常微分方程总复习

本章重点和注意事项： 1．七种类型的方程的求解都是重点，都要求熟练掌握求解方法（齐次方程可除外） 。 2．实际的计算性题目，限制在一阶线性方程，用积分因子求解方程和一阶隐方程等类型。 3. 其他几种类型，如变量分离方程，齐次方程和伯努利方程等都放在概念性题目和简答性题目（例
5
如选择题和填空题）中考查。恰当方程一般不单独出题，常常与积分因子是同一个题目，即所 给出的方程不是恰当方程但可以求出积分因子，将该积分因子乘在方程的两端，得到恰当方程， 再用恰当方程的方法来求解。 4． 验证方程的解可出现在概念性的题目中。 5． 常微分方程中常遇到的不定积分是数学分析中较简单的形式。 但仍要求熟练掌握 “基本积分表” ； 较为简单的被积函数的“换元积分法”和“分部积分法” ；过于复杂的换元法，三角函数，无理 根式，有理分式等形式的积分一般不会直接出现在考试中。
x ( p, C ) ， （p 为参数）. y f ( ( p, C ), p )
2 y 2 典型例题： y y e ; y (1 y ) 2a (第 59 页习题 3, 4);
2 dy 2 dy ！ y 4 ln 1 . (见模拟试题). dx dx
求解方法：先进行变量分离：
dy f ( x)dx ，再在两边积分即得通解： ( y)
( y) f ( x)dx c .
注意：在常微分方程中所遇到的不定积分和定积分是数学分析中所学过的公式中较为简单的形式。 但仍要求熟练掌握：基本积分表中的积分公式，换元积分法，分部积分法等基本的积分方法。
三．
！一阶线性方程有形如下（ P( x), Q( x) 是某区间上的连续函数）
dy P( x) y Q( x) . dx
求解方法：用常数变易法来求解, 也可以直接利用公式: （参见教材 34 页（2.32）式）
y e
P ( x ) dx
P ( x ) dx . Q ( x ) e dx c
求解方法：引入变量变换: z y
1 n
, 则方程可以化为如下的线性方程:
1 dz P( x) z Q( x) . 1 n dx
3
利用线性方程的求解方法, 即可求解.
！典型例题：
五．
dy dy xy x 3 y 3 (第 37 页习题 11)， x 4 y 4 xy , ( n 1/ 4 ) (见模拟试题). dx dx
常微分方程课程总复习
第一章 绪论
第一章的主要内容是建立方程和初始条件，并介绍整个课程中所使用的主要概念。以下几点是 对第一章内容的总体要求。
*一．对于通过物理过程而建立微分方程，本课程不作太高的要求，了解和初步掌握几个方程
及初始条件建立过程的物理模型即可。
*二.
对于利用平面曲线的分析性质（曲线 y f ( x) 的切线的斜率是导数 y f ( x) ）建立简
*可化为变量分离方程的方程-----齐次方程
dy y g . dx x
求解方法：作变量变换 u
dy du y x u ，方程可以化为变量分离方程 , 则 dx dx x du g (u ) u . dx x
其它形式的可化为变量分离方程的方程的求解方法则不做统一的要求, 但要求掌握下面形式的方程 如何化为齐次方程：
单的曲线所满足的微分方程，则是要求初步掌握的。一些具体的例题可见作业中的相应部分。
！三.
对于微分方程的一些基本的概念则要求熟练掌握，因为这些是后面求解方程所必须的。
要求熟练掌握的概念有 微分方程的阶数； 微分方程的解的概念和解的验证； 微分方程组的解的概念和解的验证； 微分方程的通解及特解； 判断一个微分方程是线性的还是非线性的； 判断一个线性微分方程是齐(次)的还是非齐(次)的； 判断一个线性微分方程是常系数的还是变系数的. 至于一阶方程的解的几何意义，包括积分曲线，方向场，等斜线等则作为了解即可。 本章重点和注意事项： 1． ！关于微分方程的概念，主要放在概念性题目（例如选择题）中考查。 2． *利用平面曲线的分析性质建立简单的常微分方程， 通常放在简答性题目 （例如填空题） 中考查。 3． ！验证方程的解通常出现在概念性的题目中。
B. 2 C. 3
d4y dy (4) e x2 y cos x x 4 dx dx
x
A. 1 （见模拟试题）
D. 4
1
！典型例题：微分方程
dny d n 1 y dy 2 (n 1) nxy ln(1 x 2 ) 是( n n 1 dx dx dx
件， 则方程 条件
dy f ( x, y ) 存在唯一解 y ( x) ，定义在区间 | x x0 | h 上，连续且满足初始 dx
( x0 ) y 0 ,
！典型例题：下列四个微分方程中,
3
为四阶线性微分方程的有(
)个.
d4y x d3y (1) x y0 dx 4 1 x 2 dx 3
d4y dx 4
(2)
d4y d3y sin y 2 x dx 4 dx 3
(3) e
d2y 2 y ex dx
的面积都等于 2, (
则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为 ). 该曲线上任一点处的切线夹在两个坐标轴之间的
*典型例题： 平面上过点 (4, 4) 的曲线为 y f ( x) ,
部分为定长 l , (
则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为 ). 该曲线上任一点处的切线与切点和原点
*典型例题：平面上过点 (2011,1210) 的曲线为 y f ( x) ,
则方程的通解为 u ( x, y ) C , 其中 C 是任意常数. 或者用分别求积分的方法, 即如下的公式:
N ( x, y ) M ( x, y )dx dy c . M ( x, y)dx y
典型例题： 2(3 xy 2 x ) dx 3( 2 x y y ) dy 0 (第 49 页习题 4).
B. n 阶变系数非齐线性常微分方程; D. n 阶常系数非齐线性常微分方程. ).
).
A. n 阶常系数非线性常微分方程; C. n 阶变系数非线性常微分方程;
！典型例题：微分方程 ( x 1)2
A. y x 1 （见模拟试题）
dy y 2 的一个解是( dx
C. y
B. y x 1
（2.32）
！典型例题：
关)；
ds 1 s cos t sin 2t (第 37 页作业 3，另外 5，7，8 等题都与一阶线性方程有 dt 2
dy 4 x4 (见模拟试题). y dx x 1 x2
四．
！可化为一阶线性方程的方程是伯努利方程：( n 0,1 )
dy P( x) y Q( x) y n dx
七．
！一阶隐方程：如果一阶方程中的未知函数的导数不能象上面的情况一样可以解出的话，考虑
y f ( x, y) ,
(其中 y
采用引进参数的方法, 将隐方程化为导数可以解出的类型来求解. 以 y 可以解出的形式为例:
dy ). dx
求解方法：引入参数 p y
dy , 则原方程可以写为如下的形式: dx y f ( x, p ) .
2 3 2 2



(Hale Waihona Puke Baidu.52)
六． 积分因子法求解方程：如果方程不是恰当方程, 则可用求积分因子的方法来求解, 我们学过的求 积分因子的方法有两种类型: (i)
！方程 M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 具有只与 x 有关的积分因子的充分必要条件为
M N y x ( x) N
第三章
一阶微分方程的解的存在定理
dy f ( x, y ) . dx y ( x ) y 0 0
第三章主要研究一阶常微分方程如下形式初值问题的解的存在唯一性问题:
本章主要的结果是如下的定理 定理 1 ！ 如果 f ( x, y ) 在矩形区域 R :| x x 0 | a, | y y 0 | b 上连续且关于 y 满足利普希茨条
dy
2
dy e y 3 x 2 dy 典型例题： y dx ( x 1) dy 0 (作业)； (作业)； x y2 . dx y dx
2
2
！注意：用分离变量法求解可分离变量的一阶常微分方程，是常微分方程这门课中最基本的解题方
法。正因为方法基本，在考试中不会直接出现这类题目。分离变量法常常出现在解其他类型的 微分方程的中间步骤中。 二．
(2.64)
将此式对 x 求导, 并将 p y 代入, 可以得到
p
f f dp . x p dx
(2.65)
这个方程是关于自变量 x, 未知函数 p 的一阶微分方程, 而其未知函数的导数
dp 已经可以解出. 故 dx
可用前面的方法加以求解. 设求出的解可以表示为 x ( p, C ) ，其中 C 为任意常数，则原方程的解 为
(2.60)
是只与 x 有关的函数. 且当此条件满足时, 方程 M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0 的积分因子可以取 为
M N ( x ) dx y x . ( x) exp dx e N
(ii) 方程 M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0 具有只与 y 有关的积分因子的充分必要条件为
得到了积分因子后，将该积分因子乘在方程的两端，则方程变为恰当方程，因此可按上述求解恰当 方程的方法求解。 典型例题： (e 3 y ) dx 2 xydy 0 (第 49 页习题 7)，
x 2
！典型例题：
1 4 x 4 sin y dx x 5 cos y dy 0 (见模拟试题). ln x
！恰当方程：方程 M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 是恰当方程的充分必要条件是
M N . y x
（参见教材 41 页(2.48)式） 求解方法：将方程的左端分项组合, 凑出全微分的形式, 即找出一个二元函数 u ( x, y ) , 使得
du ( x, y ) M ( x, y )dx N ( x, y )dy ,
的连线的夹角为 , ( y
则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为
y x tan , y (2011) 1210 ). x y tan
第二章
一阶微分方程的初等解法
第二章的主要内容是求解几类主要的一阶微分方程，这里总结主要的解法： 一． 变量分离方程：
dy f ( x) ( y ) . dx
x y y dy dy dy y g g g 4 . , 或 或 dx dx x x y x y dx xy y 2 dy 典型例题：给出将方程 f 4 化为可分离变量型方程的变换. 2 4 xy x dx
(2.61)
M N y x ( y) M
是只与 y 有关的函数. 且当此条件满足时, 方程 M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0 的积分因子可以取
4
为
M N ( y ) dy y x . ( y ) exp dy e M
1 x
D. y
1 x
*典型例题：(见第 17 页: 9. (1)) *典型例题： (见第 17 页: 9. (3))
曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为 .
2
曲线上任意一点的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于常数 a . 该曲线上任一点处的切线与坐标轴所成的三角形
*典型例题： 平面上过点 (4, 4) 的曲线为 y f ( x) ,