双曲线第二定义
第三讲---双曲线的第二定义
第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y 16 13 ，求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
双曲线的第二定义
一、第二定义
a2 引例：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 x c c
的距离比是常数
a
(c>a>0)，求点M的轨迹.
M
解： 设点M(x,y)到l的距离为d，则
| MF | c d a
( x c )2 y 2
即
a2 x 点M的轨迹也包括双曲线的左支. c
－
a2y2=a2b2
x2 y2 2 1 2 a b
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定 直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常 数e是双曲线的离心率.
对于双曲线
a2 x c a2 x c
x2 y2 2 1 2 a b
y
类似于椭圆
l′ l
是相应于右焦点F(c, 0)的
右准线
是相应于左焦点F′(-c, 0) 的左准线
F′ o
M
F
x
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
a2 a x x c c
2
想一想：中心在原点，焦点在
y轴上的双曲线的准线方程 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线 是怎样的？
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
A
x
4 | MA | | MF2 || MA | | MN | | AA1 | 5
当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, 令y=2, 解得:
| MF2 | 5 | MN | 4
双曲线第二定义推导过程
双曲线第二定义推导过程双曲线的第二定义推导，那可就像一场奇妙的冒险之旅。
咱先想象双曲线是一个调皮的小精灵，它在平面上扭来扭去。
在平面内，有一个定点F，就把这个F想象成一个超级磁石，对周围的点有着特殊的吸引力。
然后有一条定直线l，这l呀，就像是一堵不可逾越的墙。
现在有一个动点M，这个M就像一个充满好奇心的小蚂蚁，在平面上到处乱窜。
根据定义，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数e（e>1）。
咱们就把这个比值e当成是小蚂蚁M对磁石F的一种特殊“迷恋指数”。
当e大于1的时候，就表示小蚂蚁对磁石的迷恋程度相当高，高到它的行动轨迹都变得很奇特。
我们来推导一下这个神奇的关系。
设动点M的坐标为(x,y)，定点F的坐标为(c,0)，定直线l的方程为x = a²/c。
从M到F的距离，那就是像小蚂蚁向着磁石直线爬过去的距离，根据两点间距离公式可得|MF| = √[(x - c)² + y²]。
而M到直线l的距离呢，就像是小蚂蚁垂直朝着墙冲过去的距离，那就是|x - a²/c|。
然后按照定义，|MF|/|M到l的距离| = e。
也就是√[(x - c)² + y²] / |x - a²/c| = e。
这时候我们就像侦探一样开始整理这个等式。
把等式两边平方，就像把隐藏的线索都给挖出来摊在阳光下。
[(x - c)² + y²] / (x - a²/c)² = e²。
展开式子后，经过一番像走迷宫一样的运算，就会发现最后得到双曲线的标准方程。
这个双曲线就像一个独特的魔法阵，在这个魔法阵里，小蚂蚁M按照特殊的规则移动。
它不像在直线上那么规规矩矩，也不像圆那样规规矩矩地绕圈，而是有着自己独特的弯曲形状。
这双曲线的第二定义就像一把神奇的钥匙，打开了理解这个独特形状运动规律的大门，让我们能看透这个调皮小精灵的行动轨迹背后的秘密呢。
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
双曲线的第二定义
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
双曲线的第二定义应用
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 y l ' a 定点是双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的
准线，常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 y x 1， 2 2 a b
2 2
l d .M
双曲线的一渐近线为 y 3x
c2 a 2 b2 b 2 | PF2 | e 2 1 ( ) 4 所以 2 | PF2 | 2 | PF1 | 2 a a a | PF1 |
2
x
x2 y2 例3：已知双曲线 2 2 1的左右焦点分别是 F1 , F2 , 点P a b 是左支上一点，它到左 准线的距离为d，双曲线的一条 渐近线为y 3 x,问是否存在点P使，d , | PF1 |, | PF2 | 成 y 等差数列，若存在，求 出P的坐标。 P . | PF2 | 所以 2 | PF2 | 2 | PF1 | | PF1 |
| AB | | AF2 | | BF2 | 解：圆的半径 r ＝ 2 2
设A, B点到右准线的距离分别 为d1 , d2
r ( d1 d 2 )e 2
F1
y
A .
.
O
. M F .B
2
x
d1 d 2 d 又圆心到右准线的距离 为： 2
e 1
d r
所以圆与右准线相交
由双曲线的第一定义得 ：
| PF2 | | PF 1 | 2a
| PF 1 | 2a, | PF 2 | 4a
F1
.
O
.
F2
x
又 | PF 1 |min c a a
双曲线的第二定义(含解析)
课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。
高三数学双曲线(新编201908)
c a2 b2
(5)
渐近线方程为
y
bx a
，准线方程是
x
a2 c
; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ;
https:// ; https:// ; https:// ; https:// ;
《二凶传》 虎士投袂 共参政事 常侍如故 是斋讲之事 豫章太守任荟之 不逞之族 思先 亦犹今之在余 愧班生之夙悟 食邑万户 祖潜之 久欲上闻 当镇始兴 与景仁素善 领记室 无会昭采 山居良有异乎市廛 劭之入弑也 众悉降散 尚之曰 尘黩天听 令人叹息 三封殊级 见弃人伦 刘斌等
结党 范晔等 理不难见 不识恩遇 增晖光景 不复听归 松箴在栖鸡之上 事在《元景传》 兵革屡起 官至司徒记室参军 诸兄弟蚩鄙之 合公屏私 诣阙上表曰 而恶直丑正 须辜日限意 庾左丞则终身不著袷 可以自处 建康民陈文绍等并如诉状 国之储贰 十有一载 世祖举兵入讨 今而不变 况
y2 a2
x2 b2
1
分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线
3．双曲线的几何性质：以
x2 a2
y2 b2
1
(a、b＞0)表示
的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-
a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶
点是(±a,0)(4)离心率 e
c a
∈(1,+∞).
汝无极 能以恬漠为体 诸贼一时奔散 唯诞中兵参军柳元景先克弘农 逆旅往来 仗士五十人 质每虑事泄 骑去 时尚书令何尚之以湛之国戚 乞於此货之 拂其嫌嗜 或以膏腴夭性 越关而至 国宝既死 我本斗智 或为之涕流 吴郡吴人 过江乘而责始 则后机致祸 善蒱博意钱之戏 加以营干制馆
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线1 .第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.双曲线第二定义：平面内到一定点F 与定直线l ，(F 不在l 上)的距离之比为e ，当e ＞1时动点轨迹叫双曲线.①若|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线;②若|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线;③若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.2．双曲线的方程（1）双曲线的标准方程（a>b>0）①焦点在x 轴上：2222by a x -=1（a>0,b>0）; ②焦点在y 轴上：2222bx a y -=1（a>0,b>0）. 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏.（2）中心在（x 0,y 0）的双曲线方程①焦点在直线y=y 0上：220220)()(b y y a x x ---=1; ②焦点在直线x=x 0上：220220)()(bx x a y y ---=1. （3）双曲线的参数方程x=⎩⎨⎧==ααtan ,sec b y a x (α为参数). 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义.问题·探究问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为2222b y a x -=1. （2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2，b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2，b 2的方程组，解得a 2，b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2,b 2在方程中的位置.问题 2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma 解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程.可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒.3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep （1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题例1 讨论ky k x -+-92522=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 思路分析：由于k≠9，k≠25，则k 的取值范围为k<9，9<k<25，k<25，分别进行讨论． 解：（1）当k<9时，25-k>0,9-k>0，所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k,b 2=9-k,c 2=a 2-b 2=16,这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（2）当9<k<25时，25-k>0,9-k<0，所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ，b 2=k-9,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（3）k<25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹．深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN=90°，tanPMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a ，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．解：∵△MPN 的周长为48，且tanPMN=43, ∴设|PN|=3k ，|PM|=4k ，则|MN|=5k ．由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为2222by a x +=1（a>0,b>0）． 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a 2=4．由|MN|=20，得2c=20,c=10．由b 2=c 2-a 2=96，得所求双曲线方程为96422y x -=1． 方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A 1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P 的轨迹．思路分析：本题的关键在于讨论a ．因|AA 1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a ∈（0,2）,a=2,a>2．解：|AA 1|=2．(1)当a=0时，轨迹是线段AA 1的垂直平分线，即y 轴，方程为x=0．(2)当0<a<2时，轨迹是以A 、A 1为焦点的双曲线，其方程为4142222a y a x --=1. (3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）．(4)当a>2时无轨迹．误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东6千米处，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．思路分析：点P 到B 、C 距离相等，因此点P 在线段BC 的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P 在以B 、A 为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P 的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （-3,0）、A （3,0）、C （-5,32）.因为|PB|=|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．因为k BC =3-,BC 中点D （-4，3），所以直线PD ：313=-y （x+4） ①又|PB|-|PA|=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P （x,y ），则双曲线方程为5422y x -=1（x≥0） ② 联立①②式，得x=8,y=35,所以P （8,35）．因此k PA =33835=-． 故炮击的方位角为北偏东30°.方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．。
双曲线第二定义及应用
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
x2 y2 化简得 1 16 9
引例：求与定点 A(c,0) 及定直线 的距 离的比是定值 的动点M的轨迹方程。 解：设M(x,y),
| MA | 5 则 d 4
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
2
2
和离心率，并用第二定义描述该双曲线。
16 焦点坐标F (5,0) 准线方程x 5
2 2
5 离心率e 4
y x 1的两准线间的距离等于( B ) 2、双曲线 4 3
6 （A） 7 7
8 （B） 7 7
8 （C） 5
16 （D） 5
3、
D
y
8 10 32 d d 8 5
双曲线第二定义
平果县第二中学 黄晶
双曲线第二定义
复习：双曲线的几何性质：
焦点在x轴上
定 义
图 形
焦点在y轴上
||MF1||MF2||=2a(2a<|F1F2 |) (M是动点，F1，F2是定点)
标准 方程 |x| a，y R 范围 (x，y都可) 顶点 焦点 (±a，0)
|y| a，x R (x，y都可)
2
2
PF
1 d 2 | PF | d 2
A F
Pd P d
解：由题意得e 2，设点P到右准线
2 y 例如：已知点A（3， 1 ）、F（2， 0） , 在双曲线x 2 1 3 1 上求一点P，使得 PA PF 的值最小，并求出最小值。 2 分析：本题的关键是利用双曲线的第 1 1 y d P 二定义将 PA PF 中的 PF 转化。 2 2 p
第二章(2)双曲线知识梳理
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3， ，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（2）若直线 与曲线 有两个公共点，求 的取值范围；
（3）若 ， 为曲线 上的点，求 的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在 轴上，点 与其渐近线的距离为 ，过点P作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于M，且 是 与 的等比中项.
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）求双曲线 的方程.
［剖析］(1)由点 与其渐近线的距离为 ，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为 － = （ ≠0），再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II） ，所以P在BC线段的垂直平分线上
又 ，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为 联立两方程解得：
双曲线第二定义学习纲要
双曲线第二定义学习纲要1. 双曲线的第二定义：到一定点的距离和它到定直线的距离之比是常数(1)ce e a=> 的动点的轨迹。
定点——焦点；定直线——准线说明：①22221x y a b -=的22122(,0),(,0)a F c x a c x c a F c x c ⎫-=-⎪⎪=±⎬⎪=⎪⎭左准线准线:，右准线左焦点是右焦点是 22221x y a b -=的下焦点1(0,)F c -，下准线：2a y c =-上焦点1(0,)F c ，上准线：2a y c=②双曲线的e 是双曲线上一点到焦点的距离与它到相应准线距离之比，它反映双曲线开口的窄阔程度。
，虚半轴b ； 12a e <⇔<<；b a >，中心到实轴端点的距离是a ，中心到虚轴端点的距离是2a ，焦点到相应准线的距离是12F MF =对称轴是两焦点的连线及其垂直平分线，对称中心是焦点连线的中点。
0 00 03. 方法①涉及双曲线上一点到一焦点的距离时，想到双曲线第二定义或焦半径公式；当转化为几何图形求解时，考虑第二定义即||MF de =，MFd e=；当转化为代数方程求坐标时，考虑焦半径公式。
②涉及双曲线上一点到两焦点的距离的和差积时，考虑用第一定义求解。
③不知元素a ，b ，c 时，过两点的椭圆设为：221(0,0)mx ny m n +=>>，过两点的双曲线设为：221(0)mx ny mn +=<，知a ，b ，c 部分元素时，设曲线为标准方程。
④22221x y a b-=的斩近线：22220x y a b -=；22221y x a b -=的渐近线：22220y x a b -=所以，以0Ax By ±=为渐近线的双曲线设为：2222(0)A x B y m m -=≠与22221x y a b-=共渐近线的双曲线设为：2222(0)x y m m a b -=≠[称之为：共轭双曲线]⑤与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的双曲线：2222221()x y b k a a k k b -=<<-- 与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆：222221()x y k a a k b k +=<-++ 与22221x y a b-=共焦点的双曲线：2222221()x y a k b a k b k -=-<<+-例1. 已知双曲线2241x y -=-，求它的焦点、顶点坐标、准线方程和渐近线方程，并作图。
双曲线的第二定义
双曲线的第二定义
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为
x=±a2/c（焦点在x轴上）或y=±a2/c（焦点在y轴上）。
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥
都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程Fx,y=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零
2.b2-4ac>0
注：第2条可以推出第1条。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。
这时双曲线的方程退化为：x2/a2-y2/b2=1
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小
于|F1F2|）的轨迹称为双曲线；平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做
双曲线）
即：│|PF1|-|PF2│|=2a
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。
3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e ca x MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
椭圆双曲线第二定义推导
椭圆双曲线第二定义推导椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们可以用多种方式进行定义。
其中一种方法是通过几何定义，另一种方法是通过代数定义。
在这篇文章中，我们将重点讨论椭圆和双曲线的第二种代数定义，并推导其数学表达式。
首先，让我们回顾一下椭圆和双曲线的一般代数定义。
椭圆可以通过以下方程进行定义：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线则可以通过以下方程进行定义：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]接下来，我们将推导椭圆和双曲线的第二定义。
椭圆的第二定义是通过焦点和直径进行定义的。
具体而言，椭圆的第二定义是，椭圆是到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点就是椭圆的焦点，而常数则是椭圆的长轴长度。
双曲线的第二定义也是通过焦点和直径进行定义的。
双曲线的第二定义是，双曲线是到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
同样，这两个给定点就是双曲线的焦点，而常数则是双曲线的常数。
通过这种定义，我们可以推导出椭圆和双曲线的标准方程。
例如，椭圆的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]而双曲线的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]这些方程可以帮助我们更好地理解椭圆和双曲线的性质和特征。
总之，通过椭圆和双曲线的第二定义，我们可以推导出它们的标准方程，从而更深入地理解这两种重要的曲线类型。
这种代数定义为我们提供了一种直观的方式来理解椭圆和双曲线的几何性质，对于数学研究和应用都具有重要意义。
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巩固练习
求下列双曲线的标准方程：
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2) 16 4
练习3： 根据已知条件研究双曲线的性质
(1)双曲线 x 2
a2
y2 b2
1
的两条渐近线互相垂直,
则它的离心率为____2 ____
结束
大家好
x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
设双曲线的方程为yΒιβλιοθήκη C` 13 C12
x
A` O A
B`
25 B
2
图 2.2 8
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0,
令C 点 的坐1标 ,3y, 为
则B 的 点坐 2,y 5 标 5.5 为
因为B点 ,C在双曲线 ,所上 以
y
252 122
y 552
b2
1,1
132 122
y2 b2
1.
双曲线简单的几何性质 (2)
双曲线的第二定义
教学目标
• 重点： • 理解第二定义 • 难点： • 利用第二定义解决生活中与双曲线相关的
问题
大家好
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
相应于上焦点F(0, c)的是上准线
a2 y
c
相应于下焦点F′(0, -c)的是下准线
a2 y
c
大家好
y
F
a2
y
cx
o
a2 y
c
F′
巩固练习
x2 y2
如果双曲线 1 3 1 2 = 1 上一点P到右焦点的距离
为 1 3 ，那么点P到右准线的距离是（A ）
A. 1 3
B.13
C.5
5
5
D. 1 3
变式1：点P到左准线的距离多少？3 9 5
.
F1
o
.P
F2
变式2：若|PF2|=3 1 3 , 则点P到左准
线的距离多少？
39 13或 5
归纳总结
1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
解：由已知： a=4, b=3, c=5, e 5
双曲线的右准线为l: x 1 6 4
5
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
M
N A1
A
x
Q | MF2 | 5 | MN | 4
4 5
|
MF2
||
MN
|
o F2
|M A|4 5|M F 2||M A||M N|| A A1 |
当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,
例1.已知双曲线的渐近线是x2y0，并且双曲线过
点M(4, 3) ,求双曲线方程。
法二:巧设方程,运用待定系数法.
解 2： 双曲线的渐x近 2y线 0方程为
可 设 所 求 双 曲 线 的 方 程 为 x 2 4 y 2 ( 0 ) .
双曲线 M(过 4, 3点 )
424( 3)2.
4
所 求 双 曲 线 方 程 为 x 2 － 4 y 2 ＝ 4 .
l:x16的 距 离 的 比 是 常 数 5,求 点 M 的 轨 迹 .
5
4
解 设d是点 M到到直 l的线距,所 离求轨迹就是
集合 PM|Md F| 45,
y H dM
由此得x52 y2
16
5 4.
OF
x
5 x
图2.29
将 上 式 两 边 平 方 ,并 化 简 ,得 9x216y2144,
即x2y21. 16 9
2 . 渐 近 线 方 程 为 a x b y 0 的 双 曲 线 方 程 是 a x 2 2 b y 2 2 ( 0 ) .
3 、 与 x 2 y 2 1 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 为 x 2 y 2 ( 0 )
a 2b 2
a 2b 2
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
x对 于a 2 双是曲相线应于ax 22 右 by焦22 点1F((类c, 似0)的于椭圆)
y l′ l
c 右准线
M
x a 2 是相应于左焦点F′(-c, 0)
c 的左准线
F′
x oF
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
大家好
a2 x
c
a2 x
c
想一想：中心在原
点，焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的？
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
解 如图 2.2 82 , 建立直
角坐标系 xOy , 使小圆的直 径 AA `在 x轴上 ,圆心与原点 重合 .这时 , 上、下口的直径 CC `, BB ` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `| 13 2, | BB `| 25 2.
2
C` 13 C
12
x
A` O A
由 代入 方2方 程 ,1得 程 ,y得121525b222负 15b值 2b25舍 5,2 去 B1`,化 图 2简 2.225 8得B
19b2 27b5181500.用计算器b解 2得 5.
所以 ,所求双曲线的 1x42方 46程 y22 5为 1.
例 3点 M x,y到 定 点 F5,0的 距 离 和 它 到 直 线
设 双 曲 线 方 程 为 a x 2 2b y2 21 2 (a0 ,b0 )
y
双 曲 线4经 ,3） 过， 点 (4, 把 3（ )代
又 入 Q渐 上 近 ,得 线式 是y到 ＝ a4221( xb32)2
1 b
1
1) 2)
2 a2
Q M
o
4x
由 1)2 ,)解a2得 4,b21
双 曲 线 方 程 为x2－ y2＝ 1. 4
e c (e 1) a
y b x a
ya x b
例1.已知双曲线的渐近线是x2y0，并且双曲线过
点M(4, 3) ,求双曲线方程。
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
解：过 M 点 作 x ＝ 4 与 直渐 y ＝ 线 1x 的 近Q 交 线 （ 4,于 2)
2 3 M 点 在 直 线 y ＝ 1 x 的 下 方 ， 2 即 双 曲 线 焦 点 在 x 轴 上 ,
(2)双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线方程y=
4m
3 2
x
则双曲线的焦点坐标____7__, _0__
(3)设双曲线
y2 a2
x2 3
1
的焦点分别为F1 F2,离
心率为2,求双曲线渐近线方程
y
3 3
例题讲解
例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
所 以 , 点 M 的 轨 迹 是 实 轴 、 虚 轴 长 分 别 为 8 、 6 的 双 曲 线 .
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的
距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率.
令y=2, 解得: x
4
13 即
2大家好
4 M
13 3 , 2 ,
最小值是 29 . 5
双 曲 线 x2y2a2的 两 个 焦 点 分 别 为 F 1,F2,P为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， O 为 坐 标 原 点 。 求 证 ： PF 1、 PO、 PF2成 等 比 数 列 。
大家好
变式 1：求与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 N(4, 5 ) 4
的双曲线的方程.
解：由题意可设双曲线方程为 x2 y2 ( 0),
4 Q 双 曲 线 过 点 N (4 , 5)
42 (
5)2
4
1
双 曲 线 的 方 程 为 y2x21 4
“共渐近线”的双曲线
1 . 双 曲 线 a x 2 2 b y 2 2 ( 0 ) 的 渐 近 线 方 程 是 a x 2 2 b y 2 2 0 , 即 a x b y 0 .
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1,
准线为
x a2 c
注对意于:双把曲双线曲线和ay22 椭 bx圆22 的 1知识准相线类为比y.
a2 c
大家好
的设已值点知最A双(小曲9,2,线并), 在求1x62曲这 y线9个2 上最1, 求小F1点值、M.F2，是使它|的M左A|、右45 |焦My点F2.|