第3章-镜像法

20
球壳内的电位

q

1

a
(r a)
40 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为
S


r
ra


4 a(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
1 ( q q ) 40 R R
问题：d ? q ?
a d'
方法：利用导体球面上电位为零确定 d 和q′。
P r
R R' q q'
d
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
15
令r＝a，由球面上电位为零，
即 ＝0，得 q q =0 R R

q
电子科技大学
导体平面上总感应电 荷等于镜像电荷！
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题
2



l

x, z
h,
z

0;
0 ,
z 0,
镜像线电荷： l l , h h
有效区域
h
l
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷
或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
P a r R R'
d q q'
d'
q a q, d
部分）的镜像关系，缺一不可
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
例3.8.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电
场力来源于导体板上的感应电荷。可以先
求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。
3.5.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题 2 q x, y, z h , z 0; z 0, 0

计算机模拟的接地导体板附近
z
有一个点电荷时的电场分布图
q

h
6
x
=∞
由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直 导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应 电荷共同作用的结果。
12
如果两导体平面不是相互垂直、而是相交成一定角
度，只要 / n (n为整数)，就可以用镜像法求解，
镜像电荷数为(2n-1)。
当夹角为60°的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电 荷q时，镜像电荷的位置示意图
由图可知，点电荷q共有5 个像电荷
q
6个电荷两两成对地分别构
成两个平面（包括平面的延伸
采用叠加原理来确定镜像电荷
先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q'的感应电
荷分布，则
q a q, d a2
d
d
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
24
然后断开接地线，并将电荷－q‘加于导体球上，从而使总电
荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q’ 应均匀分布
因为 z 0 z0 0
结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
8
上半空间( z≥0 ）的电位函数
(x, y, z) q [
1

1
]
4 x2 y2 (z h)2 x2 y2 (z h)2
q1
d1
d2 R1
d2 R3 q3 d1
1
d1
R
R2 d1
q d2
2
d2 q2
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
1
d1 q 60°d2 2
1 d1 q 75° d2 2
可得出什么结论？
1
q
d1
120° d2 2
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
21
用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，
球内空间的电位、电场分布图
由图可知，点电荷q
在内球面将产生电量为
－q的非均匀感应电荷
感应电荷的总量不等 于镜像电荷，也就是说， 用镜像电荷替代感应电 荷，只是作用上的等效
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
22
q
该如何分析？
导体球面的内表面上上的总感应电荷为
qin
S
S dS


q(a2 d
4 a
2
)
2 0
0
(a2
a2 sindd d 2 2ad cos )3 2
q
可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
显然可将感应电荷的作用用位于－h的像电荷q′＝－q替代。
z
z
P
q
有效区域 q R

h
x

h O
R′ x
=∞

-h
q′ 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z<0区域，原方 程不变，且有


q
4

1 R

1 R

对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。
只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。
电位函数 q ( 1 1 1 1 ) 4 R R1 R2 R3
2
3.8.1 镜像法的基本原理
1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会
出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分
布。
几个实例
非均匀感应面电荷
q
接地导体板附近有
一个点电荷，如图所
示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
14
3.8.3 导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像
如图所示，点电荷q 位于半径
P
r
R
a
q
为a 的接地导体球外，距球心为d 。 d
球面上的感应电荷可用镜像电荷
q'来等效。q'应位于导体球内（显然
不影响原方程），且在点电荷q与球
心的连线上，距球心为d'。则有
R = q =常数 Rq
此式应在整个球面上都成立。
P
a
R
a
R'
q
q'
d' d
条件：若 oqP oqP d a2 d
R d a 常数 R ad
像电荷的位置
q q 0 q R q a q
R R
Rd
像电荷的电量
a 1 d
q q
5
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” ； 等效求解的“有效场域”。
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷q"来替代，即
q q a q，d 0 a
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 4π0 R R r
a q" O
P r
R R' q q'
d' d
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
25
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
点电荷q 位于一个半径为a 的不 接地导体球外，距球心为d 。
导体球不接地时的特点：
r
a O d
导体球面是电位不为零的等位面；
23
P R q
球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应
电荷为零。
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
17
用计算机模拟的，接地导体球旁有一个点电荷q时，空间
的电位、电场分布图
由图可知，点电荷q产
生的电力线只有一部分 终止在导体球上，另一 部分延伸至无穷远。所
以 q q
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
q
q 该如何分析？
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像
如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q
位于球壳内，与球心相距为d ( d < a )。
由于球壳接地，感应电荷分布在 球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于 导体空腔外，且在点电荷q与球心的 连线的延长线上。与点荷位于接地导 体球外同样的分析，可得到
aa r b
o d
R R'
q
q'
d'
q a q, d
d a2 d
1 4π
( q q ) R R
(r a)
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
3.8 镜像法
3.8.1 镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像 3.8.3 导体球面的镜像 3.8.4 导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
R
R
电位函数 l ln R (z 0) 2 R
h l
当z=0时， r r 0
满足原问题的边界条件，所得的解正确。
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其来自百度文库值问题的解
10
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。
采用叠加原理来确定镜像电荷
a
=q a
a
+
q" a
P r
R R' q q'
d' d
a
q′
a q″
+
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 a
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
26
点电荷对不接地空心导体球壳的镜像
a b
oq d

r
ra


4 a(a2
q(d 2 a2)
d 2 2ad cos )3
2
导体球面上的总感应电荷为
qin
S
S dS


q(d 2 a2
4 a
)
2 0
0
(a2
a2 sindd d 2 2ad cos )3
2


a d
q
可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。
(z 0)
导体平面上的感应电荷密度为
S



z
z0


2 (x2
qh y2
h2 )3
2
q
h
导体平面上的总感应电荷为
qin
S
S dS


qh
2


dxdy
(x2 y2 h2 )3 2
qh
2
2 0
dd 0 ( 2 h2 )3 2
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
2. 镜像法的原理 方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电 荷的作用 目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题
3. 镜像法的理论基础 —— 解的惟一性定理
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
由镜像法，感应电荷的电场可以
用像电荷q‘＝－q 替代。当电荷q 移至
0
x q d
x时，像电荷q'应位于－x，则有
=∞ -d
WWEeo(x)dWqeExe 4(x1)60d(qqx22x0)d24q20
d
1 (2x)2
dx


q2
16
0d
q'
电子科技大学
镜像电荷小于原电荷！
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
球外的电位函数为

q

1

a
(r a)
4 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
球面上的感应电荷面密度为
S