指数函数求定义域,值域,单调性

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规律： 内外函数同增减，复合 函数单增；
内外函数异增减，复合 函数单减；
同增异减
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数单调性
u g (x)
增函数 减函数 增函数 减函数
对于复合函数 f [ g ( x)] y 的单调性，必须考虑 f (u)与 y u g ( x)的单调性，从而得出 f [ g ( x)] y 的单调性。
g ( x)是 m, n 上减函数，且a g x b a g ( x2 ) g ( x1 ) b. 又 f x 是 a, b 上的增函数,
f g x2 f g x1 . f g x 在 m, n 上是减函数.
拓展 : 1)判断函数 3 1 y
1 拓 展1 : 2)求 函 数 ( ) y 2
2 x 8
的单调性 .
1 2 x x 1 2
的单调区间 .
拓展 : 3)讨论函数 2a 5(a 0)的单调性 1 y .
x
例2、求函数 4 2 y
x
x 1
的定义域，值域，单调 区间。
-1 2 4
0 1 2
1 2 4
2 5 32
3 10 1024
u g( x ) y f (u) y f [ g( x )]
u g( x ) x 2 1 y f ( u) 2u x (0, ) x (,0)

u x 2 1 1 x 2 1 例1.2)求函数y ） 的单调区间. （ 1 u 2 y ( 2)
思考：内外函数的单调性对复合函数的单调性的影响？
u g( x ) y f (u) y f [ g( x )]
u g( x ) x 2 1 u g( x ) x 1 1 u y f ( u) 2u y f ( u) ( 2 ) x (,0) x (0, ) x (,0) x (0, )
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
y f [ g ( x)]
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
指数函数的性质应用4
温故知新
复合函数如何求函数的 定义域和值域？ 求函数的定义域方法： 列不等式组 求复合函数的值域方法 ：换元
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。 定义域： 1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的 定义域由 a g x b 解出。 2、若已知 f g x 的定义域为[a,b],则函数 f x 的定义域 即为 当x a, b时，函数g x 的值域。
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数： 令 u=g(x) 则 y=f(u) y=f[g(x)]
y=f[g(x)] 内函数
外函数 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
例1.1)求函数 2 y
x 2 1
的单调区间 .
u x 2 1 y 2u
x u y
-3 -2 10 5 1024 32
§1.3.1单调性与最大(小)值(三) 七、复合函数单调性
例1 如果 g x 是[m,n]上的减函数，且 a g x b，f x 是[a,b]上的增函数，求证 f g x 在[m,n]上也是减函数。 证：x1 , x2 m, n , 且x1 x2 ,
x u Y
-3 -2 10 5 1 1 1024 32

-1 2 1 4
0 1 1 2
1 2 1 4
2 5 1 32
3 10 1 1024
x (,0) u g( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) y f (u) y f [ g( x )]
x (0, ) u g( x ) x 2 1 1 u y f ( u) ( 2 )