第一章(Chapter 1) 什么是组合数学
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组合数学(引论)
也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
第 10 页
结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
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总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
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43
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1
一种选法 一一对应 一个四位数
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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感谢观看
《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学1.1-1.2
H | H—C—H | H—C—H | H H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H
H | H—C—H | H
n=1甲烷
n=2 乙烷
n=3 丙烷
1.2 一一对应
H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H H | H H—C H | | H—C—C—H | | H—C H | H H
第一章排列与组合
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
1.1 加法法则与乘法法则
1.加法法则 (分类计数法则)
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在 第二类办法中有 m2 种不同的方法……，第n类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N =m1 +m2 ++mn种不同的方法
1.1 加法法则与乘法法则
例1-7：有a,b,c,d,e这五个字符，从中6个构成一组字符串。 要求：（1）第一个和第六个必须是子音b,c,d； （2)每一个字符串都必有a,e两个母音，且a,e不相邻； （3）相邻子音不允许相同； 求字符串数目。
例1-5：求n元布尔函数 f (x1,x 2 x n ) 的数目
1 1 1 1 1 1
b 便成为消去后余下的树T 的顶点 在余下的树T 中寻找标号最小的树叶，设为a ， 的邻接点为b
1 1 1 2
2
，从图中消去a ，和边(a , b2). 如此步骤n-2次，直到剩下一条边为止。 于是一棵树T对应于一序列
2 2
b1 , b2 ,bn2 ,
b1 , b2 ,bn2 , 是1到n的数，并且允许重复
H | H—C—H | H
n=1甲烷
n=2 乙烷
n=3 丙烷
1.2 一一对应
H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H H | H H—C H | | H—C—C—H | | H—C H | H H
第一章排列与组合
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
1.1 加法法则与乘法法则
1.加法法则 (分类计数法则)
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在 第二类办法中有 m2 种不同的方法……，第n类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N =m1 +m2 ++mn种不同的方法
1.1 加法法则与乘法法则
例1-7：有a,b,c,d,e这五个字符，从中6个构成一组字符串。 要求：（1）第一个和第六个必须是子音b,c,d； （2)每一个字符串都必有a,e两个母音，且a,e不相邻； （3）相邻子音不允许相同； 求字符串数目。
例1-5：求n元布尔函数 f (x1,x 2 x n ) 的数目
1 1 1 1 1 1
b 便成为消去后余下的树T 的顶点 在余下的树T 中寻找标号最小的树叶，设为a ， 的邻接点为b
1 1 1 2
2
，从图中消去a ，和边(a , b2). 如此步骤n-2次，直到剩下一条边为止。 于是一棵树T对应于一序列
2 2
b1 , b2 ,bn2 ,
b1 , b2 ,bn2 , 是1到n的数，并且允许重复
第一章 什么是组合数学
4.解：f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8.
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学第一章
P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) 球入盒模型：n个不同的球，取r个放入r个不同的 盒子里,每盒一个的方式数为P(n, r)。 ♦ 例1.7
♦ 例1.8
♦ 二、 n-元集的r-可重(线)排列 ♦ Def 1.3(n-元集的r-可重(线)排列)
Theorem 1.4 n-元集的r-可重(线)排列个数 为nr. 678 4r 4 ♦ Proof •••L•
n = p1 p2 ... pk ≥ 2
β1 β2 βk
α1
α2
αk
s | n ⇒ s = p1 p2 ... pk ,0 ≤ βi ≤ αi .
(α1 +1)(α2 +1)...(αk +1) = ∏(αi +1)
i=1 k
§1.2 (线)排列
♦ 一、 n-元集的r- (线)排列 ♦ Def 1.1(P5) ♦ 计算公式：
♦ 二、n-元集的r-可重组合 ♦ Def 1.12(n-元集的r-可重组合)
Theorem 1.15 n-元集的r-可重组合数为 C(n + r – 1, r)。 ♦ Proof ♦ (采用一一对应技巧) ♦ 假定n个不同的元素分别为1, 2, …, n.从中 可重复取r个元素的组合为：a1, a2,…, ar.
本到同等学历考试,到博士生入学考试)
♦ 20世纪40年代, 随着计算机的出现, 组合
研究焕发了青春和活力,有着广阔的应用 前景: 计算机科学、空间技术、信息处理、人工智能、
数字通信、物质结构、物理学、化学、生物学、过程 控制、经济管理、国防工业、实验设计、心理学、工 艺美术。
♦ 组合数学研究的问题： ♦ (1)存在性; ♦ (2)构造性(Design); ♦ (3)计数(?Algorithms); ♦ (4)优化。 ♦ 学习目的： – (1)组合内容; – (2)组合方法; – (3)组合技巧; – (4)组合思维.
组合数学前言
组合数学前言一、组合数学是什么呢？组合数学啊，就像是数学世界里的一个超级有趣的游乐场。
你想啊，它研究的是把东西按照不同的方式组合起来，就像玩拼图一样。
比如说，从一堆不同颜色的小方块里，能拼出多少种不一样的图案呢？这就是组合数学要思考的问题。
它可不是那种枯燥的数学哦，它充满了各种奇妙的可能性。
就像我们在生活中，要从好多不同的衣服里搭配出不同的造型，这里面就有组合数学的影子呢。
二、组合数学的有趣例子1. 有个班级要选班干部，有班长、学习委员、生活委员等好几个职位，有一群同学来参选。
那有多少种不同的选举结果呢？这就是组合数学的排列组合问题啦。
2. 我们去吃自助餐，有好多不同种类的食物，我们的盘子就那么大，那有多少种不同的食物搭配可以放在盘子里呢？这也是组合数学哦。
3. 学校要安排课程表，不同的课程在不同的时间段，要满足各种条件，像不能让体育课紧接着化学课（因为同学们可能要换衣服啥的），那有多少种合理的课程表安排呢？这也是组合数学要解决的。
4. 我们玩扑克牌，从一副牌里抽出特定的几张牌，有多少种不同的抽牌组合呢？这是组合数学里的组合数概念。
5. 把一群小朋友分成不同的小组去做游戏，有多少种分组的方式呢？这也是组合数学在生活中的体现。
6. 去旅行的时候，要从好多条旅游线路里选择几条来组成自己的旅行计划，这也涉及组合数学的思想。
7. 有不同颜色的珠子，要串成手链，有多少种不同的串法呢？这是组合数学中的排列问题。
8. 安排座位的时候，要让互相熟悉的人坐在一起，同时又要满足场地的限制，有多少种座位安排方案呢？这是组合数学在实际场景中的应用。
9. 学校有不同的社团，学生可以选择参加几个社团，那有多少种不同的选择组合呢？这也是组合数学的范畴。
10. 要给一本书的章节编号，有一定的规则，那有多少种不同的编号方式呢？这是组合数学的一个特殊应用。
11. 有不同的花，要插成不同的花束，有多少种插花的组合呢？这和组合数学密切相关。
苏教版组合1课件
在0-1背包问题中，每个物品只能选择一次或多次放入背包，或者完全不放入。目标是选择一组物品，使得它们的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。该问题可以使用动态规划方法求解，通过构建状态转移方程，逐步求解最优解。
0-1背包问题
最短路径问题
最短路径问题是在图论中求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
排列和组合都是从n个不同元素中取出m个元素的问题，它们的计算公式都涉及到阶乘的概念。
关联
排列考虑的是元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序；排列数公式是A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)，组合数公式是C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
区别
排列与组合的关联与区别
05
CHAPTER
组合数的定义
C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1。
组合数的性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)。
组合数公式
帕斯卡恒等式
C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)。
德布鲁因恒等式
详细描述
组合数学的发展历程
总结词
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学中用于解决数据结构、算法设计、离散概率等问题。在统计学中用于样本设计、统计推断等问题。在运筹学中用于解决图论、组合优化等问题。此外，组合数学还在物理学、化学、生物学等领域有应用。
组合数学的应用领域
详细描述
组合数学的定义
组合数学的发展历程可以追溯到古代，但直到20世纪中叶才开始形成独立的数学分支。
0-1背包问题
最短路径问题
最短路径问题是在图论中求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
排列和组合都是从n个不同元素中取出m个元素的问题，它们的计算公式都涉及到阶乘的概念。
关联
排列考虑的是元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序；排列数公式是A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)，组合数公式是C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
区别
排列与组合的关联与区别
05
CHAPTER
组合数的定义
C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1。
组合数的性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)。
组合数公式
帕斯卡恒等式
C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1)。
德布鲁因恒等式
详细描述
组合数学的发展历程
总结词
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学中用于解决数据结构、算法设计、离散概率等问题。在统计学中用于样本设计、统计推断等问题。在运筹学中用于解决图论、组合优化等问题。此外，组合数学还在物理学、化学、生物学等领域有应用。
组合数学的应用领域
详细描述
组合数学的定义
组合数学的发展历程可以追溯到古代，但直到20世纪中叶才开始形成独立的数学分支。
组合数学 第一章课件
2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1。 ………… 对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1;
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
2
1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
3
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
n! n1!n2 !...nk !
26
练习题
1、求1040和2030的公因数的数目。
解：1040=240540，2030=260530
C(41,1)*C(31,1)
27
练习题
2、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p1 p2 ... pm
2 2 a1 2 a2
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
2
1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
3
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
n! n1!n2 !...nk !
26
练习题
1、求1040和2030的公因数的数目。
解：1040=240540，2030=260530
C(41,1)*C(31,1)
27
练习题
2、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p1 p2 ... pm
2 2 a1 2 a2
精选组合数学资料
图所示：
a1 a2
a3 a4
根据幻方的定义，它的幻和是5，于是 a1+ a2= a1+ a3=5，可得a2= a3，因为a1 ，a2，a3， a4必定彼此不同，所以不可 能，矛盾。因此不存在2阶幻方。
2019年10月8日
25
• 幻方的构造性问题
（1）奇数阶幻方的构造
连续摆放法（de la Loubère法）。 规则为：假定构造n阶（n为奇数）幻方。 •首先将1放在 (n+1)/2列第1行的方格中，
• 4阶幻方 • 分类枚举 • 基本形式有880个 • 变形有7040个
2019年10月8日
38
• 5阶幻方 • 基本形式有275305224个
• 6阶及以上幻方 • 即使通过大型计算机的计算仍 然难以获得精确的数字，目前只能估 计出它的取值范围
2019年10月8日
39
§1.2 拉丁方问题
•拉丁方是另一类典型的组合数学问题
2019年10月8日
46
3阶正交拉丁方
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2)
并置方阵
2019年10月8日
组合数学
吉林大学 计算机科学与技术学院
2009年9月
参考教材
组合数学，屈婉玲编。北京大学出版 社，1989年11月。
组合数学（第四版），卢开澄等。清 华大学出版社， 2006年12月。
组合数学(英文版·第5版) ，(美)布鲁迪 (Brualdi,R.A.)著。机械工业出版社， 2009年3月。
2019年10月8日
第一章 什么是组合数学
n1=2
n2=4
n3=9
1）当k=2的情形，这个游戏怎么玩？ 2）当k3的情形，这个游戏就复杂多了
定义： n1, n2,…, nk是正整数，若它们的二 进制数码的异或值为0，则称它们处于平衡 状态，否则称为非平衡状态。 例如：2： 10 4: 100 9: 1001 异或值：1111，因此，2，4，9处于非平衡 状态，但2，4，6就是平衡状态了。
一、组合数学产生与发展
组合数学最初来源于数学娱乐和游戏。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对
象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散 对象的组合数学。 例如：棋盘覆盖、幻方和取子游戏等。 1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世， 这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了 组合论（Combinatorics）一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍 应用之后。
例题：64个囚室组成监狱，排成8x8棋盘， 相邻囚室间都有门，某角落囚犯被告知， 如果能够经过每个囚室，且仅进入一次， 若能到达对角线囚室，则可获得自由。
例4: Nim取子游戏
有k(1)堆石子，分别含有n1, n2,…, nk个子。 游戏规则：
1）游戏人A和B交替从这些堆里取一定数量石子 2）取子时，只能选择其中一堆，并且取至少一 个石子 3）最后取完子的人为胜者
n阶幻方是由整数1,
成nn的方阵。 幻和：每列上的整数和以及两条对角线中对角 线上的整数和都为一个数s
ሺଶାଵሻ ଶ
2, 3, …, n2按照一定方式形
幻方构造(n为奇数)
De la Loubere方法
将1放在最上一行的中间，其后整
数沿着自左下到右上的对角线进 行放置 i) 到达顶行，则放到底行 Ii）到达最右列，则放在左侧 Ii）当要放位置已有整数，或已经 到右上角，则放在位置之下。
ch1-什么是组合数学-czm(1)
•
•
组合数学的历史
• 早在１３０３年，中国的朱世杰提出著名的 帕斯卡三角（Pascal三角)，即杨辉三角； • 17世纪，学者帕斯卡和费马研究了与博弈相 关的组合问题， • 18世纪，拉普拉斯使用有利情形定义了概率； 欧拉结合著名的哥尼斯堡桥问题发明了图论； 而伯努利出版了第一本展示组合方法的书 《猜度术》； • 在18世纪和19世纪，哈密顿把组合数学应用 于拼图和游戏的研究中；
应用组合数学
曹霑懋 Ｃａｏｚｈａｎｍａｏ@
章目录
• • • • • • • • • • • • • • • • • 第1章 什么是组合数学 第一部分 组合数学的基本工具 第2章 基本计数规则 第3章 图论概述 第4章 关系 第二部分 计数问题 第5章 生成函数及其应用 第6章 递推关系 第7章 容斥定理 第8章 波利亚计数理论 第三部分 存在问题 第9章 组合设计 第10章 编码理论 第11章 图论中的存在问题 第四部分 组合优化 第12章 匹配与覆盖 第13章 图和网络的优化问题
组合数学的应用
• 【例1.4 棋盘完美覆盖问题】8×8 的64个 正方形，每个牌可盖住两个格子， • ①32个牌可否不重叠地盖住所有格子？
–有，满足不重叠盖住的排列为完美覆盖。 –计算共有多少不同的完美覆盖？
• Fischer,1961年，12 988 816 ＝24×(901)2 • 3×3的棋盘不存在完美覆盖。
组合数学知识架构
• 例子一部分介绍 • 符号具有统一性 • 要有离散数学，算法设计等基础需要，没 有的可以退选 • 思想和方法和例子结合 • 适度练习
应用呼唤研究
• • • • • • • • ＤＮＡ序列比对 蛋白质序列 生物种进化树重构 杂交 心理量 基因组图谱测绘 卫星通信 着色问题：移动通讯，交通灯…
组合数学第一张排列与组合课件解读
解 自变量 ( x1 , x2 , , xn ) 可能取值的个数为 设取值为 a1， , a
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
2019/1/4
7
1.1 基本计数法则
例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。
解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
2019/1/4 24
1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有 9 辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
2019/1/4
28
1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
2019/1/4
8
1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
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1.1 基本计数法则
例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。
解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
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1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有 9 辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
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1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
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1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
组合数学 第1章
30 38 46 5 13 21 22 39 47 6 14 15 23 31 48 7 8 16 24 32 ) 2
1 9 17 25 33 41 49
10 18 26 34 42 43 2
19 27 35 36 44 3 11
28 29 37 45 4 12 20
注意,给出一种算法,不仅要描述算法的步骤,而且要证明算法的正 确性,并对算法进行时间分析.
二 幻方体
n阶幻方体是由整数1,2,3,…,n3 组成的一个 n×n×n的立方体阵列,使得下述每一条直线上的n个元 素的和S都相同: 1.平行于立方体的每一条直线 2.每个截面上的每条对角线 3.每条空间对角线 同样称S为幻方体的幻和,且
1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 → 并置 2 3 1 3 2 1 1) 2) 3) (1, (2, (3, (3, (1, (2, 3) 1) 2) 3) 1) 2) (2, (3, (1,
但是不存在两个正交的6阶拉丁方.
1.6 最短路径问题
第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖问题
一 问题描述 假设有一张普通国际象棋棋盘和32张domino牌,其形状如下:
一张domino牌 (8×8)象棋棋盘
并且一张domino牌正好可以和象棋棋盘中横向或纵向的两个相邻的方格完全 重合. 问题(棋盘的完美覆盖问题):是否能够把32张domino牌摆放在棋盘上, 使得任何两张domino牌均不重叠,每张domino牌覆盖两个方格,并且棋盘上 所有方格都被覆盖住?如果存在这种完美覆盖,那么总共有多少种不同的完 美覆盖? 结论:国际象棋棋盘的不同的完美覆盖总共有24×9012 = 12988816种
�
分别来自6个军团共有6种不同军衔的36名军官,他们能否排列成6行6列的编队,使 得每行每列均有各种军衔的军官1名,并且每行和每列上的不同军衔的6名军官还分别来 自不 同的军团? 我们把一个军官表示为一个序偶(i,j),其中i表示改军官的军衔(i=1,2,…, 6),而j表示它所在的军团(j=1,2,…,6),于是上述36军官问题可用数学语言描 述成: 是否存在这样的两个6×6矩阵,其元素取自1,2,…,6,使得 1.整数1,2,…,6以某种顺序出现在矩阵的每一行和每一列; 2.当这两个矩阵并置时,所有36序偶(i,j)(i=1,2,…,6)全部出现. 我们把具有上述性质1的两个6×6矩阵均称为6阶拉丁方.这两个6阶拉丁方若同时 具有上述性质2,则称它们是正交的. 于是36军官问题可描述为:是否存在两个正交的6阶拉丁方? 例如,3阶正交的拉丁方是存在的:
1 9 17 25 33 41 49
10 18 26 34 42 43 2
19 27 35 36 44 3 11
28 29 37 45 4 12 20
注意,给出一种算法,不仅要描述算法的步骤,而且要证明算法的正 确性,并对算法进行时间分析.
二 幻方体
n阶幻方体是由整数1,2,3,…,n3 组成的一个 n×n×n的立方体阵列,使得下述每一条直线上的n个元 素的和S都相同: 1.平行于立方体的每一条直线 2.每个截面上的每条对角线 3.每条空间对角线 同样称S为幻方体的幻和,且
1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 → 并置 2 3 1 3 2 1 1) 2) 3) (1, (2, (3, (3, (1, (2, 3) 1) 2) 3) 1) 2) (2, (3, (1,
但是不存在两个正交的6阶拉丁方.
1.6 最短路径问题
第一章 什么是组合数学
1.1 棋盘的完美覆盖问题
一 问题描述 假设有一张普通国际象棋棋盘和32张domino牌,其形状如下:
一张domino牌 (8×8)象棋棋盘
并且一张domino牌正好可以和象棋棋盘中横向或纵向的两个相邻的方格完全 重合. 问题(棋盘的完美覆盖问题):是否能够把32张domino牌摆放在棋盘上, 使得任何两张domino牌均不重叠,每张domino牌覆盖两个方格,并且棋盘上 所有方格都被覆盖住?如果存在这种完美覆盖,那么总共有多少种不同的完 美覆盖? 结论:国际象棋棋盘的不同的完美覆盖总共有24×9012 = 12988816种
�
分别来自6个军团共有6种不同军衔的36名军官,他们能否排列成6行6列的编队,使 得每行每列均有各种军衔的军官1名,并且每行和每列上的不同军衔的6名军官还分别来 自不 同的军团? 我们把一个军官表示为一个序偶(i,j),其中i表示改军官的军衔(i=1,2,…, 6),而j表示它所在的军团(j=1,2,…,6),于是上述36军官问题可用数学语言描 述成: 是否存在这样的两个6×6矩阵,其元素取自1,2,…,6,使得 1.整数1,2,…,6以某种顺序出现在矩阵的每一行和每一列; 2.当这两个矩阵并置时,所有36序偶(i,j)(i=1,2,…,6)全部出现. 我们把具有上述性质1的两个6×6矩阵均称为6阶拉丁方.这两个6阶拉丁方若同时 具有上述性质2,则称它们是正交的. 于是36军官问题可描述为:是否存在两个正交的6阶拉丁方? 例如,3阶正交的拉丁方是存在的:
《组合数学》第1章(排列组合基础)(1)
第1章组合数学基础1.1绪论（一）背景起源：数学游戏幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。
这样的n阶方阵称为n阶幻方。
每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。
例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。
关心的问题（1）存在性问题：即n阶幻方是否存在？（2）计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？（3）构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。
奇数阶幻方的生成方法：一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。
例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。
问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否定的。
A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1B3 C4 D5 E6 F1 A2C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。
求本质上不同的染色方案。
举例：形式总数：43＝81种。
实际总数（见第6章）：L ＝()32334124⨯++＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。
2020学年高中数学第1章计数原理1.3组合课件苏教版选修2_3
故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．
3．若 An3＝8C2n，则 n 的值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：A
4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相
等，则车票票价的种数是________．
答案：3
组合概念的理解 下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ (1)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成一项工作，有多少 种不同的选法？ (2)从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成两项不同的工作， 有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需要赛多少 场？
1．若 C1n2＝C122n－3，则 n 等于(
)
A．3
B．5
C．3 或 5
D．15
解析：选 C.由组合数的性质得 n＝2n－3
或 n＋2n－3＝12，解得 n＝3 或 n＝5，
故选 C.
2．计算 Cr1－01＋C1170－r的值为________． 解析：由题意得r1－7－1≤r≤1100， 所以 7≤r≤11. r＝7 时，C610＋C1100＝211； r＝8 时，C710＋C910＝130； r＝9 时，C810＋C810＝2C810＝90； r＝10 时，C910＋C710＝130； r＝11 时，C1100＋C610＝211.
答案：12
4．从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答) 解析：由题意知，所有可能的决赛结果有 C61C25C33＝6×5×2 4×1 ＝60(种)． 答案：60
1.从 5 个不同元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个， 列出所有组合． 解：要想列出所有组合，做到不重不漏，应先将元素按照一定 的顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出 来． 如图所示：
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
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一,组合数学发展概述
组合数学问题在生活中随处可见: 组合数学问题在生活中随处可见: 例如: 计算下列赛制下总的比赛次数:n 计算下列赛制下总的比赛次数:n支球队参赛,每 队只能和其他队比赛一次; 创建幻方; 一笔画问题(在纸上画一个网络,用铅笔沿着网络 路线走,在笔不离开纸面且不重复线路的条件下, 一笔画出网络); 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题.
组合数学是计算机软件产业的基础,中国最终一 定能成为一个软件大国,但是要实现这个目标的 一个突破点就是发展组合数学.中国在软件技术 上远远落后于美国,而在组合数学上则更是落后 于美国和欧洲.如果中国只是想在软件技术上跟 着西方走,而不在组合数学上下功夫,那么中国 的软件将一直处于落后的状态.
如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软 件和第二次开发,那么我们在应用软件这个领域 也会让国外的企业抢去很大的市场. 如果我们现在在信息技术的数学基础上,大力支 持和投入,那将是亡羊补牢,犹未为晚.吴文俊 院士开创和领导的数学机械化研究,为中国在信 息技术领域占领了一个重要的阵地,有了雄厚的 数学基础,自然就有了软件开发的竞争力.这样 的阵地多几个,我们的软件产业就会产生新的局 面.
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满 足一些指定规则的格式. 研究排列的存在性(存在的必要和充分条件) 研究排列的计数和分类 研究研究一个已知排列的性质和结构 构造一个最优的排列 因此,组合数学可以一般地描述为:组合数学 是研究离散结构的存在,计数,分析和优化等问 题的一门科学.
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支,据 传说,大禹在4000多年前就观察到了神龟背上的幻 方…….贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有:《黄 帝九章细草》,《算法敩古集》(又称"古算法导 引" ),都已失传.杨辉著《详解九章算法》 (1261年)中曾引贾宪的"开方作法本源图"(即 指数为正数的二项式展开系数表 , 现称"杨辉三 角" )和"增乘方法"(求高次幂的正根法).前 者比帕斯卡(Pascal)三角形早600年,后者比霍纳 (William Geoge.Horner,1786-1837)的方法(1819年) 早770年.
美国的大学,国家研究机构,工业界,军方和情 报部门都有许多组合数学的研究中心,在研究上 投入了大量的经费.但他们得到的收益远远超过 了他们的投入,更主要的是他们还聚集了组合数 学领域全世界最优秀的人才.高层次的软件产品 处处用到组合数学,更确切地说就是组合算法. 欧洲也在积极发展组合数学,英国,法国,德国, 荷兰,丹麦,奥地利,瑞典,意大利,西班牙等 国家都建立了各种形式的组合数学研究中心. 南美国家也在积极推动组合数学的研究.澳大利 亚,新西兰也组建了很强的组合数学研究机构.
三,组合数学在国内外的状况
纵观全世界软件产业的情况,易见一个奇特的现 象:美国处于绝对的垄断地位.造成这种现象的 一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发 展.当今计算机科学界的最权威人士很多都是研 究组合数学出身的.美国最重要的计算机科学系 (MIT,Princeton,Stanford,Harvard, MIT,Princeton,Stanford,Harvard, Yale, Yale,….)都有第一流的组合数学家.
四,组合数学研究工具和学习特点
组合数学主要研究工具之一为:数学归纳法.一 般来说,用数学归纳法证明一个强结果比证明一 个弱结果更容易,其技巧在于找到假设的正确平 衡来进行归纳. 学好组合数学的方法:必须具有钻研精神和敏锐 的洞察力,并会利用它们掌握我们后续阶段将要 介绍的组合数学的一般原则和方法,通过大量的 实践积累这些原则和方法的应用经验.一句话, "用组合数学解决问题一般说来和用数学解决问 题一样,你解决的问题越多,那么能够解决下一 个问题的可能性也就越大" 个问题的可能性也就越大".
二,组合数学与计算机软件
传统的计算机算法可以分为两大类,一类是组合 算法,一类是数值算法(包括计算数学和与处理 各种信息数据有关的信息学).南开大学陈永川 教授认为,近年来计算机算法又多了一类:那就 是符号计算算法.吴文俊院士开创的机器证明方 法就属于符号计算,引起了国际上的高度评价, 被称为吴方法.而国际上还有专门的符号计算杂 志.符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密 切的联系.
美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中 心DIMACS(与Princeton大学,Rutgers大学, DIMACS(与Princeton大学,Rutgers大学, AT&T 联合创办的,设在Rutgers大学),该中心 联合创办的,设在Rutgers大学),该中心 已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地. 美国国家数学科学研究所(Mathematical 美国国家数学科学研究所(Mathematical Sciences Research Institute,由陈省身先生创立)在1997年 Institute,由陈省身先生创立)在1997年 选择了组合数学作为研究专题,组织了为期一年 的研究活动. 日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心,理 日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心,理 论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课 题,该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威. 题,该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威.
随着计算机网络的发展,计算机的使用已经影响 到了人们的工作,生活,学习,社会活动以及商 业活动,而计算机的应用根本上是通过软件来实 现的.在美国有这样一种说法,将来一个国家的 经济实力可以直接从软件产业反映出来. 美国及欧洲的软件之所以能领先,其关键就在于 在数学基础上他们有很强的实力,有很多杰出的 人才. 值得注意的是,印度有很好的统计和组合数学基 础,这可能也是印度的软件产业近几年有很大发 展的主要原因之一.
目前,我国在软件产业上落后与美国等西方国家, 要说出根本的原因可能并不是很简单的事,除了 技术和科学上的原因外,可能还跟我们的文化, 管理水平,教育水平,思想素质等诸多因素有关. 除去这些人文因素以外,一个最根本的原因就是 成为软件强国. 中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切 的需求:网络算法和分析,信息压缩,网络安全, 编码技术,系统软件,并行算法,数学机械化和 计算机推理等等.与实际应用有关的还有许多许 多需要数学基础的算法,如运筹规划,金融工程, 计算机辅助设计等.
组合数学在国外早已成为十分重要的学科,甚至 可以说是计算机科学的基础.一些大公司,如 IBM,AT&T都有全世界最强的组合研究中心. IBM,AT&T都有全世界最强的组合研究中心. Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机 Gates近来也在提倡和支持计算机 科学的基础研究.例如,Bell实验室的有关线性规 科学的基础研究.例如,Bell实验室的有关线性规 划算法的实现,以及有关计算机网络的算法,由 于有明显的商业价值,并没有对外公开.美国已 经有一种趋势,就是与新的算法有关的软件是可 以申请专利的.如果照这种趋势发展,世界各国 对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋 激烈.
组合数学,又称为离散数学,但有时人们也把组合数学 和图论加在一起算成是离散数学. 计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理的对象 是离散的数据,所以离散对象的处理就成了计算机科学的 核心,而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学. 现代数学可以分为两大类:一类是研究连续对象的, 如分析,方程等,另一类就是研究离散对象的组合数学. 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位,在 其它的学科中也有重要的应用,如计算机科学,编码和密 码学,物理,化学,生物等学科中均有重要应用.
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命 奠定了基础, 奠定了基础,而组合数学的发展则是奠定了本世 纪的计算机革命的基础.计算机之所以可以被称 为电脑,就是因为计算机被人编写了程序,而程 序就是算法,在绝大多数情况下,计算机的算法 是针对离散的对象,而不是在作数值计算.正是 因为有了组合算法才使人感到,计算机好象是有 思维的.
组合数学引论
Introductory Combinatorics (第四版) (美) Richard A . Brualdi 著 冯舜玺 罗平 裴伟东 译 卢开澄 冯舜玺 校 主讲教师: 李向军 2008年 2008年9月 于 南 昌 大 学
第一章(Chapter 第一章(Chapter 1) 什么是组合数学? 什么是组合数学? What is Combinatorics?
由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数 由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数 学有密切的联系,各国对生物信息学的研究都很 重视,这也是组合数学可以发挥作用的一个重要 领域.据说IBM也将成立一个生物信息学研究中 领域.据说IBM也将成立一个生物信息学研究中 心.由于DNA就是组合数学中的一个序列结构, 心.由于DNA就是组合数学中的一个序列结构, 美国科学院院士,近代组合数学的奠基人Rota教 美国科学院院士,近代组合数学的奠基人Rota教 授预言,生物学中的组合问题将成为组合数学的 一个前沿领域.
美国重要的国家实际室(Los Alamos国家实验 美国重要的国家实际室(Los Alamos国家实验 室,以造出第一颗原子弹著称于世),从曼哈顿 计划以来一直重视应用数学的研究,包括组合数 学的研究.据说该实验室承担过有关组合数学的 计算机模拟项目经费达三千万美元.不仅如此, 该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究 实力. 美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验 美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验 室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构, 主要从事组合编码理论和密码学的研究,在美国 政府以及国际学术界都具有很高的地位.