘法 因式分解 逆变形
am bm
因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形
1、判断哪些是因式分解？并说明理由。
2
(2)2a(b c) 3(b c) (4) 3x3 6 x 2 3x
注：1 公因式可以是单项式也可以是多项式。
2 若多项式中其中一项与公因式相同，提取公因式 后余下的是1而不是0 。
3 若多项式的首项是负的，应先提取“-”号使括号 内的多项式首项为正。 4 提公因式法分解因式的结果中，一项是公因式， 另一项则用多项式除以公因式，所得的商就是积的另一 个因式
一、扩建绿地面积：
m
a am
an
b
bm
n
扩建后的面积：
bn
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1) x x
2
(2) x 1
2
像上面这样把一个多项式化成几个整式 积的形式，这样的式子变形叫做把这个把这 个多项式因式分解
把下列个式分解因式
(1)am bm cm
(2)8m2n 2mn
(3)12xyz 9x y ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
提公因式法分解因式的关键是什么？
找出公因式 试找出下列式子的公因式：（并由此总结找公 因式的方法）
(1) x 2 xy (2)8m 2 n 2m n (3)12xyz 9 x 2 y 2 (4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2
(3) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 (4) x 2 2 xy y 2 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1) (5)ax 9a a( x 3)(x 3)
2
(6) x 2 x 6 ( x 2)(x 3)
2、下列因式分解错误的是
2 2
(
)
A、x y ( x y )(x y ) B、x 2 6 x 9 ( x 3) 2 C、x 2 xy x( x y ) D、x y ( x y )
1、计算
(1)11 98 11 2
方法：逆用乘法分配律，先提出公因数,化成 两项积的形式。
观察式子 am+bm+cm 有什么特点
它的各项都有一个公共的因式m，那么 我们就把m叫做这个多项式的公因式。
那么：am+bm+cm=m(a+b+c)
像上面这样，把多项式am+bm+cm各项都含有的公 因式m提到括号外面，将多项式写成积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法