积分变换_(Laplace)课件与习题

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积分变换二章12节-PPT精选文档

变换或者不存在，或者为非常义下的广义函数给应用带来很大的不方便。
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b

j

则得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是一个复参量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出

第二章_Laplace变换（答案）

积分变换练习题第二章 Laplace 变换________系_______专业班级姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。

22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。

(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。

积分变换 ppt课件

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为连续函数）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求指数衰减函数 f(t) e 0 ,t,
t0的傅氏变换及其 t0
积分表达式 ,其中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

拉普拉斯积分变换

f (t ) u(t ) f (t )
ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
( 3)：F ( s )在右半平面 Re(s ) c内解析， s求导，使下面微分性质成立，即： F ( s ) 0 f (t )e st dt可在积分号下对参数
t f (t )
n
ℒ
( 1)n F ( n ) ( s ) (Re(s ) c )
CH 7 拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换的概念
2、拉普拉斯变换的性质 3、卷积
4、拉普拉斯逆变换
5、拉普拉斯变换的应用
1
第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念

1.定义
place变换存在定理
和象函数的微分性质
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
0
f (t )e st dt,
第七章拉普拉斯积分变换
定义1：
F ( s)

0
f ( t )e st dt为f ( t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换 ;
记作： F ( s)
ℒ f (t )
1 i st f (t ) F ( s ) e ds为F ( s )的拉普拉斯 ( Laplace)逆变换 ( t 0). i 2i

f ( t )u( t )e
t
e
iwt
dt
1 2

0
f (t )e ( iw ) t dt

F ( w )e iwF ( s)
复变函数与积分变换

积分变换第二章拉氏变换

第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念第二节 Laplace变换性质第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念

引入
傅里叶变换的前提绝对可积在整个数轴上面有意义工程上用到的函数的特点非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念

引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念

引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t

f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质）：若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)

Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]

复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换，对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作的.
目录上页下页返回结束
* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。

北京大学数学物理方法(上)课件_9 Laplace变换

Laplace 变换存在的条件 Laplace 变换存在的条件也就是积分
0
∞
e−pt f (t)dt 是否对某些 p 值, 积分收敛. 在本课程中, 假设 f (t) 满足 1. f (t) 和 f (t) 在区间 0 ≤ t < ∞ 上分段连续, 在任何有限区间内的不连续点的数目是有限的; 2. f (t) 有有限的增长指数, 即存在正数 M > 0 及实数 s(增长指数), 使对于任何 t ≥ 0, |f (t)| < M eBt (3)
p0 p
F (p)dp &(p) = 0
定出 C=
∞
F (p)dp
p0 ∞
故 G(p) =
p
F (p)dp
利用这个公式, 又可以得到许多函数的 Laplace 变换. 例如 L sin ωt t
∞
=
p
q2
π p ω dq = − arctan 2 +ω 2 ω
(19)
Theorem 9.4 (卷积定理). 设 L −1 {F1 (p)} = f1 (t), L −1 {F2 (p)} = f2 (t), 则
(16b) (16c)
−1
1 (p − p0 )2 1 (p − p0 )3
= tep0 t = 1 2 p0 t t e 2
(17a) (17b)
这样, 若 F (p) 是有理函数, 则总可以通过部分分式求反演. 例如 1 p3 (p + α) 1 1 1 1 1 1 1 1 =L −1 − 2 2+ 3 − 3 3 αp α p α p α p+α 1 2 1 1 1 −αt = t − 2t + 3 − 3e 2α α α α L

积分变换_(Laplace)课件与习题

5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习：求 f (t) cost 的Laplace变换.
解因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据微分性质和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2

积分变换.ppt

L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)

1 t
L
1
1[

s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt

F (s)ds
t
0t
s
26

或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例求 f (t ) sht et et 的拉氏变换

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0

0

(t
)e
st
dt

(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1

[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)

s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0

f ()
f (0 )

lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3

t (n
n1
1)!

(
t
)

1 sn
1
1 sn

t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)

拉普拉斯积分变换 PPT课件

记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。

拉普拉斯变换-PPT

1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2）存在常数 M > 0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0

复变函数课件-积分变换2-Laplace变换

优势
Laplace变换可以处理具有初始值的问题，能够更好地揭示函数的整体性质；傅里叶变换可以分析信号的频率成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的边值问题时也很有用，可以将复杂的微分方程简化为更易处理的代数方程。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以分析控制系统的稳定性，确定系统是否能够保持稳定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以计算系统在输入信号下的响应，从而了解系统的动态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移性、微分性等性质，这些性质在求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设计者分析系统的性能指标，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对信号进行滤波和降噪处理，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。

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2
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
的拉氏变换。
t
t
u
t
0,
t,
t0 t0
同理可得
L[cos kt]
s2
s k2
15
例4 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解如果n是正整数, 则有
t n
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
[tn]
1 sn1
(n
1)
(Re(s) 0),
|f (t)| M e ct, 0 t < 则 f (t)的拉氏变换
F (s) f (t) estd t 0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面内, F(s)为解析函数.
12
Mect f (t)
M
O
t
13
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t<), 有
| f (t)e st |=| f (t)|et Me(c)t, Re(s)=,
f (t)e( j)tdt s j f (t)estdt F s
0
0
6
f (t)
O f (t)u(t)et
O
t
t
7
1. 定义：
设 f (t)是[0,)上的实(或复)值函数，若对参数
s j, F (s) f (t)estdt 在s平面的某一区域 0
内收敛，则称其为 f (t)的Laplace变换，记为
若令c e >0 (即 c+e = c1>c), 则
| f (t)est| Meet.
所以
f (t) est d t
M
eetd t
M
.
0
0
e
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2:存在定理的条件是充分但非必要条件.
14
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
estd t 1 est 1
0
s0 s
所以 L[u(t)] 1 (Re(s) 0). s
9
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] ektestd t e(sk )td t
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
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Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际应用中受到一些限制.
解
(t ) testdt 0
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
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2.拉氏变换的存在定理若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
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例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
f (t )et , t 0
可能有意义.
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f1(t) 的Fourier变换可表示为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便.
f1(t) f (t)et ( 0),
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那么 f1(t) 容易满足在[0, )上绝对可积的要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦
函数时,
f1(t ) f (t )et ( 0)
都在 [0,)上绝对可积. 这是因为 t 时, et
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数.
如果 0 取得适当大，那么
其中 (n 1) xne xdx 是函数. 0
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周期函数和d 函数的Laplace变换