循环卷积与线性卷积的matlab实现

循环卷积与线性卷积的实现

一、 实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。

（2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理

两个序列的N 点循环卷积定义为 ()()[]()()()()N n m n x m h n x n h N k N N <≤-=⊗∑-=01

从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起

()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N

⎪⎭

⎫

⎝⎛-'=⊗=∑∞-∞= 其中()()()n x n h n y *='

也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期的周期延阔。设序列()n h 的长度为1N ,序列()n x 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有

()()()N n n y n y <≤'=0

这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 店序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积与线性卷积的结果在

N n <≤0范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理

()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N •=⊗

便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。

同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 四、 实验内容

输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3];

x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度

y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv 计算线性卷积 n1=[0:1:L1+L2];

subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形

xlabel('n');ylabel('y(n)'); %标注x、y轴

N2=5; %求5点圆卷积

if length(x1)>N2

error('N必须大于序列x1的长度')

end

if length(x2)>N2

error('N必须大于序列x2的长度')

end %以上语句判断两个序列的长度是否小于N

X21=fft(x1,N2); %作序列1的FFT

X22=fft(x2,N2); %作序列2的FFT

y2=ifft(X21.*X22); %求两序列的循环卷积（时域）n2=[0:1:N2-1];

subplot(3,1,2);stem(n2,y2) %绘制两序列循环卷积图形axis([0,7,0,40]) %修改x、y轴长度

N3=8

if length(x1)>N3

error('N必须大于序列x1的长度')

end

if length(x2)>N3

error('N必须大于序列x2的长度') end

x31=[x1,zeros(1,N3-length(x1))]

x32=[x2,zeros(1,N3-length(x2))]

X31=fft(x31)

X32=fft(x32)

y3=ifft(X31.*X32)

n3=[0:1:N3-1]

subplot(3,1,3);stem(n3,y3)

将程序输入MATLAB运行结果如下：

MATLAB运行显示的图形为：

五、实验心得：本次实验对我意义很大，让我熟练的运用了matlab 软件。使我对课本上的知识又加深了很多理解和运用。