【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
1 例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 2 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
2 2 2
(3)x y 2ax b 0________
2 2
(2)圆心为(1, 2), 半径为 11 的圆 .
(3)当a, b不同时为0时，圆心为(a, 0), 半径为 a 2 b 2的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
练习： 求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程，
轴所得的弦长是
1 ( D)a 2
(D)
x
轴相切,则这个圆截
y
( A)
(A)6
(B)5
(C)4
(D)3
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) • C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与 • x轴夹角相等. (2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上. (3)圆心C到l 的距离等于
圆的半径. • B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
几何方法
小结：求圆的方程
待定系数法
2 =r
D 2 E 2 D E 4F （x ) ( y ) 2 2 4
2 2
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy这样的项。
练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x y 0 ________
2 2
(2)x y 2x 4y 6 0____
(D) (D)4,6,3
( A)4,6,3 ( B) 4,6,3 (C) 4,6,3
(2)
2 y 2 2ax y a 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a ( B)a (C )a 2 2 2
2 y 2 8 x 10 y F 0 与 (3)圆 x
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点， | OM | 1 也就是点M属于集合 {M | } | AM | 2 y 由两点间的距离公式，得 M x2 y2 1 A x C O ( x 3) 2 y 2 2 化简得 x2+y2+2x3＝0 ① 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
(3) x y 4x 6 y 15 0
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
展开圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
不妨设：D＝－2a、E＝－2b、F＝a2+b2-r2
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1） 可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 1 的点的轨迹，求此曲 2 线的方程，并画出曲线。
y
M
.
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.
（-1，0）
O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用] (1)已知圆
2 y 2 Dx Ey F 0 x
的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 将（ ）配方得（x ) ( y ) 1 (2) 2 2 4
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
并化一般方程。
设圆的方程为 x 8) ( y 3) r (
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
2 2
故圆的一般方程为x y 16x 6 y 60 0
2 2
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
D E D2 E 2 4F 圆心 - , r 2 2 2 D E 2 2 （2）当 D E 4F 0 时，表示点 - , 2 2
（3）当 D E 4F 0 时，不表示任何图形
2 2
两种方程的字母间的关系：
2+(y-b)2 (x-a)
所求圆的方程为：
2 y 2 6x 8 y 0 x
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
第二章 解析几何初步 2.2.2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x2 y 2 4x 6 y 13 0
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
2 2
2 2
x 2, y 3
配方得
( x 1) ( y 2) 4
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
练习： 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
设圆的方程为 y Dx Ey F 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
62 6 D F 0 82 8 E F 0
F 0
D 6, E 8， F 0.