《角》典型例题

《角的度量》典型例题

例1 如图，你知道以A为顶点的角有哪些吗？除了以A为顶点的角外，图中还有哪些角？你会将它们表示出来吗？

例2（1）下图中能用一个大写字母表示的角是___________．

（2）以A为顶点的角有_____________个，它们是________________．

例3（1）把25.72°分别用度、分、秒表示．

（2）把45°12′30″化成度．

例4计算：

（1）53°39′＋36°40′；（2）92°3′－48°34′；

（3）53°25′28″×5；（4）15°20′÷6．

例5当时钟表面3时25分时，你知道时针与分针所夹角的度数是多少？

参考答案

例1解：以A为顶点的角有

∠

、

∠

、

、，其他的角有

∠

、

∠、

DAE

DAC

∠

BAC

BAE

BAD∠

EAC

α∠

β

、2

、

1

C

B．

、

∠

∠

、

∠

∠

∠、

说明：（1）在数以A为顶点的角的个数时，先选定一边为始边（如AB），确定以始边为一边的角的个数，再依次把后面的边看作起始边，数出角的个数，相加即可得角的总数．本题中以AB为始边的角有3个（如图1），以AD为始边的角有两个（如图2），以AE为始边的角有1个（如图3），在数角时注意要向同一个方向数，以免重复，这与线段的数法类似；（2）目前我们所说的角一般都是指小于平角的角．所以以D为顶点的平角和以E为顶点的平角不包括在内．（3）角的表示方法共有四种，可根据需求灵活选定；①用三个大写字母表示角，此时表示角的顶点的字母应写在中间（如∠BAD）；②用一个大写字母表示角，适用于以某一点为顶点的角只有一个（如∠B或∠C）；③用希腊字母α、

γ

β

、等表示角，此时要在所表示的角的顶点处加上连接两边的弧线，以明确所表示的是图中的哪个角（如∠α或∠β）；④用数字表示角（如∠1或∠2）．

图1 图2 图3 例2 分析：第（1）题中，能用一个大写字母表示的这个角必须是独立的一个角，所以只能是C

∠、；第（2）题中，以A为顶点的角，必须含A，而且A

B∠

为公共端点，这样的角有6个，以AC为一边的角：CAB

∠、

、，

∠

CAE∠

CAD

以AE为边且不重复的角：EAB

∠．

∠、，以AD为边且不重复的角：DAB

EAD∠

答案：（1）C

∠、；

B∠

（2）6个DAB

∠、

∠

、

、．

∠

、

、

CAE∠

EAD

EAB

∠

CAB

CAD

∠

说明：要正确写出答案，首先要弄清角的定义是什么，其次是熟悉表示角的

方法，特别对于（2），还要仔细、认真地找出所有的角．

例3 分析：第（1）题中25.72°含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可，第（2）题中，45°21′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．

解：（1）0.72°＝0.72×61′＝43.2′

0.2′＝0.2×60″＝12″

所以25.72°＝25°43′12″

（2）5.0)601(

3003'='⨯='' 21.0)60

1(5.125.12≈⨯=' 所以45°12′30″＝45.21°

说明：①是由高级单位向低级单位化：②是由低级单位向高级单位化．它们都必须是逐级进行的，“越级”化单位容易出错而且还要熟记他们之间的换算关系．

例4 解：（1）53°39′＋36°40′＝89°＋79＝90°19′；

（2）92°3′－48°34′＝91°63′－48°34′＝43°29′；

（3）53°25′28″×5＝265°＋125′＋140″＝267°7′20″；

（4）15°20′÷6＝2°＋（3×60′＋20′）÷6＝2°33′20″．

说明：角度的运算规律为：（1）加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1为60；（2）乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；（3）除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽就按题意要求，进行四舍五入；（4）度、分、秒之间的互化有：由低级单

位向高级单位转化，使用的公式是'⎪⎭

⎫ ⎝⎛=''︒⎪⎭⎫ ⎝⎛='6011,6011．例如30°42′，可化为30.7°；另一种是由高级单位向低级单位转化，使用的公式是1°＝60′，1′＝60″，例如2.45°可化为2°27′，在度、分、秒的互化过程中要逐级进行，不要“跳级”，以免出错．

例5 解：法一：从3时整开始，分针转过了6°×25＝150°，时针转过了0.5°×25＝ 5.12，因为3点整时两针夹角为90°，所以3时25分时两针夹角为150°－90°－12.5°＝ 5.47．

法二：3时25分时，分针在钟面“5”字上，时针从“3”字转过了0.5°×25＝ 5.12．又“3”、“5”两字之间夹角为60°，所以3时25分时两针夹角为60°－12.5°＝ 5.47．

法三：设所求夹角度数为x °，将分针视作在追赶并超过时针，它们的速度分别是 6/min 和0.5°/min ，

则由题意，

得方程x +=⨯-9025)5.06(，

5.47=x ．

说明：（1）此题是角的度量的实际应用，它能加深我们对角的意义的理解．解题的关键是明确钟面上分针1分钟转过的角度是6°，时针1分钟转过的角度是分针转过角度的12

1，即0.5°；（2）解题时要注意分针在运动时，时针也在运动，而不能认为时针静止；（3）这类题型可视作时针和分针在作相对运动，可以参照环形线路上的行程问题列方程（组）求解，也可以以钟面上“格”作单位，即分针和时针每分钟走1格和

12

1格．