北京邮电大学线性代数模拟试卷五

卷七

一.填空题（每小题4分，共40分）

1．设行列式, 其代数余子式, 则

.

2．设矩阵A和B分别按列分块为和，且

，则行列式.

3. 设, 则.

4. 设满足, 其中为单位矩阵,为A

的伴随矩阵, 则.

5. 设A满足, 其中E是3阶单位阵, 则.

6. 设, 且可用

线性表出, 则.

7. 设线性方程组, 则.

8. 设n阶矩阵A的元素全为1, 则A的n个特征值是.

9. 设A,B都是3阶方阵, 且. 已知A是不可逆矩阵, 且

, 则一个与B相似的对角矩阵为.

10.已知二次型通过正交变换化

为标准形, 则.

二(10分). 已知向量组,,,.

求: (1)a,b取何值时,不能用线性表出?

(2)a,b取何值时, 可用线性表出? 并写出此表示式.

三（10分）. 设有线性方程组. 已

知是它的一个解. 求该线性方程组的通解.

四（10分）.已知矩阵A,求其伴随矩阵的逆矩阵

五（10分）. 设矩阵, 求a的值. 并判别A 是否可以对角化?

六（12分）. 设. 求正交矩阵Q和对角矩阵,

七（8分）．设A是矩阵，B是矩阵，证明：若，则

参考答案

一.填空题（每小题4分，共40分）

1．设行列式, 其代数余子式, 则 1 .

2．设矩阵A和B分别按列分块为和，且

，则行列式.

3. 设, 则.

4. 设满足, 其中为单位矩阵,为A

的伴随矩阵, 则.

5. 设A满足, 其中E是3阶单位阵, 则

.

6. 设, 且可用

线性表出, 则9 .

7. 设线性方程组, 则.

8. 设n阶矩阵A的元素全为1, 则A的n个特征值是.

9. 设A,B都是3阶方阵, 且. 已知A是不可逆矩阵, 且

, 则一个与B相似的对角矩阵为.

10.已知二次型通过正交变换化

为标准形, 则 2 .

二(10分). 已知向量组,,,.

求: (1)a,b取何值时,不能用线性表出?

(2)a,b取何值时, 可用线性表出? 并写出此表示式.

解设. 对增广矩阵施行初等行变换:

所以

(1) 当时, 线性方程组无解, 此时β不能由线性表出.

(2) 当时, 线性方程组有惟一解, 即

.

当时, 线性方程组有无穷多组解, 即

.

三（10分）. 设有线性方程组. 已

知是它的一个解. 求该线性方程组的通解.

解代入已知解, 求得

对方程组的增广矩阵施行初等行变换:

,

(1) 当时, 方程组有无穷多组解, 求得其通解为:

.

(2) 当时, 上述方程组的增广矩阵经初等行变换化为:

方程组有无穷多组解, 且为

为常数.

四（10分）. 已知3阶矩阵A, 求其伴随矩阵的逆矩

阵

解由, .只要求出A和.

用初等行变换. 因为

.

所以

五（10分）. 设矩阵, 求a的值. 并判别A 是否可以对角化?

解.

(1) 若有根2, 代入后易求得, 这时2是A的二重特

征值. 由于的秩为1, 因此有两个线性无关的特征向量,

故A可以对角化.

(2) 若有重根, 则

.

这时A的特征值为2,4,4, 对二重特征值4, 有

其秩为2, 此时A不可以对角化.

六（12分）. 设. 求正交矩阵Q和对角矩阵,

解A的特征多项式为

.

A的特征值为.

当时, 解方程组, 得两个线性无关的特征向量为

, 将其正交规范化为

当时, 解线性方程组, 求出一个特征向量为

, 将其单位化, 得.

令,Q为正交矩阵,

七（8分）．设A是矩阵，B是矩阵，证明：若，则

证因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

因为, 所以由A的行秩等于A的秩知, A有n个行向量线性无关. 于是存在m阶可逆矩阵P, 使.

其中是n阶可逆矩阵.

因为进行一系列初等行变换, 可以把n个线性无关的行向量移到矩阵的上部构成, 而其余个行向量, 由于可以由上部的n个线性无关的行向量线性表出, 于是经过初等行变换均可化为O. 从而有

因此有