多维标度法
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多维标度法内容丰富、方法较多。 按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为： 度量MDS：当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺 度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS) 非度量MDS：当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有 序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS) 按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分
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Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起 的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个 对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是 说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示， 而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。 多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏 三维以上空间。
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X1 , X 2 ,
2 dij ( X i X j )( X i X j )
, X n ，使得
i, j 1,2,
,n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
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（ 1） D D （ 2） dij 0, dii 0,
i, j 1, 2,
,n
则矩阵 D 为广义距离阵， dij 称为第 i 点与第 j 点间的距离。
定义 10.2 对于一个 n n 的距离阵 D (d ) ， 如果存在某个正 ij nn
三 度量MDS的古典解
四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
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首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞
行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相 对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？
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表10.1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543 2 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597 3 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494
据概念。 1．相似数据与不相似数据 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的 数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示 两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小 的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离 数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮 料非常相似。 2．距离阵
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
为：
古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）
重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）
权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）
本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
4
第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)1＝Atlanta , 2＝Chicago, 6＝Miami , 7＝New York,
3＝Denver,
4＝Houston,
5＝Los Angeles
7
8＝San Francisco , 9＝Seattle, 10＝Washington. DC
一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数
（ 1） C C （ 2） cij cii
i, j 1, 2,
,n
9
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
第十章
第一节 引言
多维标度法
第二节 第三节
第四节
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
多维标度法内容丰富、方法较多。 按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为： 度量MDS：当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺 度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS) 非度量MDS：当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有 序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS) 按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分
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Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起 的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个 对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是 说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示， 而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。 多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏 三维以上空间。
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X1 , X 2 ,
2 dij ( X i X j )( X i X j )
, X n ，使得
i, j 1,2,
,n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
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（ 1） D D （ 2） dij 0, dii 0,
i, j 1, 2,
,n
则矩阵 D 为广义距离阵， dij 称为第 i 点与第 j 点间的距离。
定义 10.2 对于一个 n n 的距离阵 D (d ) ， 如果存在某个正 ij nn
三 度量MDS的古典解
四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS)
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首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞
行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相 对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？
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表10.1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543 2 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597 3 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494
据概念。 1．相似数据与不相似数据 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的 数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示 两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小 的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离 数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮 料非常相似。 2．距离阵
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
为：
古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）
重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）
权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）
本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。
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第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)1＝Atlanta , 2＝Chicago, 6＝Miami , 7＝New York,
3＝Denver,
4＝Houston,
5＝Los Angeles
7
8＝San Francisco , 9＝Seattle, 10＝Washington. DC
一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数
（ 1） C C （ 2） cij cii
i, j 1, 2,
,n
9
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
第十章
第一节 引言
多维标度法
第二节 第三节
第四节
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经