7.3.1组合与组合数公式

c c
9
98
7
97 9
2
100 99 c100 c100 1 2 4950
9 8 c9 36 1 2
2
（2）当m=n时, 有
c c 1
n n
n
0
所以规定
c
0 n
1
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有组合。 c b d a c d b c d
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc
abd
awenku.baidu.comd
bcd
C
3 4
= 4
1 4
d
c
b
a
C
= 4
从4个不同元素中每次取出3个的一个组合， 和剩下的（4-3）个元素的组合是一一对应的。
●小结
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别 （2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n （1） Cn m Am m!
n! C （2 ） m !(n m)!
C = C
3 4
4- 3 4
推广: 从 n个不同元素中取出 m个元素的每 一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组 合一一对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取 出n-m 个元素的组合数，即
c
m n
cn
nm
组合数的两个性质
定理 1 :
证明:
m
C
m n
=
C
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例3
m 1 m1 求证 : C Cn . nm
m n
n！ 证明: C , m（ ! n m） !
m n
m 1 m1 m 1 n! Cn nm n m (m 1)!(n m 1)! m 1 n! (m 1)! (n m)( n m 1)!
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c
a b
b c c
d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd abc acb
排列 bac bca cab cba
你发现了 acd 什么?
adc
bcd bdc
abd adb
bad bda
cad cda cbd cdb
n- m n
.
C
n- m n
Cn Cn .
n！ QCn = , m （ ! n - m） ! n！ = (n - m ) ![n - （ n - m ） ] ! n！ = m m !(n - m ) n m!
3、性质1的应用 (1)当m>n 时，利用这个公式，可使 2
c
m n 的计算简化
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
例题分析
例1、计算：⑴
C
4 7
3 n
⑵
C
2 n
7 10
（3）已知：
C

A
，求n的值
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛， （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.
解：（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
7.3 组合
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的排法？ 2 3
A 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共 需握手多少次? 组合问题
组合是仅选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元 素的所有组合.
m n
作业P22 习题2、3、4、5
7.3.2组合数的性质和应用
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数公式。今天我们将在此基础上，继续学习组 合数的性质
组合数的公式：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同. 元素相同
思考三:组合与排列有联系吗? 构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={0,1,2,3,4}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线 段？ 组合问题 如果连成有向线段，共有多少条 排列问题
n! m Cn . m !(n m) !
【练习】
1.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有 种不同的选 种方法. 种
2.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方法有
3.全年级要举行班级篮球赛，如果全年级8个班中的任何两个 班都比赛一次，需要安排多少场比赛？ 4.汽车公司从12辆客车中选派3辆客车运送高二年级同学参加 秋游，有多少种选法？
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素 m 的组合数 Cn ．
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
m A 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 n ．
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
概念讲解 组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念理解
思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合? 为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m 个元素的组合数，用符号 C n 表示.
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
dab dba
dac dca dbc dcb
bcd
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于
A
3 4
，我们可以按照以下步骤进行
3
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
CA
3 4
3 3
.
A 从而C P C AP
3 4 3
4
3
43 34 33
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合 数公式．
A nn 1n 2n m 1 因此： C A m!
m n m n m m
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!