第2章2.3.2双曲线的几何性质(一)
高中数学选修2-1第二章第8课时同步练习§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)1、双曲线22154x y -=的（ ）A 、实轴长为 4B 、23实轴长为8C 、实轴长为10，虚轴长为4D 、实轴长为820，2），则双曲线的标准方程为（ ）A 、22144x y -=B 、22144y x -=C 、22148y x -=D 、22184x y -= 3、椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则实数n 的值是（ ） A 、5± B 、3± C 、25 D 、94、P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 1F 、2F 分别为双曲线左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ）A 、1或5B 、6C 、7D 、95、双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A 、53BCD 、53或546 ）A 、045B 、030C 、060D 、090 7、双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =，则双曲线的方程为 ；8、双曲线22194x y -=的渐近线方程为 。
9、已知1(F ，2F ，动点P 满足21||||2PF PF -=，当点P 的纵坐标是12时，点P 到原点的距离是 ；10、已知平面内有一条长度为4的定线段AB ，动点P 满足||||3PA PB -=，O 为AB 的中点，则||OP 的最小值为 ； 11、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与以曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双线的离心率等于 ；12、已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，e =(4,P 。
（1）求此双曲线的方程；（2）若(3,)M m 在双曲线上，求证12MF MF ⊥（3）求12F MF ∆的面积。
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2
渐近线方程为
y＝±
2 2 x.
典例剖析
一.已知双曲线的方程，研究其几何性质
• 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长 、离心率和渐近线方程，并作出草图．
• [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依 据各几何量的定义作答．
[解析] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
三.双曲线的离心率
已知 F1、F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率．
• [解析] 设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|， ∠PF2Q＝90°，
)
B．x42－y52＝1 D．x22－ y25＝1
• [答案] B
[解析] e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5， 即双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
4．已知双曲线ax22－y52＝1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的
离心率等于( )
A．3 1414
B．3 4 2
C．32
D．43
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
• 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质 ．
• 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时 双曲线
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2． 从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1． 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1． 故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率 渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方 程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相 等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝
2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质讲义苏教版选修2_1
2.3.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直． 思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么双曲线的离心率为________．53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝43， 所以离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究] 此题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出根本量a ，b ，c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作草图，如下图：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式； 2．判断焦点的位置； 3．写出a 2与b 2的值； 4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解] 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2. 求双曲线的标准方程【例2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程时，可利用双曲线设出方程进展求解． [解] (1)设以直线y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a ，b ，c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可防止分类讨论．2．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，假设焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1. ②由①②联立，无解．假设焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围ABC ABC A B C 曲线的离心率为________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有b a≥tan 60°.(1)1＋32 [由题意2c ＝AB ＝BC ，∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝23c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] (2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a， 直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a 和c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ，b ，c 三者中两者的关系，进而利用c 2＝a 2＋b 2进展转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c >a ，或c >b .3．F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解] 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°， 知PF 1＝F 1F 2，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，那么双曲线的方程是________．x 2－y 29＝1 [双曲线的焦点在x 轴上，那么c ＝10，b a∵a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝1，b 2＝9， ∴方程为x 2－y 29＝1.]4．求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y216＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a 2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.。
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
数学：2.3.2《双曲线的几何性质》(1)课件(新人教A版选修2-1)
3.顶 点 顶 双曲线和它的对称轴有两个交点, 双曲线和它的对称轴有两个交点 它们叫做 双曲线的顶点. 双曲线的顶点 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) － 线段A 叫做双曲线的实轴 线段 1A2叫做双曲线的实轴
B2
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
O
F2 x
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
2
2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 － 与 所表示 的区域内. 的区域内
X=－a X=a
y2 x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b
2
2. 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的 是双曲线的对称轴, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双 这时 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双 曲线的对称中心. 曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 双曲线的中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心
2
2
线段B1B2叫做双曲线的虚轴 线段 叫做双曲线的虚轴 其中B － 、 其中 1(0,－b)、 B2(0, b)
A1
A2 B1
4.渐近线 渐近线
y x 双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>o)的几何性质 的几何性质 a b N
y N M B2 Q M
2
2
A1
O B1
A2
X
x2 y2 b 两条直线 y=± x叫做双曲线 2 − 2 =1 叫做双曲线 a a b
4
, 半虚轴长
长沙市一中课件_高二理科数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(一)》
2
2
复习引入
2. 双曲线的标准方程：
y F1
O
2 2
y
F2 x c2＝a2＋b2 O F2 x
F1
y x x y 2 1 (a＞0,b＞0) 2 1(a＞0,b＞0) 2 2 a b a b 焦点在x轴上，焦点 焦点在y轴上，焦点 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, －c)、F2(0, c).
y B2 a A1 O
F1
F2
A2 x
b B1
湖南省长沙市一中卫星远程学校
新课讲授
4．渐近线 经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a， 经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b，四 两条直线 条直线围成一个矩形 (如图)． y b x y B2 y x 0 a a b F2 F1 a 叫做双曲线 A x
轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半
轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
练习.教科书P61练习第1、2、3题.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例题讲解
例2. 求中心在原点，对称轴 为坐标轴，
经过点P (1， 3)且离心率为 2 的双曲 线标准方程 .
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课堂小结
1. 双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、 x y y x 渐近线方程 0 ； 0 a b a b c b 离心率 e , e＞1． e 2 1 . a a 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔． 2. 双曲线草图的画法.
2.3.2双曲线的几何性质1
2 2
1
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(1) 2
学习目标:
类比椭圆,探索和了解双曲线的几何性质---范围、对称性、顶点
自学指导:
1.类比椭圆,双曲线有哪些简单的几何性质？
3 顶点
在方程1里, 令y 0, 得 x a,因此双曲线与 x 轴有两个交点A1 a,0 , A2 a,0 .因为x轴是双曲 线 的 对称 轴, 所以双曲
F1
y
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线 和 它的对称 轴 有两 个交点, 它们叫做 双曲线的顶点.
图2 . 2 6
令 x 0, 得 y 2 b 2 , 这个 方程没有实数根, 说明双 曲线和y轴没有交点, 但我 画在 y 轴上 图 2.2 6 . 们也把 B1 0,b , B2 0, b
2.双曲线在怎样的范围内,它与直线 y
b x 具有怎 a
样的关系? 3.在双曲线的标准方程中,b有什么几何意义? 4.什么叫做等轴双曲线?
自学检测：P41 练习 1
双曲线的几何性质 1、范围
y
B2
O
F1
A1
B1
A2
F2ห้องสมุดไป่ตู้
x
x a.
x a.
图2 . 2 6
这表明双曲线在不等式 x a与x a. 所表示的平面区域内.
y
b y x a
B2
O
F1
A1
B1
A2
F2
x
y
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22－by22 ＝1(a>0，b>0)．则 2a＝8，∴a＝4.
由 e＝ac＝54得 c＝5. ∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∴所求双曲线方程为1x62 －y92＝1. (2)当焦点在 x 轴上时，
设所求双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,－__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(－__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,－__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离心率 是54； (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； (3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点 F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°， 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并 求出线段AB的长． 【思路点拨】 先写出直线方程，代入双曲线方 程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2. 由y3＝x2－x－y22＝3 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.3.2双曲线的几何性质(1)
教具
多媒体
教师活动
学生活动
一、复习回顾
双曲线的标准方程：
焦点在 轴上，标准方程： ．
焦点坐标： ．
焦点在 轴上，标准方程： ．
焦点坐标： ．
其中： ．
二、创设情境、引入新课
前面我们在建立了椭圆的标准方程后利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质，在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质．
板书设计
教学后记
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系．
如右图，设 为双曲线在第一象限的点，作 轴，垂足为 ．直线 交直线 于点 ．当点向右移动时，观察长度的变化．
我们发现，随着 的增大， 长度越来越接近于 ．事实上，对于相同的横坐标 ，直线 上对应的点 的纵坐标为 ，所以 的长为
．
当 趋向于正无穷大时， 也趋向于正无穷大， 趋向于 ，即 的长趋向于 ．这说明，随着 的增大，双曲线在第一象限的点的直线 的下方且逐渐接近于这条直线．
徐州高级中学备课纸
高中二年级数学学科执教人：晁瑾2010年月日
课题
2.3.2双曲线的几何性质（1）
课时分配
本课（章节）需课时
本节课为第课时
教学目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质；
为本学期总第课时
2．能根据双曲线的几何性质解决一些简单问题．
重点
体积公式的应用．
难点
体积公式的推导思路．
教学方法
讲练结合
课型
●双曲线有哪些几何性质？
三、讲解新课
1．双曲线的几何性质
（1）范围
由方程 可知，双曲线上任意一点的坐标 都满足
，
所以
，
即
2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能够利用双曲线的几何性质解决有关问题。
【问题导学】（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b==，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？【合作探究】问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质?范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为：0x ya b±=．问题2：双曲线22221y xa b-=的几何性质?图形：范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1求双曲线2214925x y-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．学案编号：B51 第1 页共3 页成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦第 2 页 共 3 页例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．【当堂检测】1． 双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）． A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）． A ．(0,1)± B ．(0,2)± C ．(1,0)± D ．（2,0±）3． 双曲线22148x y -=的离心率为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．【小结】（1）知识与方法方面 。
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
2 2
解得
所以双曲线方程为
x 1. 6 2
2
y
2
2 y x 例 2 . 设 双 曲 线 2 - 2 = 1 ( a b 0 ) 的 半 焦 距 为 c , 直 线 l 过 点 A ( a ,0 ), B (0 , b ) a b
2
且原点到直线l的距离为
3c ,求 双 曲 线 的 离 心 率 . 4
F2
x
(2) e 的范围： e 1
(3) e的含义：
e是表示双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大!
(4)等轴双曲线: 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
x y ( 0)
2 2
y
等轴双曲线的离心率为: e 2 等轴双曲线的两渐近线渐近线为y=±x,
等轴双曲线的两渐近线渐近线互相垂直. 【1】(2000高考)双曲线 互相垂直,那么该双曲线的离心率是( C ) A.2 B.
y
2
2
F ( C , 0)
2 2
F (0, C )
c a b
2
1．请分别写出满足下列条件的双曲线的标准方程 (1) 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8, e
x 1 16 9
2
y
2
5 . 4
(2) 焦点在 x 轴上, 实轴长是 10，虚轴长是 8.
x 1 25 16
2
y
设共焦点的双曲线为 x 2 1, 2 2 a 5 a
2
y
2
由
5 5 , a 4
得 a 4,
b 25 16 9.
2
双曲线方程为 x 1. 16 9
§2.3.2双曲线的几何性质(1)
§2.3.2 双曲线的几何性质（1）
(1)理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离 心率、顶点、渐近线的概念; (2)掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实 际问题; 二次总结栏
一.课前复习 1.根据下列条件,求双曲线方程: (1) a b ,一个焦点为 F (0,2 2) ;
第4页
4.已知双曲线的渐近线方程为 2 x 3 y 0 , 且点 P(3,2 2) 在双曲线上, 求双曲线的方程.
5.过双曲线 16 x2 9 y 2 144 的一个焦点作一条渐近线的平行线,与双曲 线交于一点 P ,求点 P 与双曲线的两个顶点所构成的三角形的面积.
第3页
江苏省大港中学高二数学作业纸 选修 2-1 选修 1-1 §2.3.2 双曲线的几何性质（1）
第1页
江苏省大港中学高二数学学案
选修 2-1 选修 1-1 §2.3.2 双曲线的几何性质（1）
主备:吕小平
【练习 1】 BP40 T 1 【练习 2】顶点为 A1 (0, 2 5), A2 (0,2 5) ,焦距为 12 的双曲线的标准方 程是 .
二次总结栏
【例 2】已知双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16 ,离心率为
§2.3.2 双曲线的几何性质（1）
纠错、总结栏
一.滚动复习 1.如图,已知 PA 平面 ABCD, ABCD 是矩形, M , N 分别是 AB , PC 中点 求证: MN AB .
二.今日作业 2.双曲线 x2 y 2 1 的两条渐近线的夹角是__________.
3.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 2,则双曲线的虚轴长为 ________.
高中数学人教A版选修1-1第2章2.3.2抛物线的几何性质1教学设计
2.3.2 抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。
【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。
解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为22(0)y px p=>∵()22324p=∴32p=∴抛物线的标准方程为34x=-⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为22(0)x py p=>∵24223p=∴433p=∴抛物线的标准方程为233y=-例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。
已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。
三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为22(0)y px p=>，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：230240p=，254p=所以所求抛物线的标准方程为2452y=，焦点坐标是.例3 过抛物线pxy22=的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。
2.3.2 双曲线的简单几何性质(共3课时)
双曲线的简单几何性质
双曲线标准方程： x2 a2
y2 b2
1
y
双曲线性质：
1、范围： x a 或 x a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称.
3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0） 线段A1A2叫实轴 . 线段B1B2叫虚轴 .
B2
A1
A2
F1 O
F2
x
实轴长|A1A2|=2a ，虚轴 |B1B2|=2b .
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
y
4 3
x
.
-3 O 3
x
-4
应用举例:
例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 3 尝试用 a，b 表示双曲线的离心率？ 【解析】 e＝ac＝ a2＋a2 b2＝ 1＋ba22.
第13页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
2．3.2 双曲线的几何性质(一) (几何性质)
第1页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
要点 1 双曲线的几何性质
标准方程 xa22－yb22＝1(a>0，b>0) ya22－xb22＝1(a>0，b>0) 图形
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长
离心率
渐近线
(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
2c
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
关于 x 轴，y 轴对称，关于原点对称
(－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
e＝ca>1
y＝±bax
y＝±bax
第3页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
要点 2 等轴双曲线
∵ba＝
c2－a2 a＝
e2－1(e>1)，∴e 越大，渐近线 y＝±bax 斜
率的绝对值越大，即ba越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变
得开阔．
由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
第7页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
3．双曲线与椭圆的六点不同 (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线． (2)双曲线只有 2 个顶点，而椭圆有 4 个顶点． (3)双曲线有实轴、虚轴，而椭圆有长轴、短轴． (4)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的． (5)双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0， 1)． (6)双曲线中 a，b，c，e 的等量关系与椭圆中 a，b，c，e 的 等量关系有区别.
焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率 e＝ca＝54； 渐近线方程为 y＝±43x.
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 渐近线 例 2 (1)已知双曲线 C：ya22－bx22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25， 则 C 的渐近线方程为________．
第20页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
思考题 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程形式y422－x322 ＝1.
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，
【解析】 因为 e＝ac＝ 所以ba22＝14，所以ba＝2.
1＋ba22＝ 25，
由双曲线方程可知，焦点在 y 轴上，
所以其渐近线方程为 y＝±2x.
【答案】 y＝±2x
第21页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)求双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程． 【解析】 方法一：∵a＝2，b＝2 2， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：令x42－y82＝0， 即x2＋2y2＝0 或x2－2y2＝0. 即 y＝－ 2x 或 y＝ 2x.
定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 方程形式
时，焦点在 y 轴上
性质
① 离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
第4页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
1．对双曲线渐近线的理解 双曲线的渐近线是两条直线．随着 x 和 y 趋向于无穷大，双 曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近 线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，却无法确定双曲线焦点 在哪一坐标轴上．与双曲线xa22－by22＝1 有相同渐近线的双曲线系为 xa22－by22＝λ(λ≠0)，焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
第8页
高考调研 ·新课标 ·数学选高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型一 双曲线的简单几何性质 互动 1 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线xa22 －yb22＝1(a>0，b>0)的哪些简单性质？
第10页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)范围：x≥a 或 x≤－a； (2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的； (3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)．
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 如何求双曲线的渐近线方程？ 【解析】 已知双曲线方程求渐近线方程，只需将方程xa22－by22＝ 1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”即可，即由xa22－yb22＝0 得出渐近线方程 是xa±yb＝0，即 y＝±bax.类似地，对于方程ya22－xb22＝1(a>0，b>0)，则 由ya22－bx22＝0 得渐近线方程是 y＝±bax.
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±23x.作草图：
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
探究 1 (1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
第16页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a，2b 为 两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势， 就可画出双曲线的近似图形．
第5页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
2．双曲线的离心率对开口大小的影响 双曲线的离心率 e＝ac反映了双曲线开口的大小，e 越大，双 曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以 理解．(以双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)为例)
第6页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即x322－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 因此顶点为 A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
第14页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1