圆锥曲线微专题----求离心率的取值范围

圆锥曲线离心率的取值范围 专题

一、知识纵横

1. 求离心率的取值范围基本方法：通过对已知几何条件的代数化翻译，得到关于a ，b ，c 的齐次不等式，最后除以a 相应的次数，得到e 的不等式，解之即可.

解决问题的关键在于获知取值范围的来源，也即不等关系的产生原因，常见的范围来源总结如下. ①题中给出：即题目中已经明确给出某个变量的范围，则只需找到e 与此变量的关系即可；

②焦半径范围：注意椭圆焦半径范围[],a c a c -+，双曲线中焦半径范围为[),c a -+∞或[),c a ++∞； ③存在性问题：即由几何存在性问题对某个变量的约束所产生的范围.

二、典型例题

【题型1 题中给出范围】

例1. 已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）

A ．

B ．3(0,]4

C ．

D ．3[,1)4

例2. 已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C 上的点，

PF x ⊥轴，且sin PAF ∠C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

例3. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，过原点的直线交椭圆于,A B 两点，以AB 为直径的圆过右焦点F ，若,123FAB ππα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦

，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．1⎤⎥⎣⎦

B ．⎢⎥⎣⎦

C ．⎛ ⎝⎦

D ．⎫⎪⎪⎣⎭

【题型2 焦半径范围】

例4. 已知P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，12F F ，为椭圆焦点，且213PF PF =，则椭圆离心率的范围是（ ）

A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭

C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭

例5. 已知F 1，F 2分别是椭圆C :22

221x y a b

+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )

A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭

B ．13⎡⎢⎢⎥⎣⎦

C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭

D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦

例6. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2

a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）

A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭

B ．⎫⎪⎪⎣⎭

C ．⎫⎪⎪⎣⎭

D ．⎛ ⎝⎦

例7. 设椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）

A ．1[,1)2

B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【题型3 存在性问题】

例8. 若双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>与直线y =没有公共点，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）

A ．(]1,2

B ．()1,2

C ．(

D ．(

例9. 设椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（ ）

A ．

12 B C D

例10. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆2

2223:4

b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．