控制系统的微分方程

控制系统的微分方程数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，常用的动态模型为微分方程。

建立数学模型的方法分为解析法和实验法。

解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。

实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。

建立微分方程的步骤：1、分析各元件的工作原理，明确输入、输出量；2、按照信号的传递顺序，列写各变量的动态关系式；3、化简（线性化、消去中间变量），写出输入、输出变量间的数学表达式。

例：RLC 无源网络如图所示，图中R 、L 、C 分别为电阻（Ω）、电感（H)、电容（F);建立输入电压u r (V)和输出电压u c (V)之间的动态方程。

解由基尔霍夫定律得:()1()()()r di t u t Ri t L i t dt dt C=++⎰1()()c C u t i t dt=⎰消去中间变量i (t ),可得:222()d ()2()()c c c rd u t u t T T u t u t dt dt ζ++=22()()()()c c c rd u t du t LC RC u t u t dt dt ++=令，则微分方程为：2,2LC T RC T ζ==式中：T 称为时间常数，单位为s,称为阻尼比，无量纲。

ζ例设有一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F 作用于系统时，系统将产生运动。

建立外力F 与质量块位移y (t )之间的动态方程。

其中弹簧的弹性系数为k ，阻尼器的阻尼系数为f ，质量块的质量为m 。

解对质量块进行受力分析，作用在质量块上的力有：外力: F 弹簧恢复力:Ky(t)阻尼力:()dy t f dt由牛顿第二定律得:22()()()d y t dy t m F f Ky t dt dt =−−22()()()d y t dy t m f Ky t Fdt dt ++=222()()2()d y t dy t T T y t kFdt dt ζ++=令，，/T m K =2/T f K ζ=1/k K =/2f mKζ=则微分方程可以写为该方程描述了由质量块、弹簧和阻尼器组成系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。

控制系统的传递函数1、传递函数的定义定义：线性定常系统，在零初始条件下，输出变量的拉普拉斯变换（简称拉氏变化）与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为该系统的传递函数，并表示为：r (t )c (t )线性定常系统()()()=C s G s R s这里的“零初始条件”有两方面含义：一是指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=0-时的值为零。

二是指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=0-时，系统的输出量及各阶导数为零。

关于传递函数的几点说明：•仅适用于线性定常系统；•只反映系统的输入输出关系；•仅取决于系统结构、参数，与输入形式无关；•不同的物理系统可以有相同的传递函数；•是变量s的有理分式，分子、分母的次数满足：m n。

122、传递函数的建立()()()()t c a dtt dc a dt t c d a dt t c d n n n n n01111++++−−− ()()t r b dtt r d b dt t r d m m m m m0111)(++=−−− 设系统的微分方程为在零初始条件下对上式进行拉氏变换)()(0111s C a s a sa s n n n++++−− )()(0111s R b s b sb s m m m ++++=−− 则传递函数为1110111)()()(a s a s a s b s b s b s s G s R s C n n nm m m+++++++==−−−−例：弹簧-质量块-阻尼系统如图所示：MF(t)k f y(t)令F (t )为外力，y (t )为质量块的位移。

求系统的传递函数。

解：系统微分方程为22()()()()d y t dy tM f Ky t F tdt dt++=由此可得该系统的传递函数为：2()1()Y sF s Ms fs K=++3、典型环节10111011()()()−−−−++++==++++m m m m n n n nb s b s b s b C s G s R s a s a s a s a 系统的传递函数通常可表示为：G (s)可分解为如下形式22112211(1)(21)()(1)(21)h lrijj j i j qkvijj j i j Kss s s G s sT s Ts T s ττζτζ====+++=+++∏∏∏∏式中：为实数。

,,,,,,i j i j i j K T T ττζζ2r h l m++=2v k q n++=一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。

常见的几种形式有：①比例环节，传递函数为：()G s K=②积分环节，传递函数为：1()G s s=③微分环节，传递函数为：()G s s=④惯性环节，传递函数为：1()1G s Ts =+⑤一阶微分环节，传递函数为：()1G s s τ=+τ式中：为时间常数。

⑥二阶振荡环节，传递函数为：221()21G s T s Ts ζ=++式中：T 为时间常数，为阻尼比。

ζ⑦二阶微分环节，传递函数为：22()21G s s s τζτ=++式中：为时间常数，为阻尼比τζ()sG s eτ−=⑧延迟环节，传递函数为：动态结构图动态结构图：表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。

构成动态结构图的基本单元有四种，即：信号线、方框、综合点和引出点。

信号线，箭头表示信号传递的方向。

方框，方框中为元件的传递函数。

G (s )H (s )−R (s )C (s )B (s )E (s )综合点（比较点），对信号进行加、减运算。

Y (s )C (s )引出点（测量点），信号引出或测量位置。

系统动态结构图的建立系统中每个元件用一个或几个方框表示，然后，根据信号传递顺序用信号线按一定方式连接起来，就构成了系统的动态结构图。

步骤：①建立控制系统各元部件的微分方程；②对各微分方程在零初始条件下，进行拉普拉斯变换，并作出各元件的结构图；③按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，通常输入变量在左端，输出变量在右端，便可得到系统的动态结构图。

例：位置随动系统如图所示，试建立系统的动态结构图。

解从图中可以看出，系统由电位器电桥、放大器、直流电动机、齿轮系和负载组成，首先建立各元件的微分方程。

max()/s s e s r c s u K K K E θθθθ==−⎧⎨=⎩电位计电桥放大器a a su K u =2212212211a a a a a b mb bm m a m mm di u R i L E dt d E K dt M C i d d J f M dt dt J J J i f f fi θθθ⎧=++⎪⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪=++⎪⎩直流电动机齿轮系统211c m i Z i Z θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩在零初始条件下对上述各式进行拉氏变换，并作出各元件结构图。

电位计电桥()()[()()]s s e s r c U s K s K s s θθθ==−放大器()()a a s U s K U s =直流电动机()()()()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()b b m E s K s s θ=()()m m a M s C I s =2()()m m mJs s fs s M θθ+=齿轮系统1()()c m s s iθθ=23)(s rθ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U s )(s U a )(s m θi1)(s c θ电位计电桥放大器齿轮系统直流电动机()r s θ()c s θ()m s θas位置随动系统动态结构图动态结构图的等效变换261. 串联连接及其等效变换方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，且中间无引出点、综合点，这种形式的连接称为串联连接。

G 1(s )G 2(s )R (s )C (s )221()()()()()()C s G s U s G s G s R s ==G 1(s )G 2(s )R (s )C (s )U(s)2. 并联连接及其等效变换G 1(s )G 2(s )±R (s )C (s )12()()G s G s ±R (s )C (s )1212()()()()()(()())()C s G s R s G s R s G s G s R s =±=±方框具有同一个输入信号，输出信号等于各方框输出量的代数和，这种形式的连接称为并联连接。

3. 反馈连接及其等效变换()1()()G s G s H s R (s )C (s )G (s )H (s )±R (s )C (s )E (s )()()()1()()G s C s R s G s H s =系统的输出信号C (s)，经测量再返回到系统的输入端，构成系统控制信号的一部分。

这种连接形式称为反馈连接。

“-”表示负反馈，“+”表示正反馈。

C (s)=G (s)E (s)E (s)=R (s)H (s)C (s)±4. 综合点前、后移动等效变换综合点前移综合点后移1()[()()]()()()()C s R s U s G s R s U s G s =±=±()()()()()()[()()]C s G s R s G s U s G s R s U s =±=±5.相邻综合点之间的移动相邻的综合点可以随意交换位置，亦可以将其进行合并成一个综合点。

6. 引出点前、后移动等效变换引出点前移引出点后移1相邻引出点交换位置，不影响信号的传递关系。

7.相邻引出点之间的移动ABR(s)R(s)R(s)BAR(s)R(s)R(s)例：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C (s)/R (s)。

1G 2G 3G 4G 1H 2H 3H RC将引出点后移。

1G 2G 3G 4G 1H 2H 3H RC1G 2G 3G 4G 1H 42G H RC1G 2G 3G 4G 1H 42G H 3H RC1G 2G 42G H RC143431H G G G G −1G 2G 42G H 3H RC143431H G G G G −1G RC2321434321H G G H G G G G G +−1G 3H RC2321434321H G G H G G G G G +−RC3432123214343211H G G G G H G G H G G G G G G ++−用结构图变换方法求传递函数的基本步骤为：①观察结构图，适当移动引出点或综合点，将结构图变成三种典型连接方式；②对于多回路结构图，先求内回路的等效变换方框图，再求外部回路的等效变换方框图；③求出传递函数。