数学物理方程格林函数

1 r a2 r 4π r − r 2 r0 r0
r r r r v(r , r0 ) = G (r , r0 )
=−
1 a + r r 4π r − r0 r0
例1
(r < a) ∆u = 0 u r =a = f (θ , ϕ )
球内第一边值问题
r r G (r , r0 ) = −
= −ε
∂u ∂n
→0
1 ∂v ∂ ∫∫ u ∂n dS = ∫∫ u[− ∂r (− 4πr )]dS Σε Σε
1 =− 4π
1 2 ∫∫ u r 2 r dΩ Σε
= −u ( r0 )
r r r r u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV −
T
r r r r r ∂u ( r ) r ∂v ( r , r0 ) ]dS . − ∫∫ [v ( r , r0 ) − u (r ) ∂n ∂n Σ
r r r r ∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
单位负电荷在 r0
r
∫∫∫ (v∆ u − u∆ v ) dV
T
z
r r = ∫∫∫ vfdV − ∫∫∫ u δ ( r − r0 )dV
T T
T
Kε
δ (r − r0 )
Σ
y
r r
奇异，不能化为
r r0
Σε
0
面积分。在 T 中挖掉半 r 径 ε ，在 r0 的小球 Kε 。 小球边界 Σε 。 边界条件无法带入积分之中！
a = 4π
∫∫
Σ
a 2 − r0 f (θ , ϕ ) 2 sin θ 0 dθ 0 dϕ 0 . 2 3/ 2 ( a − 2 ar0 cos θ 0 + r0 )
2
例2
( z > 0) ∆u = 0 u r = a = f ( x, y )
半空间第一边值问题 计算格林函数：
解
M ( x, y , z )
2
r r r r r r r ∂G ( r0 , r ) u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ϕ ( r0 ) dS 0 . ∂n T Σ
= ∫∫
Σ 2
r f (r ) = 0
a 2 − r0 1 f (θ , ϕ ) a 2 sin θ 0 dθ 0 dϕ 0 . 4π a ( a 2 − 2 ar0 cos θ 0 + r02 ) 3 / 2
2
x=0
x =l
t =τ + 0
= 0, Gt
t =τ + 0
= δ ( x − ξ ).
u ( x, t ) = ∫
t
τ =0
∫ξ
l =0
f (ξ ,τ )G ( x, t ,τ )d ξ dτ .
r r r r u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV −
T
r r r r r ∂u ( r ) r ∂v ( r , r0 ) − ∫∫ [v ( r , r0 ) − u (r ) ]dS . ∂n ∂n Σ
r =a
=−
a − a cos θ (a 2 − 2ar0 cos θ + r02 ) 3 / 2
1 r a r r − r 2 r0 r0
2
=
1 a2 a4 r − 2r cos θ + 2 r0 r0
2
r0 − ar0 cos θ ∂ 1 [ ]Σ =− 2 2 2 2 ∂n r a r a (a − 2ar0 cos θ + r0 ) 3 / 2 r − r 2 r0 r0
Σ
∫∫∫ ∇ ⋅ (u∇ v ⋅) dV
T
T
=
∫∫∫ ∇ u ⋅∇ vdV + ∫∫∫ u ∆ vdV
T
第二格林公式：
交换 u (r ) 和
r
r v(r ) ：
r ∫∫ v∇ u ⋅ d S =
Σ
∫∫∫ ∇ v ⋅∇ udV + ∫∫∫ v∆ udV
T T
与上式相减
r ∫∫ (u ∇ v − v∇ u ) ⋅ d S =
b.有界空间
r r r −r '
ρ (r ')
r
边界上可能出现感应电荷
r r'
r r
r r
处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成
−−−−−−−−−−
+++++++
由
r ρ (r ')
计算感应电荷，然后
r 1 φ (r ) = [ ∫∫∫ 4πε 0
r r ρ g (r ') r ρ (r ') r r r dr '+ ∫∫∫ r r dr '] r −r ' r −r '
[α ∂v + βv] Σ = 0 ∂n
⇒
r r r r v(r , r0 ) = G (r , r0 )
第三边值问 题格林函数
G [α
∂u + βu ] Σ = Gϕ ∂n
− u [α ∂G + βG ] Σ = 0
∂n
⇒
∂u ∂G α [G − u ] Σ = Gϕ ∂n ∂n
r r r r 1 u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV −
这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 基本积分公式。 基本积分公式
解 u (r ) 在区域 T 中一点 r0 的值 u (r0 ) 通过上面积分，由源项对区域的 积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。
r
r
r
格林函数： 将冲量定理法扩展到空间坐标
f ( x, t ) = ∫
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
r r 1 1 1 1 G (r , r0 ) = − + 4π [( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ]1/ 2 4π [( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]1/ 2
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。 将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
− ε0
p
如右图，当导体外 M1 处有电荷
r M (r )
4πε 0 q
时，镜像电荷 − 4πε 0 q a
r1
将在球内M0 处。
5. 边值问题的格林函数 格林函数 第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u Σ = ϕ (Σ)
r r r r ∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
r r v(r , r0 ) Σ = 0
⇒
r r r r v(r , r0 ) = G (r , r0 )
第一边值问 题格林函数
T
α
∫∫ ϕ (r0 )G (r0 , r )dS 0 .
Σ
r
r r
12.2
电像法求格林函数
r r r r ∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
r r v(r , r0 ) Σ = 0
⇒
r r r r v(r , r0 ) = G (r , r0 )
第一边值问 题格林函数
r r r r0
T
α
∫∫ ϕ (r )G (r , r0 )dS .
Σ
r
r r
r r r 在 r0 δ (r − r0 )
，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数， 具有同一个解，可作变换： r ↔ r0
r r r r ∆v(r0 , r ) = δ (r0 − r )
r
r
r r r r r r r ∂G ( r0 , r ) u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ϕ ( r0 ) dS 0 . ∂n T Σ r r r r 1 u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 −
o
r M 0 (r0 )
r M 1 (r1 )
a2 r0 = r1
− 4πε 0 q
a = −ε 0 r1
4πq
a =1 r1
r0 =
a r1
2
⇒
现在，问题反过来，在 r0 处有电荷 -ε0 ，求r1，和镜像电荷。 aε aε 4πε 0 q = 20 = 0 a r0 r1
a2 r a2 r (r1 = 2 r0 ) r1 = r0 r0
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
按电磁学思维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。 镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) = M 1 ( x0 , y0 ,− z0 )
Σ
∫∫∫ (u ∆ v − v∆ u ) dV
T
即
r n
∂v ∂u ∫∫ (u ∂ n − v ∂ n ) dS = Σ
法向导数
∫∫∫ (u ∆ v − v∆ u ) dV
T
Σ
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
r ∆u = f (r )
ϕ (Σ) 定义在 Σ
∂u [α + β u ] Σ = ϕ (Σ ) ∂n
第十二章
12.1
格林函数
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
泊松方程的格林函数法 有源问题
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
⇓
定解＝积分＋边界条件 （格林函数 格林函数法） 格林函数
r r r −r '
ρ (r ')
r
r r
处静电场
r r'
r r
r 1 φ (r ) = 4πε 0
∫∫∫
r ρ (r ') r r r dr ' r −r '
1 a r r + 4π r − r0 r0
1 r a r 4π r − r 2 r0 r0
2
1 1 r r = 2 r − r0 r − 2rr0 cos θ + r02
在球面上
∂ ∂n
Σ
=
∂ ∂r
r =a
[
∂ 1 1 2r − 2r cos θ ]Σ =− r r ∂n r − r0 2 (r 2 − 2rr0 cos θ + r02 )3 / 2
x
T − Kε
∫∫∫ (v∆u − u∆v )dV =
= ∫∫ (v
Σ
Σ + Σε
∫∫
(v
∂u ∂v − u ) dS ∂n ∂n
∂u ∂v ∂u ∂v − u ) dS + ∫∫ (v − u ) dS ∂n ∂n ∂n ∂n Σε
r r δ 在 T − K ε ， (r − r0 ) = 0 。
3 2
r r ∂ 1 a − a cos θ a 1 r0 − ar0 cos θ − [ G (r , r0 )] Σ = 2 2 3/ 2 ∂n 4π (a − 2ar0 cos θ + r0 ) r0 4π a 2 (a 2 − 2ar0 cos θ + r0 2 )3 / 2
3 2
1 1 1 3 2 = [a − r0 cos θ − (r0 − ar0 cos θ )] 4π (a 2 − 2ar0 cos θ + r02 )3 / 2 ar0 1 a 2 − r0 = 4π a(a 2 − 2ar0 cos θ + r02 )3 / 2
r r r r r r r ∂G ( r , r0 ) u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV + ∫∫ ϕ ( r ) dS . ∂n T Σ
第三边值问题
[α ∂u + β u ] Σ = ϕ (Σ ) ∂n
r r r r ∆v(r , r0 ) = δ (r − r0 )
r r u (r ) 和 v(r )
=
T − Kε
∫∫∫ vf dV
连续。
ε →0
T − Kε
∫∫∫ vf dV → ∫∫∫ vf dV
T
∂u 1 2 ∂u ∫∫ v ∂n dS = ∫∫ (− 4πε )ε ∂n dΩ Σε Σε
ε =− 4π
∂u ∫∫ ∂n dΩ Σε
Leabharlann Baidu
=−
ε ∂u ∫∫ dΩ 4π ∂n Σ ε
对两端固定的弦
t
τ =0
∫ξ
l =0
f (ξ ,τ )δ ( x − ξ )δ (t − τ )dξ dτ .
Gtt − a 2Gxx = δ ( x − ξ )δ (t − τ );
问题变成
G
x =0
=G
x =l
= 0;
G G G =G
t =0
= Gt = 0;
t =0
= 0.
Gtt − a Gxx = 0
是否能一次解决
感应电荷 是边界问题 2. 格林公式 区域 T，边界 Σ
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
⇓
第一格林公式： 定解＝积分＋边界条件 （格林函数 格林函数法） 格林函数
r u (r ) 和 设
T
在 Σ 上有连续一阶导数。由高斯定理
r v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
Σ
r ∫∫ u∇ v ⋅ d S =
α = 0, β ≠ 0 α ≠ 0, β = 0 α ≠ 0, β ≠ 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
4. 泊松方程的基本积分公式 基本积分公式 点源泊松方程