新人教版八年级上册因式分解(第一课时)课件

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初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)

初中数学
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例分解因式：
初中数学
练习分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)

人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》课件第1课时(共17张PPT)

3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述，并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）
；
（4）方法：1
1．利用平方差公式分解因式：
y( x 4) 3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止．
（1）
；
2
（1）
；
a4 16
y(x 2)(x 2) ； (a 16) （1）
（2）
2．以前我们学习过的哪个公式符合这个特点？
4
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何数、单项式或多项式．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何数、单项式或多项式．
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ；
（2）a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ；（2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）x4 y4x2 y2 )
（2）a3b ab ab(a2 1) ab(a 1)(a 1)．
(x2 y2 )(x y)(x y) ；
课堂练习
2．分解因式.
（1）a2 1 b2 ；（2）(2x y)2 (x 2 y)2 ； 25
1．判断下列分解因式是否正确，并说明理由．
（1）
；
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】因式分解的一般步骤.

人教版八年级上册14.提公因式法课件

(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6；解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值．解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.

人教版八年级上册数学第十四章因式分解第一课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

经过对例2旳解答，你有什么收获？
公因式能够是单项式，也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（2）3mx-6my；（3）8m2n+2mn；（4）12xyz-9x2 y2；（5）2（a y-z）-3（b z-y）；（6）（p a2+b2）-（q a2+b2）.
• 学习要点：利用提公因式法分解因式．
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法，懂得能够将几个整式旳乘积化为一种多项式旳形式．反过来，在式旳变形中，有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳形式．
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式：
x2+x= ______（_x_x_+_1_）____ ； x 2 - 1= ____（__x_+1_）_（_x_-_1_）___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中，有时需要将一种多项式化成几个整式旳积旳形式，这种式子变形叫做这个多项式旳因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你以为因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中，属于因式分解旳是：（1）（a b+c）=ab+ac；（2） x3 +2x2 -3=x（2 x+2）-3；（3） a2 -b2 =（a+b）（a-b）.
教科书习题14.3第1、4（1）题．
形式，其中一种因式是各项旳公因式，另一种因式是由多项式除以公因式得到旳；（3）用提公因式分解因式后，应确保具有多项式旳因式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式．解： 2（a b+c）-（3 b+c）

人教版数学八年级上册1因式分解课件

2
=4ab 2 (2a 2 +3bc).
3bc
教学新知
例2：把2( + ) − 3( + )分解因式.
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
解： 2a (b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
教学新知
2 − 2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
多项式
思考1：
这个多项式是两个数的平方差的形式，由于整式的乘
分析：在（1）中， 16 2 = (4)2 , 9 = 32 , 24 = 2 ∙ 4 ∙ 3 所以 16 2 + 24 + 9 是一个
完全平方式，即
16x 2 +24x+9=(4x) 2 +2 4x 3+32 .
a 2 a bb
2
解：
(1) 16x 2 +24x+9
=(4x) 2 2 4 x 3 32
进行因式分解了；对于（2）， 3 − 有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分
解.
解：
(1) x 4 -y 4
(2)a 3b-ab
=(x 2 +y 2 )(x 2 -y 2 )
=ab(a 2 -1)
=(x 2 +y 2 )(x+y)(x-y);
=ab(a+1)(a-1).
教学新知
2 + 2 + 2 与 2 − 2 + 2 有什么特点？你能将它们分
2
分析：分析：（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；（2）中，将
a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式2 − 12 + 36.

人教版八年级上册数学精品教学课件第14章整式的乘法与因式分解第1课时单项式与单项式、多项式相乘

pa + pb + pc
知识要点单项式乘多项式的法则
单项式与多项式相乘，就 p p
是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
a
b
注意（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同.
p c
典例精析例3 计算：
(1) (－4x) ·(2x2 + 3x－1)；
解：原式＝(－4x) ·(2x2) + (－4x) ·3x + (－4x) ·(－1)
解：由题意得
3m 1 n 2n 3 m
6 4， 1，
解得
m 2， n 3.
∴
m2
+
n
=
7.
方法总结：单项式乘单项式就是把它们的系数和同底
数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方
程组求出参数的值，然后代值计算即可．
二单项式与多项式相乘
问题如图，试问三块草坪的的总面积是多少？
问题2 如果将上式中的数字改为字母，比如 ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？
ac5 ·bc2 = (a ·b) ·(c5 ·c2) (乘法交换律、结合律) = abc5+2 (同底数幂的乘法) = abc7.
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘单项式？
知识要点单项式与单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
八年级数学上（RJ）教学课件
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时单项式与单项式、多项式相乘
导入新课

14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay；解：ax，ay的公因式为a，原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2；解：3mx，－6nx2的公因式为3x，原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab，原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册人教版数学
第十四章整式的乘法与因式分解因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

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15、4 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式。
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2 x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积转化一个多项式
2 2 2
1、因式分解是整式乘法的逆变形。 2、因式分解的对象应是多项式。 3、因式分解的结果一定是积的形式。 4、结果中的每一个因式都必须是整式。 5、要分解到再也不能分解为止。

15、4、1
提公因式法
怎样将
am bm cm 分解因式？
7 7 7 (2) 13 6 2 9 9 9
怎样找出一个多项式的公因式？
1、看系数：公因式的系数是各项系数的最大公约数。
一是取各项相同的字母；而是取相同字母的最 2、看字母：
低次幂。如果多项式的首项是负的，应提取"-"号，使 3、确定符号：
括号内的多项式首项为正
例1、把下列个式分解因式：
(1)8a 3b 2 12ab2 c (3)8m n 2m n
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。二、整式乘法与因式分解的关系
m(a b)
整式乘法
整式乘法因式分解逆变形
am bm
因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形
1、判断哪些是因式分解？并说明理由。
2
(2)2a(b c) 3(b c) (4) 3x3 6 x 2 3x
注：1 公因式可以是单项式也可以是多项式。
2 若多项式中其中一项与公因式相同，提取公因式后余下的是1而不是0 。
3 若多项式的首项是负的，应先提取“-”号使括号内的多项式首项为正。 4 提公因式法分解因式的结果中，一项是公因式，另一项则用多项式除以公因式，所得的商就是积的另一个因式
一、扩建绿地面积：
m
a am
an
b
bm
n
扩建后的面积：
bn
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1) x x
2
(2) x 1
2
像上面这样把一个多项式化成几个整式积的形式，这样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解
把下列个式分解因式
(1)am bm cm
(2)8m2n 2mn
(3)12xyz 9x y ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
提公因式法分解因式的关键是什么？
找出公因式试找出下列式子的公因式：（并由此总结找公因式的方法）
(1) x 2 xy (2)8m 2 n 2m n (3)12xyz 9 x 2 y 2 (4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2
(3) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 (4) x 2 2 xy y 2 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1) (5)ax 9a a( x 3)(x 3)
2
(6) x 2 x 6 ( x 2)(x 3)
2、下列因式分解错误的是
2 2
(
)
A、x y ( x y )(x y ) B、x 2 6 x 9 ( x 3) 2 C、x 2 xy x( x y ) D、x y ( x y )
1、计算
(1)11 98 11 2
方法：逆用乘法分配律，先提出公因数,化成两项积的形式。
观察式子 am+bm+cm 有什么特点
它的各项都有一个公共的因式m，那么我们就把m叫做这个多项式的公因式。
那么：am+bm+cm=m(a+b+c)
像上面这样，把多项式am+bm+cm各项都含有的公因式m提到括号外面，将多项式写成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法