谈谈高斯-勒让德公式推导过程

4章数值积分与数值微分

4.1 引言

4.1.1 数值求积的基本思想

实际问题当中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系．

依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分

．

只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿－莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：

但实际使用这种积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如等等，我们

找不到用初等函数表示的原函数；另外，当是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿－莱布尼兹公式也不能直接使用．因此有必要研究积分的数值计算问题．

积分中值定理告诉我们，在积分区间内存在一点，成立

就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积（图４－１）．问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难准确算出的值．我们将称为区

间上的平均高度．这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．

如果我们用两端点“高度”和的算术平均平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式

（4.1.1）

便是我们所熟悉的梯形公式（几何意义参看图４－２）．而如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）

（4.1.2）

更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均

高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：

（4.1.3）

式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点的权．权仅仅与节点的选取有关，而不依赖于被积函数的具体形式．

这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．

4.1.2 代数精度的概念

数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．

定义１如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多

项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度．

不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有一次代数精度．

一般地，欲使求积公式（4.１.３）具有次代数精度，只要令它对于都能精确成立，这就要求

(4.1.4)

为简洁起见，这里省略了符号中的上下标．

如果我们事先选定求积节点，臂如，以区间的等距分点作为节点，这时取求

解方程组(4.1.4)即可确定求积系数，而使求积公式(4.1.3)至少具有次代数精度．本章第２节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例．

为了构造出形如(4.1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题．

4.1.3 插值型的求积公式

设给定一组节点

且已知函数在节点上的值，作插值函数（参见第２章(2.9)式）．由于代数多项式

的原函数是容易求出的，我们取

作为积分的近似值，这样构造出的求积公式

(4.1.5)

称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数的积分得出

(4.1.6)

由插值余项定理（第２章的定理２）即知，对于插值型的求积公式(4.1.5)，其余项

(4.1.7)

式中与变量有关，．

如果求积公式(4.1.5)是插值型的，按式(4.1.7)，对于次数不超过的多项式，其余项等于零，因而这时求积公式至少具有次代数精度．

反之，如果求积公式(4.1.5)至少具有次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公式(4.1.5)对于插值基函数应准确成立，即有

注意到，上式右端实际上即等于，因而式(4.1.6)成立．

综上所述，我们的结论是：

定理１形如(4.1.5)的求积公式至少具有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性

定义２在求积公式(4.1.3)中，若

．

其中，则称求积公式(4.1.3)是收敛的．

在求积公式(4.1.3)中，由于计算可能产生误差，实际得到，即．记

．

如果对任给小正数，只要误差充分小就有

，(4.1.8)

它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的，由此给出：

定义３在任给，若，只要就有(4.1.8)成立，则称求积公式(4.1.3)是稳定的．

定理２若求积公式(4.1.3)中系数，则此求积公式是稳定的．

证明对任给，若取，对都有，则有

由定义３可知求积公式(4.1.3)是稳定的．证毕．

定理２表明只要求积系数，就能保证计算的稳定性．

4.2 牛顿－4.3 柯特斯公式

4.2.1 柯特斯系数

设将积分区间划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式

(4.2.1)

称为牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中称为柯特斯系数．按(4.1.6)式，引进变换，则有

(4.2.2)

由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当时，

这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1)．

当时，按(4.2.2)式，这时柯特斯系数为

相应的求积公式是下列辛普森(Simpson)公式

，(4.2.3)

而当的牛顿－柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式是

(4.2.4)

为里．

下表列出柯特斯系数表开头的一部分．

1

2

3

4

5

6

7

8

从表中看到时，出现负值，于是有

，

特别地，假定，且，则有

它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故时的牛顿－柯特

斯公式是不用的．

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度

作为插值型的求积公式，阶的牛顿－柯特斯公式至少具有次代数精度（定理１）．实际的代数精度能否进一步提高呢？

先看辛普森公式(4.2.3)，它是二阶牛顿－柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度．进一步用进行检验，按辛普森公式计算得