正弦定理(2)

课题：正弦定理(2) 1．正弦定理及其变形
(1)定理内容：a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C＝2R(R为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；②
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝2R；
③a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；④sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R.
2．对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情
练习：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝1
2bc sin A＝
1
2ac sin B＝
1
2ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹
角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝1
2ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝1
2r(a＋b＋c)＝
1
2rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
课前自测
1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
2．在△ABC 中，下列式子与
sin A
a
的值相等的是( ) A.b c B.sin B sin A C.sin C c D.c sin C 3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定
4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b
，则B 的值为________．
三角形解的个数的判断
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.
练习1．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝83 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝83 三角形的面积
【例2】 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝25
5
，求△ABC 的面积S .
练习2．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．
正弦定理的综合应用
【例3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，m u r
＝(sin A ，sin B )，n r ＝(cos B ，cos A )，m n •u r r
＝－sin 2C .
(1)求C 的大小；
(2)若c ＝23，A ＝π
6
，求△ABC 的面积．
练习3.若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状． 课堂练习
1．判断正误
(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( ) (2)在△ABC 中，若A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解．( ) 2．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个
3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )
A ．3
B ．33
C ．6
D ．6 3
4．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π
4
，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.
5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B
sin C
的值．
班级 姓名 学号 成绩 一、选择题 1．在△ABC 中，b ＋c ＝2＋1，C ＝45°，B ＝30°，则………………………………( )
A ．b ＝1，c ＝2
B ．b ＝2，c ＝1
C ．b ＝22，c ＝1＋22
D ．b ＝1＋22，c ＝2
2
2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有…………………………( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( )
A. 3
B.33
C.63 D ．－6
3
4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
等于……………………( )
A.833
B.2393
C.2633
D ．2 3
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π
2
，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin
C ，则△ABC 的面积S ＝……………………………………………………………………( )
A.3
2
B ．3 C.6 D ．6 6．在△AB
C 中，A ＝π
3
，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是……( )
A ．[33，6]
B ．(2,43)
C ．(33，43)
D ．(3,6]
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m u r ＝(3，－1),n r
＝
(cos A ，sin A )，若m u r ⊥n r
，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为…( )
A.π6，π3
B.2π3，π6
C.π3，π6
D.π3，π3 二、填空题
8．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解． 9．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．
10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5
13
，a ＝1，
则b ＝________.
11．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．
12．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.
三、解答题
13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .
14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝4
3
，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；
(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．。