高考圆锥曲线题型之共线向量问题

题型五：共线向量问题

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22

194

x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

分析：由DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到121

23(3)x x y y l l ìï=ïíï=+-ïî，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。

解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),

Q DP DQ l =uuu r uuu r

\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)

即121

23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一：方程组消元法

又Q P 、Q 是椭圆29x +2

4

y =1上的点 \22222222194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî

消去x 2， 可得222222(33)14

y y l l l l +--=- 即y 2=1356l l

- 又Q －2£y 2£2， \－2£

1356l l -£2 解之得：155

λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦

。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，

由2234936

y kx x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理后，得

22(49)54450k x kx +++=

Q P 、Q 是曲线M 上的两点

22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥

即2

95k ≥ ①

由韦达定理得： 1212225445,4949k x x x x k k

+=-=++ 212121221

()2x x x x x x x x +=++Q 222

254(1)45(49)k k λλ

+∴=+ 即22223694415(1)99k k k

λλ+==++ ② 由①得211095

k <≤，代入②，整理得 236915(1)5

λλ<≤+， 解之得155

λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15λ=

。 总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦。 方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率为5

52． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若AF MA 1λ=，

BF MB 2λ=，求21λλ+的值．

分析：

（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作

直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF AF BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，求12λλ+的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.

解法一：

（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1

)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g g 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =.

（Ⅱ）设直线AB 的方程为：

1(0)x my m =+≠.

设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛

⎫-- ⎪⎝⎭，

， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，

，消去x 得：

2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故

1212

44y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r 得：

1112y y m λ+=-，2222y y m

λ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭ 1212

22y y m y y +=--g 2424

m m =---g 0=

解法二：

（Ⅰ）由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g

g 得：()0FQ PQ PF +=u u u r u u u r u u u r g ， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=u u u r u u u r u u u r u u u r g ，

220PQ PF ∴-=u u u r u u u r ，